Statystyka opisowa - wzory PDF

Preview

Summary

Download Statystyka opisowa - wzory PDF

Description

STATYSTYKA OPISOWA - WZORY MIARY REDNIE (PRZECITNE, TENDENCJI CENTRALNEJ) k k 1 k 1 n 1 k rednia arytmetyczna x =  x i ni =  xi wi x =  xˆ i n i =  xˆ i w i x =  xi n i =1 n i =1 n i =1 i =1 i =1 k 1 k x i ni =  x i wi , gdzie x i -rednia i-tej grupy, n i ( wi )-liczebno (czsto) i-tej grupy, k-liczba grup  n i =1 i =1 Uwaga 2. ∀i y i = ax i + b  y = ax + b

Uwaga 1. x og =

k

rednia harmoniczna x h =

1

x i= 1

a

i

n n

k

a xh =

i

i

i =1 k

xh =

1

xa i= 1

i

i =1 k

1

 xˆ i =1

i

ai

i

Dominanta

D = xd : nd = max{ni } lub D = xd : wd = max{ wi } i

D ≈ xD +

i

g D − g D−1 ∆x (gD − gD −1 ) + (g D − g D +1 ) D

x D - pocztek przedziału dominanty (tj. przedziału o najwikszej gsto ci), g D - g sto przedziału dominanty g D −1 - gsto przedziału poprzedzajcego przedział dominanty, g D +1 - gsto  przedziału nastpujcego po przedziale dominanty; ∆xD - rozpito  (szeroko ) przedziału dominanty gdy przedziały s równej rozpitoci (szerokoci) powyszy wzór redukuje si do:

D ≈ xD +

nD − n D−1 ∆x (nD − n D− 1 )+ (nD − n D+ 1 ) D

lub

D ≈ xD +

wD − wD−1 ∆x (wD − wD −1 ) + (wD − wD +1 ) D

przedział dominanty to przedziału o najwi kszej liczebnoci lub cz sto ci

Mediana to kwantyl rzdu p=0,5

q p = x [np ] +1 , gdzie [.] to cz  całkowita; (por.: dla nieparzystej liczby obserwacji Me = x 0,5(n +1) , dla parzystej Me =

x 0,5n + x 0,5n +1

2

)

p − cum wt−1 np − cum nt−1 ∆xt lub q ≈ x t + ∆x t p wt nt x t - pocz tek przedziału, w którym znajduje si kwantyl; nt ( w t ) – liczbno  (czsto ) przedziału, w którym znajduje si kwantyl; cum wt −1 ( cum nt −1 ) - skumulowana czsto (liczebno ) przedziału poprzedzajcego przedział, w którym q ≈ xt + p

znajduje si kwantyl; ∆xt - rozpito (szeroko ) przedziału, w którym znajduje si kwantyl

q 0, 25 = Q1 , q 0,5 = Q 2 = Me , q0, 75 = Q3 - kwartyle; q 0,2 , q 0,4 q 0,6 , q 0,8 - kwintyle; q 0,1 , q 0,2 , q 0,3 ,…, q 0,9 - decyle Dla rozkładów umiarkowanie asymetrycznych zachodzi równo Pearsona: x − D = 3( x − Me)

Graficzne wyznaczanie dominanty i kwantyli.

MOMENTY Moment zwykły rzdu r

1 n r m r =  xi ; n i =1

Moment centralny rzdu r 1 n 1 k M r =  (x i − x ) r ; M r =  ( xi − x)r ni = n i= 1 n i= 1 Uwaga: m1 = x , M1 = 0 , M 2 = m2 − m1 2

1 k r  xi ni = n i =1

mr =

k

x

i

r

wi ;

i =1

k

 ( x − x) i

i= 1

1

r

wi ;

Mr =

mr =

k 1 k r r xˆi ni =  xˆ i wi  n i =1 i =1

k 1 k ( xˆi − x) r ni =  ( xˆi − x) r wi  n i =1 i =1

MIARY ZRÓNICOWANIA (ROZPROSZENIA, DYSPERSJI, ZMIENNOCI) 1. Wariancja S 2 ( x) = M 2 = m2 − m1 2 k k 1 k 2 1 k S i n i +  (xi − xog )2 ni =  S 2i w i +  (x i − x og )2 wi  n i=1 n i=1 i =1 i =1 2 2 2 Uwaga 2. ∀i y i = ax i + b  S ( y ) = a S (x ) ( S ( y) = a S ( x) )

2 Uwaga 1. Sog = Si2 + S 2 ( xi ) =

2. Odchylenie standardowe S ( x) = S 2 ( x) 3. Odchylenie przeci tne d ( x) =

1 n  xi − x n i =1

d (x ) =

k k 1 k 1 k ( ) ˆ x x n x x w d x x x n xˆi − x wi − = − = − = i i i i  i   i  n i= 1 n i =1 i= 1 i =1

S (x ) x 5) Rozstp (empiryczny obszar zmiennoci) R = xmax − xmin 6) Rozstp wiartkowy RQ = Q3 − Q1

4. Klasyczny współczynnik zmienno ci V ( x) =

7) Odchylenie wiartkowe Q =

Q3 − Q1 2

8) Pozycyjny współczynnik zmiennoci VQ ( x ) =

Q Me

MIARY ASYMETRII (SKONOCI) 1) trzeci moment centralny zestandaryzowany (współczynnik asymetrii Chalier’a – Edgeworth’a λ 3 = 2) współczynnik asymetrii Pearsona AS =

M3 ∈R S 3( x )

x −D (dla rozkładów jednomodalnych AS ∈< −3,3 > ) S( x )

3) współczynnik asymetrii Yule’a-Kendall’a (Bowley’a) AQ =

( Q 3 − Q 2 ) − ( Q 2 − Q 1) ∈ [− 1,1] Q3 − Q1

ANALIZA ZALENOCI Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

r xy = r yx =

S( x) =

cov( x, y) 1 n 1 n ∈ [− 1,1] , gdzie cov(x , y ) =  (x i − x )(y i − y ) =  x i y i − x ⋅ y n i=1 n i=1 S (x )S (y )

1 n 1 n 2 1 2 ( ) − = x x  i  xi − x 2 , S ( y) = n n i =1 n i =1

n

 ( yi − y )2 = i =1

1 n 2  yi − y 2 , n i=1

Współczynnik korelacji rang Spearmana n

6  d 2i rs = 1 −

i =1 2

n(n − 1)

∈ [− 1,1], gdzie d i rónice pomidzy rangami odpowiadajcych sobie wartoci xi i y i.

Funkcja regresji yi = α1 xi + α0 + ξi ,

yˆ i = a 1 x i + a 0 ,

yi = a1xi + a 0 + ui ,

cov( x, y) S( y) = rxy a 0 = y − a 1x , 2 S (x ) S ( x) Ocena jakoci (dobroci) dopasowania funkcji regresji do danych empirycznych. a1 =

1) Wariancja resztowa S 2 (u ) =

1 n −k

n

 ( yi − yˆ i ) 2 = i =1

1 n− k

S 2 (u ) S( u ) 3) Współczynnik zmiennoci losowej V u = y 2) Odchylenie standardowe reszt S (u ) =

2

n

u i =1

2 i

,

2 2 R = rxy

n

n

( yi − yˆ i )2

4) Współczynnik zbienoci ϕ2

 = (y i =1 n

 i =1

= i

u2i =

n

y

− y )2

i =1

2 i

− ny 2

( n − k ) S 2 ( u) ∈ [0,1] nS2 ( y)

i =1

5) Współczynnik determinacji R 2 = 1 − ϕ 2 ∈[0,1] Funkcja regresji: xi = β1 yi + β0 + ξ i ,

b1 =

xˆ i = b 1y i + b 0

xi = b1 yi + b0 + ui ,

S (x ) cov( x, y) = rxy , b0 = x − b1 y , 2 S (y) S (y )

rxy2 = a1 b1 czyli rxy =

Tablice korelacyjne 1 S (y / x i) ∈ [0,1] , gdzie S 2 (y ) = e( y / x) = S ( y) n S (x / y j ) 1 ∈ [0,1] , gdzie S 2 ( x) = e( x / y) = S ( x) n



j

a1 b1

( y j − y ) 2 ⋅ n. j , S 2 ( y / x i ) =

 (x i

i

− x) 2 ⋅ ni . , S 2 (x / y j ) =

1  ( y / x i − y ) 2 ⋅ n i. n i

1  ( x / y j − x) 2 ⋅ n. j n j

1 (x i − x )(y j − y ) ⋅ nij ; mierniki krzywoliniowoci e 2( y / x) − ryx2 ; e 2 (x / y )− rxy2  i j n Chi-kwadrat i jego wybrane modyfikacje cov( x, y) =

k

l

χ =  2

(n

ij

T=

2

nˆij

i= 1 j= 1

V =

−nˆ ij )

∈  0,n (k − 1)(l − 1)  , gdzie nˆij =

χ2 n min(k − 1, l − 1)

χ2 n ( k − 1)(l − 1)

ni . n. j n

∈[0,1] - współczynnik V Cramera

ϕ=

χ2

- współczynnik Yule’a

n

∈ [0,1] - współczynnik zbieno ci Czuprowa

Współczynniki korelacji czstkowej i wielorakiej − Pij ∈ [− 1,1] Współczynnik korelacji czstkowej rij .kl ... z = Pii Pjj Współczynnik korelacji wielorakiej R1.23... k = 1 −

P ∈ [0,1] P11

P – macierz współczynników korelacji, Pij , Pii , Pjj , P11 - dopełnienia algebraiczne macierzy P; P- wyznacznik macierzy P INDEKSY INDYWIDUALNE I PRZYROSTY Przyrosty absolutne łacuchowe ∆t / t −1 = y t − y t −1 Przyrosty wzgldne łacuchowe dt / t −1 = Indeksy ła cuchowe i t/ t−1 =

y t − y t −1 y t −1

yt y t −1

redni indeks zmian iG = n −1

yn y1

Przyrosty absolutne o stałej podstawie ∆ t / c = yt − yc Przyrosty wzgldne o stałej podstawie d t /c = Indeksy o stałej podstawie i t /c =

n

= n −1 ∏ i t / t −1

yt − yc yc

yt yc

k Prognoza na k-okresów w przyszło  ~ y n+ k = y n ⋅ (i G )

t=2

Zamiana indeksów ła cuchowych na indeksy o stałej podstawie i na odwrót; zmiana podstawy indeksów o stałej podstawie.

3

INDEKSY AGREGATOWE

Agregatowy indeks wartoci n

n

Iw =

 p it q it

W

i =1 n

i= 1 n



= p i0 q i0

W

i= 1

it

i0

i=1

Agregatowy indeks ilo ci według formuły Laspeyresa

Agregatowy indeks cen według formuły Laspeyresa n

n

pq I Lp =

i =1 n

i0

 pi 0qi 0

=

p

⋅ ip I Lq =

n

 Wi 0 i =1

P p

I =

 pitqit

Wit

i =1 n

i =1 n

p

q

i 0 it

i= 1

i =1

 P q

I =

Równo ci indeksowe I w = I ⋅ I

P q

L q

I

= I ⋅I

W

Iw = I ⋅ I

,

i0

i= 1 n

W

p

it

= it

qi 0

i =1 n

 i =1

Wit iq

P p

Agregatowy indeks ilo ci według formuły Fishera

Agregatowy indeks cen według formuły Fishera L p

n

n

pit qit

i=1

p

L p

F p

i= 1

i =1

n

Wit

i

 pi0 qi0

⋅ iq

i0

=

Agregatowy indeks ilo ci według formuły Paaschego

n

=

i =1 n i= 1

Agregatowy indeks cen według formuły Paaschego n

W

q

io it

i =1

i= 1

n

n

W

it i 0

P p

I Fq = I Lq ⋅ I qP

Równo  indeksowa I w = I Fp ⋅ IqF

TREND Metoda mechaniczna (rednie ruchome centrowane)

y (k =3) (t ) = y( k = 2) (t ) =

y t −1 + y t + y t +1 ; 3 0,5 y t −1 + y t + 0,5 y t +1 2

y t− 2 + y t− 1 + y t + y t+1 + y t+ 2 5 0,5 y t − 2 + y t −1 + y t + y t + 1 + 0,5 y t + 2 y ( k = 4) ( t) = 4

y (k = 5) (t ) = ;

Metoda analityczna y t = α1t + α 0 + ξ t , y t = a1t + a 0 + u t ,

yˆ t = a 1t + a 0

cov(t , y ) 1 n 1 1 1 n 2 , gdzie = − − = − ⋅ = ( ) S t t y t t y y ty t y (t − t )2 = ( ) ( ) cov( , ) ,    t t 2 S (t ) n t= 1 n n t =1 n t=1 a0 = y − a1t n

a1 =

n

t

2

−t 2

t= 1

WAHANIA SEZONOWE ~ y ti = yˆ t + c i + e t , yti = ~yt + ci , Model multiplikatywny y ti = yˆ t ⋅ ci ⋅ et , y~ti = y~t ⋅ c i 1) Wartoci szeregu czasowego pozbawione tendencji rozwojowej Model addytywny

t=1,...,n, i=1,...,r, (r-liczba faz cyklu)

dla modelu multiplikatywnego zti =

dla modelu addytywnego zti = yti − ˆyt ,

yti ˆy t

2) Surowe wskani sezonowoci zt =

1 k

z

ti

, gdzie k – liczba jednoimiennych i-tych faz cyklu

3) Czyste wskaniki sezonowoci dla modelu addytywnego c i = z t −

1 r

r

z

i

; dla modelu multiplikatywnego ci =

i= 1

4

zt 1 r

r

z i=1

i...