Tarea 2 761 - FASE 2 FISICA ELECTRONICA PDF

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ALGEBRA LINEALTAREA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS YESPACIOS VECTORIALES.YEIMI KATHERIN YEPEZ MENESESKEVIN JOSHEPT OSORIOANDRES FELIPE RAMIREZTUTORCODIGO: 100408_UNIVERSIDAD ABIERTA Y DISTANCIA UNADADMINISTRACIÓN DE EMPRESAMARIQUITA TOLIMAAÑO 2020REALIZADO POR: YEIMI KATHERIN YEP...

Description

ALGEBRA LINEAL TAREA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALES.

YEIMI KATHERIN YEPEZ MENESES KEVIN JOSHEPT OSORIO

ANDRES FELIPE RAMIREZ TUTOR

CODIGO: 100408_761

UNIVERSIDAD ABIERTA Y DISTANCIA UNAD ADMINISTRACIÓN DE EMPRESA MARIQUITA TOLIMA AÑO 2020

REALIZADO POR: YEIMI KATHERIN YEPEZ MENESES

EJERCICIO 2 LETRA C

C) Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo por medio de la Regla de Cramer. Valide su resultado por medio de Geogebra*. En un almacén de ropas hay trajes de color amarillo, azul y rojo. Se sabe que el número de trajes amarillo y azul es cinco veces el número de rojo. También los trajes amarillos son el triplo de los rojos y el total de trajes azules y rojos suman 30. ¿Determine la cantidad de trajes de cada color que se encuentran en el almacén de ropas? *Los trajes Amarillos = X *Los trajes Azules =Y * Los trajes Rojos =Z El enunciado dice x=3 z y +z=30 x + y + z=d

: x + y =5 z se debe cumplir la forma

x+ y−5 z=0 x+ 0−3 z=0 0+ y + z=30 El determinante del sistema Forma:

x+ y+ z

Δs =

Δs Δs

1 1 0 1 1

1 0 1 1 0

-5 -3 1 -5 -3

=

( 0+ (−5 )+ 0 ) −( 0 + (−3 ) +1)

= −5−( 2 ) Δs= −3

El determinante la X tiene forma: T. I. + Y + Z Δx=

Δx

0 0 30 0 0

c1 0 1 1 0

-5 -3 1 -5 -3

= ( 0+0 )−90 ¿−( 0+ 0+0 )

Términos Independientes

Δx= −90

El determinante de Y tiene forma Δy=

X ↓T . I + Z Δy=

( 0+(−150 )+ ( 0 ) )− (0+( −90 ) + ( 0 ) )

1

0

-5

Δy= −150−(−90 )

1

0

-3

Δy= −60

0

30

1

1

0

-5

1

0

-3

El determinante de Z tiene forma: Δz= X Y T.I

1

1

0

Δz= ( 0+0+ 0 )−( 0+0+ 30)

1

0

0

Δz= −30

0

1

30

1

1

0

1

0

0 RESPUESTAS:

Δs=

−30

*Hay 30 trajes Amarillo

Δx= −90

*Hay 20 trajes Azules

Δy= −60

*Hay 10 trajes rojos

Δz= −30

X=

Δx −90 =30= X = Δs −3

Y=

Δy −60 = =20= y Δs −3

Z=

Δz −30 =10=z = Δs −3

COMPROBACIÓN EN GEOGEBRA

EJERCICIO 3 LETRA C. C) Demostrar si las rectas L1: x=8t+4, y=2t+2, z=4t+10 y L2: x=6t+8, y=2t+6, z=4t+12 Son o no ortogonales. L1 : x=8 t + 4 , y =2t +2 ,t=4 t +10 L2 : x=6 t +8 , y=2 t+6 ,t=4 t+12

Son o no son ortogonales

perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores son perpendiculares. →

→

Vr . Vs Datos L 1=X=8t + 4 L 2=X=6 t+8 Y =2 t+2Y =2t +6 Z =4 t +10 Z=4 t +12 Se llevan las rectas a su forma vectorial. R : ( X ,Y , Z )= ( R 1, R 2 , R 3) +∝(V 1 ,V 2 , V 3) L1 : ( X , Y , Z )= ( 8,6,12) +t (6,2,4) L2 : ( X , Y , Z )= ( 4,2,10 ) +t(8,2,4)

Para que dos rectas sean ortogonales o perpendiculares se debe cumplir los vectores directrices de las rectas también son perpendiculares. l1 ⊥l 2 ↔ v 1 ⊥ v 2

Si el producto escalar entre dos vectores es cero 0, entonces los vectores son perpendiculares. v 1. v 2=0 → v 1 ⊥ v 2 v 1=(8,2,4 ,) v 2=( 6,2,4 ) v 1. v 2=( 8 ) . ( 6 ) +( 2 ) . (2 )+ ( 4) .(4) v 1. v 2=48 + 4+ 16=68 ≠ ∅ no son ortogales .

EJERCICIO 4 LETRA C. C).Hallar la ecuación del plano  que contiene al punto A=(1,-3,2) y a la recta R= 3 x−1 2− y z +5 = = . 2 3 2

1 2 x= + t 3 3 y=2 −3 t

z=−5+2 t Punto y vector director de la recta: N= (2, 3,2) −1 ,−2.5) B= ( 3 Hallamos vector director con el punto encontrado anteriormente y el punto dado: A=(1 ,−3,2) −1 ,−2,5 B= 3 −1 ,−2,5 −( 1 ,−3,2 ) AB= 3 −4 ,−1,3 AB= 3

(

)

( (

) )

Ahora hacemos producto cruz entre los vectores directores i j k −3 2 2/3 2 2/3 −3 N x AB= 2/3 −3 2 =i −j +k 1 3 −4 /3 3 −4 /3 1 −4/3 1 3

|

||

N x AB=11 i+ N x AB=11,

| |

| |

|

17 j+3 k 3

17 ,3 3

La ecuación del plano es:

P=a( x −x1 ) + b ( y− y 1 ) +c ( z−z 1) =0

El vector a , b , c

es el vector director N x AB=(11,

17 ,3) 3

y el vector (x , y , z)

es el punto dado

A=(1 ,−3,2)

P=11 ( x−1) + 17 ( y +3 ) + 3 (z −2 )=0 3 Resolvemos: 11 x−11+ 11+

17 y +17+ 3 z −6=0 3

17 y +3 z=0 3

COMPROBACIÓN EN GEOGEBRA

Ecuación Simétrica de la Recta: La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que esta determina sobre los ejes de coordenadas.

Ec

r una os x−x 0 y −0 z−z 0 p tor. = = l: a2 a1 Un vector directo de una recta es a3 cualquier vector que tenga la misma ( x 0, y 0, z 0 ) el punto de paso dirección que la recta. Ejemplo la Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos: ecuación vectorial de la recta r que pasa → por los puntos. a = ( a 1, a 2, a3) es el vector de dirección. 1. Recta paralela a 0x, que tiene de ecuación y=n 2. Recta paralela 0y,que tiene de ecuación x=k A= (3,4) y B= a(-2,6) Ecuaciones Simétricas de tres Dimensiones

Recta en el Espacio: En geometría la recta o la línea recta es una línea que extiende en una misma dirección; por lo tanto tiene punto, es uno de los entes

Ecuación Paramétrica: Sistema de ecuación paramétricas permite presentar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamado parámetro considerando cada coordenada de un punto como función dependiente del parámetro. Ejemplo (X, Y, Z) = (X0, Y0, ZO)+ (

X 0+ λvx , λ 0+ λvy , z 0+ λvz ) λvx , λvy , λvz ¿=¿

Igualando componentes resulta:

R:

{

X= X 0+ λvx Y =Y 0+ λvy Z =Z 0+ λvz

Expresión que se denomina ecuación de la recta en forma

Link de explicación sobre el video. REALIZADO POR: KEVIN JOSHEPT OSORIO

DESARROLLO TAREA 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS

Ejercicio 2: Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos.

d) Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo empleando el método de su preferencia. Valide su resultado por medio de GeoGebra* En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. DESARROLLO Según la información planteada se construyen las siguientes ecuaciones: H + M + N=22 2 M +3 N= 2 H d1) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay? R//: No es posible determinar el número de hombres porque tenemos tres incógnitas y solo dos ecuaciones, necesitamos una ecuación más para conocer las 3 variables desconocidas y así poder determinar el número de hombres. d2) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay? Ahora damos origen a la tercera ecuación H +M + N=22(1) 2 M +3 N= 2 H (2) H =2 M (3) Sustituimos la ecuación (3) en la ecuación (2) y la dejamos en términos de M y N 2 M +3 N= 2 H 2M ) 2 M +3 N=2¿ Igualmente, la ecuación (1) H + M + N=22 ( 2 M )+ M + N=22

Despejamos N: N=22 −3 M (4)

Sustituimos en la ecuación (2) 2 M +3 N=4 M

2 M + 3 (22−3 M )=4 M 2 M +66−9 M = 4 M 2 M −4 M −9 M =−66 −11 M =−66 −66 M= −11 M =6

Conocido el valor de M sustituimos en (4) N=22 −3 M (4) N=22 −3 ( 6 )

N=4 Conocido el valor de M y N sustituimos en la ecuación (1) H + M + N=22 H +6+ 4=22 H =12 Verificamos:

Ejercicio 3: Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. d) Determine las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los putos (-1, -2, -3) y (6, -9, -8). DESARROLLO Se construye el vector director:

P=(−1,−2,−3 )

Q=( 6,−9,−8 ) PQ=Q−P= (6,−9, −8 ) − (−1,−2,−3 ) PQ=(7,−7−5 ) Se escoge cualquiera de los dos puntos:

Po= (−1,−2,−3 ) Se plantea las ecuaciones: Ecuación Vectorial: Ec V =Po + λ  PQ

Ec V = (−1,−2,−3 )+ λ(7,−7−5) Ecuaciones Paramétricas:

x=−1+λ 7 y=−2−λ 7 z=−3−λ 5 Ecuaciones Simétricas:

λ=

x +1 7

λ=

y +2 −7

λ=

z +3 −5

x +1 y+ 2 z +3 = = 7 −7 −5

Ejercicio 4: Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. d) Determinar si los planos P1: x-3y+z-1=0 y P2: -4x-2y+6z-10=0 son paralelos. En caso de no ser paralelos, encontrar la ecuación de la recta expresada en forma paramétrica en la cual se interceptan. DESARROLLO

Para determinar si los planos son paralelos se debe realizar producto cruz entre las ecuaciones, teniendo en cuenta los conceptos algebraicos si el producto cruz es cero los planos son paralelos si no estos solo interceptan y se debe determinar la recta que forma la intersección:

|

||

i j k −3 −1 1 −1 1 −3 P1 xP 2= 1 −3 −1 =i −j +k −2 6 −4 6 −4 −2 −4 −2 6

| |

| |

|

P1 xP 2=( −18 −2) i− ( 6−4 ) j+ ( −2−12) k

VL1 x VL2=−20 i−2 j−14 k

Como se puede notar el producto cruz no es cero, y se procede a determinar la ecuación de la recta que forma la intersección de los planos

x−3 y + z−1=0 −4 x −2 y +6 z −10=0

Operamos las ecuaciones con el fin de eliminar la variable x, para ellos multiplicamos el plano 1 por 4 y le sumamos el plano 2: x−3 y +z−1=0(4 )

4 x −12 y + 4 z−4=0

−4 x −2 y +6 z −10=0 0−14 y +10 z −14 =0

Despejamos y

−14 y +10 z−14 =0

y=

14−10 z 5 =−1+ z 7 −14

De la primera ecuación del plano despejo x

x−3 y +z−1=0 x =3 y −z +1 Sustituimos el valor de y encontrado

(

)

5 x=3 −1+ z −z +1 7 x=−3+

15 z−z +1 7

8 x=−2+ z 7 Si reemplazamos la z por un parámetro landa damos origen a las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección: Ecuaciones Paramétricas:

8 x=−2+ λ 7 5 y=−1+ λ 7 z=λ...