Matura 2015 Wybrane wzory matematyczne różniczkowanie PDF

Preview

Summary

1. Reguły różniczkowania funkcji
y = 7
dy
dx
= 0
y= bx x
dy
dx
= b
y= axn
dy
dx
= n axn-1
i
y= f(x)+g(x)
dy
dx
=
df
dx
+
dg
dx
y= f (x)ig(x)
dy
dx

Description

Spis treści

1.

Wartośćbezwzględnaliczby ....................................................................................................................1

2.

Potęgiipierwiastki ...................................................................................................................................1

3.

Logarytmy ................................................................................................................................................2

4.

Silnia.Współczynnikdwumianowy .........................................................................................................2

5.

WzórdwumianowyNewtona ...................................................................................................................2

6.

Wzoryskróconegomnożenia ...................................................................................................................3

7.

Ciągi .........................................................................................................................................................3

8.

Funkcjakwadratowa ................................................................................................................................4

9.

Geometriaanalityczna ..............................................................................................................................4

10. Planimetria ...............................................................................................................................................6 11. Stereometria ...........................................................................................................................................12 12. Trygonometria ........................................................................................................................................14 13. Kombinatoryka .......................................................................................................................................16 14. Rachunekprawdopodobieństwa.............................................................................................................17 15. Parametrydanychstatystycznych ..........................................................................................................18 16. Granicaciągu..........................................................................................................................................18 17. Pochodnafunkcji ....................................................................................................................................19 18. Tablicawartościfunkcjitrygonometrycznych .......................................................................................20

PublikacjawspółfinansowanaprzezUnięEuropejskąwramachEuropejskiegoFunduszuSpołecznego. Publikacjajestdystrybuowanabezpłatnie. Warszawa2015

1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartośćbezwzględnąliczbyrzeczywistejxdefiniujemywzorem:

Liczba x jesttoodległośćnaosiliczbowejpunktuxodpunktu0.  Dladowolnejliczbyxmamy: x

0

0 wtedy i tylko wtedy, gdyx = 0

x

−x = x

Dladowolnychliczbx,ymamy: x x = .  y y  Dladowolnychliczbaoraz mamy: Ponadto,jeśliy ≠ 0,to

2. POTĘGI I PIERWIASTKI Niechnbędzieliczbącałkowitądodatnią.Dladowolnejliczbyadefiniujemyjejn-tąpotęgę: an =  a ⋅ ... ⋅a n razy

Pierwiastkiemarytmetycznym n a stopnianzliczby a

nazywamyliczbęb

taką,że bn = a.

Wszczególności,dladowolnejliczbyazachodzirówność: a 2 = a . Jeżeli a < 0 orazliczbanjestnieparzysta,to n a oznaczaliczbę b < 0taką,że bn = a. Pierwiastkistopniparzystychzliczbujemnychnieistnieją. Niechm,nbędąliczbamicałkowitymidodatnimi.Definiujemy:

a

−

m n

=

1 n

am

Niechr,sbędądowolnymiliczbamirzeczywistymi.Jeśli a > 0 ib > 0,tozachodząrówności:

( a r ) = a r⋅ s s

a r ⋅ a s = a r +s

ar = ar −s s a

r

( a ⋅ b)

r

= a ⋅b r

r

r a  a =  b  br  

Jeżeliwykładnikir,ssąliczbamicałkowitymi,topowyższewzoryobowiązujądlawszystkich liczba ≠ 0 ib ≠ 0.

1

3. LOGARYTMY Logarytmem loga c dodatniejliczbycprzydodatniejiróżnejod1podstawieanazywamywykładnikb   potęgi,doktórejnależypodnieśća,abyotrzymaćc: loga c = b wtedy i tylko wtedy, gdy a b = c Równoważnie: a

loga c

=c

Dladowolnychliczbx > 0 ,y > 0 orazrzachodząwzory: loga ( x ⋅ y ) = loga x + loga y

r

loga x = r ⋅ loga x

loga

x = log a x − log a y y

Wzórnazamianępodstawylogarytmu: jeżeli a > 0,a ≠ 1,b > 0,b ≠ 1oraz c > 0,to logb c = 

log a c loga b

Logarytm log10 x możnateżzapisaćjakologx lublgx.

4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY Silniąliczbycałkowitejdodatniejnnazywamyiloczynkolejnychliczbcałkowitychod1donwłącznie:  n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n Ponadtoprzyjmujemyumowę,że0!=1. Dladowolnejliczbycałkowitej zachodzizwiązek: ( n + 1 ) ! = n!⋅( n+1)  n definiujemywspółczynnikdwumianowy   k 

Dlaliczbcałkowitychn,kspełniającychwarunki (symbolNewtona): n! n k  = k ! n − k ! ( )   Zachodząrówności:  n  n ( n − 1)( n − 2) ⋅ ...⋅ ( n − k + 1) k  = k!    n  n  n    =1  =  0   k   n − k  







n  n

  =1 



5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA Dladowolnejliczbycałkowitejdodatniejnorazdladowolnychliczba,bmamy: 

( a + b )n

 n  n  n  n  n −1  n  n =   a n +   a n −1b + ... +   a n − k b k + ... +   ab +   b  0  1  k  n −1  n

2

6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Dladowolnychliczba,b:

( a + b)2 = a2 + 2 ab+ b2 2 2 2  ( a − b) = a − 2 ab + b

( a + b) 3 = a3 +3 a2 b + 3 ab 2 + b 3 ( a − b)3 = a3 − 3 a 2 b + 3ab2 − b3

Dladowolnejliczbycałkowitejdodatniejnorazdowolnychliczba,bzachodziwzór: n n n−1 n− 2 n− k k −1 n −2 n− 1  a − b = ( a − b ) ( a + a b + ... + a b + ... + ab + b )

Wszczególności: a 2 − b 2 = ( a − b) ( a + b )

a 2 − 1 = ( a − 1) ( a + 1)

a3 − b3 = ( a − b ) (a 2 + ab + b2 )

a3 − 1 = ( a − 1) ( a 2 + a + 1)

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 − ab + b 2 )

a 3 + 1 = (a + 1) ( a 2 − a + 1) an − 1 = (a − 1) ( a n− 1 + a n− 2 + ... + a + 1)

7. CIĄGI • Ciągarytmetyczny Wzórnan-tywyrazciąguarytmetycznego (an ) opierwszymwyraziea1 iróżnicyr: an = a1 + ( n − 1) r Wzórnasumę Sn = a1 + a2 + ... + an początkowychnwyrazówciąguarytmetycznego: Sn =

2 a + ( n −1 ) r a1 + an ⋅ n= 1 ⋅n 2 2

Międzysąsiednimiwyrazamiciąguarytmetycznegozachodzizwiązek: an =

a n−1 + a n+1 2

dla n

2

• Ciąggeometryczny Wzórnan-tywyrazciągugeometrycznego (an ) opierwszymwyrazie a1 iilorazieq:  n −1 dla n 2 an = a1 ⋅ q Wzórnasumę Sn = a1 + a2 + ... + an początkowychnwyrazówciągugeometrycznego:

Międzysąsiednimiwyrazamiciągugeometrycznegozachodzizwiązek: a2n = an −1 ⋅ an +1

dla n 2

• Procentskładany JeżelikapitałpoczątkowyKzłożymynanlatwbanku,wktórymoprocentowanielokatwynosip%wskali rocznejikapitalizacjaodseteknastępujepoupływiekażdegorokutrwanialokaty,tokapitałkońcowy K n wyrażasięwzorem:

p   Kn = K ⋅  1 +   100 

n

3

8. FUNKCJA KWADRATOWA Postaćogólnafunkcjikwadratowej: f ( x ) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0, x ∈ R . Wzórkażdejfunkcjikwadratowejmożnadoprowadzićdopostacikanonicznej: b ∆ p= − q=− 2a 4a Wykresemfunkcjikwadratowejjestparabolaowierzchołkuwpunkcieowspółrzędnych( p,q).Ramiona paraboliskierowanesądogóry,gdy a > 0 ;dodołu,gdy a < 0. 

2 Liczbamiejsczerowychfunkcjikwadratowej f ( x ) = ax + bx + c (liczbapierwiastkówtrójmianu kwadratowego,liczbarzeczywistychrozwiązańrównania ax2 + bx + c = 0 ),zależyodwyróżnika ∆ = b 2 − 4ac:

– jeżeli∆ < 0,tofunkcjakwadratowaniemamiejsczerowych(trójmiankwadratowyniemapierwiastków rzeczywistych,równaniekwadratoweniemarozwiązańrzeczywistych), – jeżeli∆ = 0,tofunkcjakwadratowamadokładniejednomiejscezerowe(trójmiankwadratowymajeden b pierwiastekpodwójny,równaniekwadratowemadokładniejednorozwiązanierzeczywiste): x1 = x 2 = −  2a  – jeżeli∆ > 0,tofunkcjakwadratowamadwamiejscazerowe(trójmiankwadratowymadwaróżne pierwiastkirzeczywiste,równaniekwadratowemadwarozwiązaniarzeczywiste): x1 = Jeśli

−b − ∆ 2a

x2 =

−b + ∆ 2a

0,towzórfunkcjikwadratowejmożnadoprowadzićdopostaciiloczynowej: 

f ( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )

• WzoryViéte’a Jeżeli

0,to x1 + x2 =

−b a

x1 ⋅ x 2 =

c a

9. GEOMETRIA ANALITYCZNA • Odcinek Długośćodcinkaokońcachwpunktach A = ( xA , yA ) , B = ( xB , yB ) jestdanawzorem: AB =

( xB − xA )

2

y B=(xB , yB)

2

+ ( yB − yA )



WspółrzędneśrodkaodcinkaAB:  xA + xB y A + y B  ,   2   2

A=(xA , yA) O

4

x

• Wektory  Współrzędnewektora AB:  AB = [x B − x A , yB − yA ]    Jeżeli u = [ u1 , u2 ] , v = [ v1 , v2 ] sąwektorami,zaśajestliczbą,to    u + v = [ u1 + v1 , u2 + v2 ] a ⋅ u = [ a ⋅ u1 , a ⋅ u2 ] • Prosta Równanieogólneprostej: Ax + By + C = 0, 2 2 gdzie A + B ≠ 0 (tj.współczynnikiA,Bniesąrównocześnierówne0).

JeżeliA = 0,toprostajestrównoległadoosiOx;jeżeliB = 0,toprostajestrównoległadoosiOy; jeżeliC = 0,toprostaprzechodziprzezpoczątekukładuwspółrzędnych. y y = ax + b JeżeliprostaniejestrównoległadoosiOy,tomaonarównanie kierunkowe:

b

y = ax + b  Liczbaatowspółczynnikkierunkowyprostej:

α O

a = tg α 

x

WspółczynnikbwyznaczanaosiOypunkt,wktórymdanaprostająprzecina.  Równaniekierunkoweprostejowspółczynnikukierunkowyma,któraprzechodziprzezpunkt P = (x 0, y 0 ): 

y = a ( x − x0 ) + y0

Równanieprostej,któraprzechodziprzezdwadanepunkty

:

 ( y − yA )( xB − xA ) − ( yB − yA )( x − xA ) = 0 • Prostaipunkt Odległośćpunktu P = (x0 , y 0 )odprostejorównaniu Ax + By + C = 0 jestdanawzorem: Ax0 + By0 + C 

A2 + B2

• Paraprostych Dwieprosteorównaniachkierunkowych: y = a1 x + b1

y = a2 x + b2

spełniająjedenznastępującychwarunków: – sąrównoległe,gdy a1 = a2  – sąprostopadłe,gdy a1 a2 = −1  a −a – tworząkątostry φ itg φ = 1 2 1 + a1a 2

5

Dwieprosteorównaniachogólnych: A1x + B1 y + C1 = 0

A2 x + B 2 y + C 2 = 0

– sąrównoległe,gdy A1B2 − A2B1 = 0



– sąprostopadłe,gdy A1 A2 + B1B 2 = 0



A B − A2B1 – tworząkątostry φ i tg φ = 1 2 A1 A2 + B1B 2   • Trójkąt PoletrójkątaABCowierzchołkach A = ( x A ,y A ) , B = (x B ,y B ) , C = ( x C , y C ) ,jestdanewzorem: 

P∆ABC =

1 x − x A )( yC − y A ) − ( yB − y A ) ( xC − x A ) 2( B

ŚrodekciężkościtrójkątaABC,czylipunktprzecięciajegośrodkowych,mawspółrzędne:  x A + x B + xC , y A + y B + yC    3 3   • Przekształceniageometryczne  – przesunięcieowektor u = [ a, b ] przekształcapunkt A = ( x , y ) napunkt A ' = (x + a, y + b ) – symetriawzględemosiOxprzekształcapunkt A = (x , y ) napunkt A ' = ( x, − y)   – symetriawzględemosiOyprzekształcapunkt A = ( x , y ) napunkt A ' = ( −x , y )   – symetriawzględempunktu (a, b ) przekształcapunkt A = ( x, y ) napunkt A ' = (2a − x, 2b − y )  – jednokładnośćośrodkuwpunkcieOiskalis ≠ 0 przekształcapunkt Anapunkt A' taki,że     OA ' = s⋅ OA,awięc,jeśli O = ( x0 , y0 ) ,tojednokładnośćtaprzekształcapunkt A = ( x , y ) napunkt A ' = ( sx + (1− s ) x 0 , sy + (1 − s ) y 0 ) • Równanieokręgu Równanieokręguośrodkuwpunkcie S = ( a , b ) ipromieniur > 0 : 2

( x − a ) + ( y − b)

2

= r2

lub 

10. PLANIMETRIA • Cechyprzystawaniatrójkątów

C

A

F

B

D

6

E

To,żedwatrójkątyABCiDEFsąprzystające (∆ ABC ≡ ∆ DEF ),możemystwierdzićnapodstawiekażdej znastępującychcech przystawania trójkątów: – cechaprzystawania„bok–bok–bok”: odpowiadającesobiebokiobutrójkątówmajątesamedługości: AB = DE , AC = DF , BC = EF – cechaprzystawania„bok–kąt–bok”: dwabokijednegotrójkątasąrówneodpowiadającymimbokomdrugiegotrójkątaorazkątzawarty międzytymibokamijednegotrójkątamatakąsamąmiaręjakodpowiadającymukątdrugiegotrójkąta, np. AB = DE , AC = DF ,  BAC =  EDF  – cechaprzystawania„kąt–bok–kąt”: jedenbokjednegotrójkątamatęsamądługość,coodpowiadającymubokdrugiegotrójkąta orazmiaryodpowiadającychsobiekątówobutrójkątów,przyległychdoboku,sąrówne, np. AB = DE , BAC = EDF ,  ABC =  DEF

• Cechypodobieństwatrójkątów 

C F

A

B

D

E

To,żedwatrójkątyABCiDEFsąpodobne (∆ABC  ∆DEF ),możemystwierdzićnapodstawiekażdej znastępującychcech podobieństwa trójkątów: – cechapodobieństwa„bok–bok–bok”: długościbokówjednegotrójkątasąproporcjonalnedoodpowiednichdługościbokówdrugiegotrójkąta, AB AC BC = = np. DE DF EF  – cechapodobieństwa„bok–kąt–bok”: długościdwóchbokówjednegotrójkątasąproporcjonalnedoodpowiednichdługościdwóchboków drugiegotrójkątaikątymiędzytymiparamibokówsąprzystające,np. – cechapodobieństwa„kąt–kąt–kąt”: dwakątyjednegotrójkątasąprzystającedoodpowiednichdwóchkątówdrugiegotrójkąta(więcteż itrzeciekątyobutrójkątówsąprzystające):  BAC =  EDF ,  ABC =  DEF , ACB = DFE

7

PrzyjmujemyoznaczeniawtrójkącieABC:

C γ b

a,b,c a

α

2 p = a + b + c  α,β,γ  ha,hb,hc

β

A

c

B

• Twierdzeniesinusów α

β



R,r



–długościboków,leżącychodpowiednio naprzeciwkowierzchołkówA,B,C –obwódtrójkąta –miarykątówprzywierzchołkachA,B,C –wysokościopuszczonezwierzchołków A,B,C –promienieokręgówopisanego iwpisanego

• Twierdzeniecosinusów

a 2 = b 2 + c2 − 2bc cos α

γ

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2 abcos γ

• Wzorynapoletrójkąta 1 1 1 P∆ ABC = ⋅ a ⋅ h a = ⋅b ⋅h b = ⋅c ⋅h c 2 2 2 1 1 1 P∆ ABC = a ⋅ b ⋅ sin γ = a ⋅ c ⋅ sin β = b⋅ c⋅ sin α 2 2 2 1 2 sin β ⋅ sin γ 1 2 sin α ⋅ sin γ 1 2 sin α ⋅sin β = b = c P∆ ABC = a 2 2 2 sin α sin β sin γ abc P∆ ABC = 2R 2 ⋅ sinα ⋅ sin β ⋅ sin γ P∆ ABC = 4R P∆ABC = rp P∆ ABC = p ( p − a ) ( p − b )( p −c )

• TwierdzeniePitagorasa(wrazztwierdzeniemodwrotnymdoniego) WtrójkącieABCkątγjestprostywtedyitylkowtedy,gdya2  +b2  =  c2.

• Związkimiarowewtrójkącieprostokątnym Załóżmy,żekątγ jestprosty.Wówczas: 2 hc = AD ⋅ DB

C γ b hc

a β

α A

c

D

ab c a = c ⋅ sin α = c ⋅ cos β 1 a = b ⋅ tg α = b ⋅ tg β a +b −c 1 = p−c R= c r= 2 2

hc =

B

8

• Trójkątrównoboczny a–długośćboku h–wysokośćtrójkąta

C

a

a 3 2 a2 3 P∆ = 4

a h

A

2 h 3 1 r= h 3  

h=

R=



B

a

• TwierdzenieTalesa(wrazztwierdzeniemodwrotnymdoniego) RóżneprosteACiBDprzecinająsięwpunkcieP,przyczymspełnionyjestjedenzwarunków: – punktAleżywewnątrzodcinkaPCorazpunktBleżywewnątrzodcinkaPD lub – punktAleżynazewnątrzodcinkaPCorazpunktBleżynazewnątrzodcinkaPD. WówczasprosteABiCDsąrównoległewtedyitylkowtedy,gdy PA

PB =

AC

BD

D C A

A

P P

B

D

B

C

• Czworokąty b

D

Trapez Czworokąt,którymaconajmniejjednąparęboków równoległych. Wzórnapoletrapezu:

C

h

A

a D b

P=

B

Równoległobok Czworokąt,którymadwieparyboków równoległych. Wzorynapolerównoległoboku: 1 P = ah = a ⋅ b ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD ⋅ sin φ 2 

C h

φ

α A

a

a +b ⋅h 2

B

9

D

a

Romb Czworokąt,którymawszystkiebokijednakowejdługości. Wzorynapolerombu:

C

h

1 P = ah = a 2 ⋅ sinα = ⋅ AC ⋅ BD 2

α A

a

B

D

A

C

Deltoid Czworokątwypukły,którymaośsymetriizawierającąjedną zprzekątnych. Wzórnapoledeltoidu: 1 P = ⋅ AC ⋅ BD 2

B

• Koło Wzórnapolekołaopromieniur: P = πr 2

r O

Obwódkołaopromieniur: L = 2π r • Wycinekkoła Wzórnapolewycinkakołaopromieniurikącieśrodkowymα wyrażonymwstopniach: A

P = π r2 ⋅

r

α 360°

α

O

DługośćłukuABwycinkakołaopromieniurikącie środkowymα wyrażonymwstopniach:

B

l = 2π r ⋅ α 360° • Kątywokręgu Miarakątawpisanegowokrągjestrównapołowiemiarykąta środkowego,opartegonatymsamymłuku.

α

Miarykątówwpisanychwokrąg,opartychnatymsamymłuku, sąrówne.

α O

α

2α

Miarykątówwpisanychwokrąg,opartychnałukachrównych, sąrówne.

B A

10

• Twierdzenieokąciemiędzystycznąicięciwą

B

B

O

O

A

C

A

C

DanyjestokrągośrodkuwpunkcieOijegocięciwaAB.ProstaACjeststycznadotegookręguwpunkcieA. Wtedy AOB = 2 ⋅ CAB ,przyczymwybieramytenzkątówśrodkowychAOB,któryjestopartynałuku znajdującymsięwewnątrzkątaCAB. • Twierdzenieoodcinkachstycznych JeżelistycznedookręguwpunktachAiBprzecinająsięwpunkcieP,to PA = PB B

P A

• Twierdzenieoodcinkachsiecznejistycznej Danesą:prostaprzecinającaokrągwpunktachAiBorazprostastycznadotegookręguwpunkcieC.Jeżeli prosteteprzecinająsięwpunkcieP,to PA ⋅ PB = PC

2

A

B

P

C

11

• Ok...