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Tema 1 Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales 1.1.

Matrices

Una matriz m £ n (se lee m por n) es una tabla A formada por m · n n´ umeros reales1 dispuestos en m filas y n columnas. Se llama elemento ij de A al que est´a situado en la intersecci´on de la fila i-´esima (i = 1, 2, . . . , m) y la columna j-´esima (j = 1, 2, . . . , n). Si a este elemento se le designa por aij , se escribe 1 0 a11 a12 . . . a1n B a21 a22 . . . a2n C C A=B @ .................. A am1 am2 . . . amn

y, abreviadamente, A = (aij ). El par (m, n) se llama tama˜ no de la matriz. Dos matrices de igual tama˜ no A = (aij ) y B = (bij ) son iguales si coinciden respectivamente los elementos que ocupan los mismos lugares, i.e., si aij = bij para i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n. Si m = 1 se dice que A es una matriz fila. Si n = 1 se dice que A es una matriz columna. Si m = n se dice que A es una matriz cuadrada. Ejemplos Una matriz 2 £ 3 :

µ

1 °2 °1 °3 4 2

∂ µ ∂ 2 °4 . Una matriz cuadrada 2 £ 2 : . 1 3

Sea ahora A = (aij ) una matriz cuadrada: Se llama diagonal (o diagonal principal) de A al conjunto formado por los elementos de la forma aii . La suma de tales elementos se llama traza de A y se designa por tr(A). Si para i > j es aij = 0, se dice que A es triangular superior; si para i < j es aij = 0, se dice que A es triangular inferior; si para i 6= j es aij = 0, se dice que A es una matriz diagonal y, en este caso, si todos los elementos de la diagonal son iguales, se dice que A es una matriz escalar. Si para cualesquiera i y j es aij = aji , se dice que A es una matriz sim´etrica; si aij = °aji , se dice que A es una matriz antisim´etrica. Al conjunto de las matrices m £ n se le designa por Mm£n (R) o simplemente por Mm£n . 1

En general, las entradas de una matriz pueden ser elementos de un cuerpo conmutativo K. Los cuerpos conmutativos m´as habituales son R y C. Nosotros consideraremos matrices con entradas reales, exclusivamente.

1

2

1.1. Matrices

1.1.1.

Operaciones con matrices

Suma de matrices y producto de un n´ umero real por una matriz Dadas dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) del mismo tama˜ no, m £ n, se define su suma A + B como la matriz A + B = (aij + bij ). Es decir, la suma se define mediante 0

1 0 1 a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b1n B a21 a22 . . . a2n C B b21 b22 . . . b2n C B C B C @ . . . . . . . . . . . . . . . . . . A +@ . . . . . . . . . . . . . . . . . A am1 am2 . . . amn bm1 bm2 . . . bmn 0 a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n B a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n =B @ ................................... am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

1

C C. A

El producto del n´ umero real λ por la matriz A es la matriz λA = (λaij ). Es decir, el producto de un n´ umero real por una matriz se define mediante 0

1 0 a11 a12 . . . a 1n λa11 λa12 . . . λa1n B a21 a22 . . . a 2n C B λa21 λa22 . . . λa2n C B λB @ .................. A =@ ...................... am1 am2 . . . amn λam1 λam2 . . . λamn

1

C C. A

Observa que A + B y λA son tambi´en matrices m £ n. Propiedades Si A, B, C 2 M m£n , λ, µ 2 R, se verifica: 1) (A + B) + C = A + (B + C)

a) (λ + µ)A = λA + µA

2) A + O = O + A = A

b) λ(A + B) = λA + λB

3) A + (°A) = (°A) + A = O

c) λ(µA) = (λµ)A

4) A + B = B + A

d) 1A = A

O es la matriz nula m £ n, i.e., la matriz cuyos elementos son todos iguales a cero. °A = (°aij ) se llama matriz opuesta de A = (aij ) y es la matriz m £ n cuyos elementos son los opuestos de los respectivos elementos de A. Escribimos A ° B para denotar A + (°B). Producto de matrices Dadas las matrices A = (aik ), m £ p, y B = (bkj ), p £ n (el n´ umero de columnas de A es igual al n´ umero de filas de B ), se define el producto AB como la matriz C = (cij ), m £ n, cuyo elemento ij es p X cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aipbpj = aik bkj k=1

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1.1. Matrices

a12 · · · ...

0

a11 B .. B . B B ai1 B B . @ ..

am1

a1p .. .

ai2 · · · aip .. ... . am2 · · · amp m£p

1 0 C CB CB CB C@ C A

1 b11 · · · b1j · · · b1n 1 0 c11 · · · c1n b21 · · · b2j · · · b2n C C @ A. cij = .. .. ... C A . . cm1 · · · cmn bp1 · · · bpj · · · bpn m£n p£n

Ejemplo µ

2 0 °1 °1 4 3

∂

0

1 √ 1 0 2 · 1 + 0 · 3 + (°1) · (°2) @ 3 °1 A = (°1) · 1 + 4 · 3 + 3 · (°2) °2 4 ∂ µ 4 °4 . = 5 8

2 · 0 + 0 · (°1) + (°1) · 4 (°1) · 0 + 4 · (°1) + 3 · 4

!

Propiedades y comentarios Sean A y A0 matrices m £ p , B y B 0 matrices p £ n y C una matriz n £ q. Se verifica: 1) (AB )C = A(BC ). 2) A(B + B 0 ) = AB + AB 0 , (A + A0 )B = AB + A0 B. 3) λ(AB) = (λA)B = A(λB), si λ 2 R. 4) AI = A e IB = B donde I es la siguiente matriz cuadrada p £ p , llamada matriz unidad: 0 1 1 0 ... 0 B 0 1 ... 0 C C I=B @ . . . . . . . . . . . A. 0 0 ... 1 5) AB 6= BA en general, es decir, el producto de matrices no es conmutativo.

Para que existan los dos productos AB y BA es necesario que A sea m £ n y B sea n £ m. En tal caso AB es m £ m y BA es n £ n. Por tanto, para que AB y BA existan y sean de igual tama˜ no debe ser m = n, es decir, A y B deben ser cuadradas y de igual tama˜ no. A´ un en este caso AB y BA ser´an, generalmente, distintas. As´ı, por ejemplo, para las siguientes matrices 2 £ 2 A y B, es AB 6= BA: ∂ µ ∂ µ ∂ ∂ µ µ 2 6 3 1 3 5 1 2 6= , B= , AB = = BA. A= °3 °1 °1 0 0 2 °2 0 Si A y B son tales que AB = BA, se dice que A y B conmutan. 6) Puede ser AB = O sin que sean A = O o B = O. ¢ ° 1 0 0 Por ejemplo, las matrices A = ( °11 °11 ) y B = °1 1 °1 verifican AB = ( 0 0 ) = O. Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara

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1.1. Matrices

1.1.2.

Traspuesta de una matriz

Dada una matriz A, m £ n , se llama traspuesta de A a la matriz At , n £ m , que tiene por elemento ij al elemento ji de A, i = 1, 2, . . . , n y j = 1, 2, . . . , m (i.e., At es el resultado de cambiar en A filas por columnas). Ejemplo A=

µ

°1 2 0 3 °2 1

∂

1 °1 3 At = @ 2 °2 A . 0 1 0

,

Propiedades 1) (At )t = A. 2) (A + B )t = At + B t (A y B del mismo tama˜ no). 3) (λA)t = λAt , λ 2 R. 4) (AB )t = B t At (A matriz m £ n , B matriz n £ m). Si A es una matriz cuadrada, entonces A es sim´etrica () A = At

1.1.3.

y

A es antisim´etrica () A = °At .

Matrices invertibles

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible (o regular o no singular) si existe una matriz B con la propiedad de que AB = BA = I siendo I la matriz unidad. Es f´acil ver que si existe una tal matriz B, entonces resulta ser u ´nica. Esa matriz se designa por A°1 y recibe el nombre de inversa de la matriz A. Propiedades 1) Si A es invertible, entonces A°1 es invertible y (A°1 )°1 = A. 2) Si A es invertible, entonces At es invertible y (At )°1 = (A°1 )t . 3) Si A es invertible y λ 6= 0, λA es invertible y (λA)°1 = λ°1 A°1 . 4) Si A y B son invertibles y del mismo tama˜ no, AB es invertible y (AB)°1 = B °1 A°1 .

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1.2. Determinantes

1.2.

Determinantes

A cada matriz cuadrada A se le asigna un n´ umero particular, denominado determinante de A. El determinante de una matriz 1 £ 1 A = (a11 ) es el propio n´ umero a11 ; se escribe det(A) = |A| = a11 . Dada la matriz cuadrada 2 £ 2 ∂ µ a11 a12 , A= a21 a22 se llama determinante de A al n´umero real Ø Ø a11 a12 det(A) = |A| = ØØ a21 a22

Ejemplo

Ø Ø Ø Ø = a11 a22 ° a12 a21 .

Ø Ø Ø 1 3 Ø Ø Ø Ø °2 4 Ø = 1 · 4 ° 3 · (°2) = 4 + 6 = 10.

Dada la matriz cuadrada 3 £ 3

0

1 a11 a12 a13 A = @ a21 a22 a23 A , a31 a32 a33

se llama determinante de A al n´umero Ø Ø a11 a12 Ø det(A) = |A| = ØØ a21 a22 Ø a31 a32

real a13 a23 a33

Ø Ø Ø Ø Ø = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 Ø

° a13 a22 a31 ° a12 a21 a33 ° a11 a23 a32 .

Ejemplo Ø Ø Ø 1 2 0 Ø Ø Ø Ø 2 1 3 Ø = 1 · 1 · 2 + 2 · 3 · (°1) + 0 · 2 · 1 ° 0 · 1 · (°1) ° 2 · 2 · 2 ° 1 · 3 · 1 Ø Ø Ø °1 1 2 Ø = 2 ° 6 ° 8 ° 3 = °15.

Observemos que Ø Ø a11 a12 a13 ØØ Ø a a 1+1 a21 a22 a23 ØØ = a11 (°1) ØØ 22 23 a a 32 33 a31 a32 a33 Ø

Ø Ø Ø Ø 1+2 Ø Ø a21 a23 Ø + a12 (°1) Ø a31 a33

Ø Ø Ø Ø 1+3 Ø Ø a21 a22 Ø + a13 (°1) Ø a31 a32

Ø Ø Ø Ø.

Nos on por recurrencia. Ø basaremos en esta observaci´on para adoptar la siguiente definici´ Ø Ø Ø Sea A = (aij ) una matriz cuadrada n £ n. Ø Se llama menor complementario del elemento a de A al determinante de la matriz que se ij Ø obtiene suprimiendo la fila i y la columna j de A. Se designa por αij . Se llama adjunto del elemento aij de A, y se designa por Aij , al n´ umero real Aij = (°1)i+j αij . Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara

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1.2. Determinantes Se define el determinante de A mediante det(A) = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain =

n X

aij Aij

j=1

(desarrollo del determinante por la i-´esima fila) y det(A) = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj =

n X

aij Aij

i=1

(desarrollo del determinante por la j-´esima columna). As´ı pues, el determinante de A es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando los elementos de cualquier fila (columna) por sus correspondientes adjuntos. Observaci´ on En la definici´on que acabamos de dar, el determinante de una matriz n £ n , o determinante de orden n, se reduce a calcular a lo sumo n determinantes de orden n ° 1; cada uno de ´estos se reduce a calcular a lo sumo n ° 1 determinantes de orden n ° 2. Continuando el proceso se llega a obtener determinantes de orden 2, que son f´aciles de calcular. Ejemplo Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

1 3 2 1 2 1 °1 4 3 2 °1 6 5 °4 2 °1

Ø Ø 2 °1 4 Ø Ø 3 °1 6 Ø Ø 5 2 °1

Ø Ø Ø Ø Ø 6 Ø = 2(°1)1+1 Ø °1 Ø Ø 2 °1 Ø

Ø Ø 1 2 1 Ø Ø 3 °1 6 Ø Ø 5 2 °1 1 2 1 2 °1 4 5 2 °1 Ø Ø Ø Ø Ø Ø

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø 1 Ø 2 °1 2 1 ØØ 4 ØØ Ø Ø Ø Ø = 3(°1)1+2 Ø 3 °1 6 ØØ 6 ØØ + 1(°1)2+2 ØØ 3 °1 Ø Ø Ø Ø Ø5 Ø 5 2 °1 Ø 2 °1 Ø Ø Ø Ø Ø Ø1 Ø1 2 1 ØØ 2 1 ØØ Ø Ø 4 ØØ + (°4)(°1)4+2 ØØ 2 °1 4 ØØ , + 2(°1)3+2 ØØ 2 °1 Ø5 Ø 3 °1 6 Ø 2 °1 Ø Ø Ø Ø Ø 6 Ø + (°1)(°1)1+2 Ø 3 Ø 5 °1 Ø

= 2 · (°11) + 1 · (°33) + 4 · 11 = °11,

Ø Ø Ø Ø Ø 6 1+1 Ø Ø °1 Ø = 1(°1) Ø 2 °1 Ø

Ø Ø Ø3 Ø 6 1+2 Ø Ø Ø + 2(°1) Ø 5 °1

= 1 · (°11) + (°2) · (°33) + 1 · 11 = 66,

Ø Ø Ø Ø Ø Ø1 1 Ø 2 1 3+2 3+1 Ø Ø Ø Ø = 5(°1) Ø °1 4 + 2(°1) Ø 2 4 Ø Ø = 5 · 9 + (°2) · 2 + (°1) · (°5) = 46, Ø Ø Ø

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø + 4(°1)1+3 Ø 3 °1 Ø Ø 5 Ø 2 Ø

Ø Ø Ø Ø 3 °1 Ø Ø 1+3 Ø Ø Ø Ø + 1(°1) Ø 5 2Ø

+ (°1)(°1) Ø Ø Ø Ø

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Ø Ø1 2 Ø 2 °1

3+3 Ø

Ø Ø Ø Ø

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1.2. Determinantes

Ø Ø 1 2 1 Ø Ø 2 °1 4 Ø Ø 3 °1 6

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø 2 Ø = 3(°1)3+1 Ø 2 1 Ø + (°1)(°1)3+2 Ø 1 1 Ø + 6(°1)3+3 Ø 1 Ø Ø 2 °1 Ø2 4 Ø Ø °1 4 Ø Ø = 3 · 9 + 1 · 2 + 6 · (°5) = °1.

Ø Ø Ø Ø

Por tanto

1.2.1.

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

1 3 2 1 2 1 °1 4 3 2 °1 6 5 °4 2 °1

Ø Ø Ø Ø Ø = (°3) · (°11) + 1 · 66 + (°2) · 46 + (°4) · (°1) = 11. Ø Ø Ø

Propiedades de los determinantes

Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo tama˜ no. 1) det(A) = det(At ). Por consiguiente, toda propiedad de los determinantes que sea v´ alida para filas tambi´en lo es para columnas, y viceversa. 2) Si una columna de A es combinaci´on lineal de otras columnas (en particular si es nula o si es igual a otra columna), entonces det(A) = 0. 3) Si a una columna de A se la multiplica por un n´ umero real λ, la matriz resultante tiene determinante λ · det(A). 4) Si una columna de A se descompone en suma de dos columnas, entonces det(A) es igual a la suma de los determinantes de las matrices que resultan de sustituir en A aquella columna por cada una de esas columnas. Es decir, para cualquier j (j = 1, 2, . . . , n) Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø a11 · · · a1j + a0 · · · a1n Ø Ø a11 · · · a1j · · · a1n Ø Ø a11 · · · a0 a1n ØØ 1j 1j · · · Ø Ø Ø Ø Ø 0 0 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø a21 · · · a2j + a2j · · · a2n Ø Ø a21 · · · a2j · · · a2n Ø Ø a21 · · · a 2j · · · a2n Ø Ø .. Ø Ø = + Ø Ø .. .. Ø .. Ø .. ØØ . . . ... ... Ø . Ø .. Ø .. . . . . Ø Ø Ø Ø Ø Ø 0 0 Ø an1 · · · anj + anj · · · ann Ø Ø an1 · · · anj · · · ann Ø Ø an1 · · · anj · · · ann Ø 5) Si a una columna de A se le suma una combinaci´ on lineal de otras columnas, no se altera el valor del determinante. 6) Si se intercambian dos columnas de A, el determinante cambia de signo. 7) det(AB) = det(A) · det(B ). El c´alculo de determinantes de orden superior a 3 se facilita utilizando adecuadamente las propiedades anteriores.

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1.2. Determinantes Ejemplo Ø Ø 1 3 2 1 Ø Ø 2 1 °1 4 Ø Ø 2 °1 6 Ø 3 Ø 5 °4 2 °1

1.2.2.

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø=Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

Ø Ø Ø ØØ 1 0 0 0 ØØ Ø °5 °5 Ø °5 0 2 2 Ø Ø ØØ 2 °5 °5 2 ØØ 1+1 Ø = 1(°1) 3 3 Ø = Ø °7 0 Ø °7 °7 3 °7 °7 3 ØØ Ø °19 °8 °6 ØØ Ø °19 11 °6 5 °19 °8 °6 Ø Ø Ø Ø Ø 3+2 Ø °5 2 Ø = 11(°1) Ø = (°11) · (°1) = 11. °7 3 Ø

Ø Ø Ø Ø Ø Ø

Rango de una matriz

Sea A = (aij ) 2 Mm£n . Elegidas las p filas i1 , i2 , . . . , ip y las p columnas j1 , j2 , . . . , jp de A (p ∑ m y p ∑ n), se llama menor de orden p de A determinado por las p filas y las p columnas elegidas, al determinante de la submatriz p £ p de A que forman los elementos aih jk situados en las intersecciones de las filas y columnas elegidas, es decir, a Ø Ø Ø ai1 j1 . . . ai1 jp Ø Ø Ø Ø .............. Ø Ø Ø Ø aip j1 . . . aip jp Ø Se dice que p es el rango de A, y se escribe rg(A) = p , si A tiene alg´un menor de orden p que no es nulo y todos los menores de A de orden mayor que p son nulos.

Dadas l l´ıneas de A, si ninguna de ellas se puede expresar mediante una combinaci´on lineal de las otras l ° 1, entonces se dice que esas l l´ıneas son linealmente independientes. Teorema 1.2.1 El rango de A coincide con el n´ umero m´ aximo de sus filas o columnas linealmente independientes. M´ etodo para hallar el rango de una matriz a partir de sus menores Es obvio que si se descubre de un vistazo que dos l´ıneas paralelas son proporcionales, se puede prescindir de una de ellas sin que con ello var´ıe el rango. Salvo que todas las l´ıneas sean proporcionales, es f´acil encontrar un menor de orden 2 que sea no nulo. Para hallar el rango de la matriz, se toma un menor M2 de orden 2 no nulo y se le bordea con una fila fija, la i, y con sucesivas columnas; si todos los menores de orden 3 que as´ı se obtienen son nulos, entonces se prescinde de la fila i, pues es combinaci´ on lineal de las filas de la matriz que constituyen M2 , y se repite el proceso con otra o con otras filas hasta: 1) encontrar un menor M3 de orden 3 no nulo, en cuyo caso el rango es al menos 3, o 2) descubrir que todos los menores de orden 3 son nulos, en cuyo caso el rango es 2. Si hay un menor M3 no nulo, se le bordea con una fila y sucesivas columnas, siguiendo el mismo proceso que con M2 , lo que nos lleva o bien a que el rango es 3 (si todos los menores de orden 4 son nulos) o bien a que el rango es al menos 4 (en cuanto se encuentre un menor de orden 4 no nulo). Siguiendo as´ı, se llega a un menor no nulo del mayor orden posible; este orden es el rango buscado.

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1.2. Determinantes Ejemplo Calculemos el rango de la matriz 1 °1 3 0 1 2 B 0 5 1 2 3C C A=B @ °3 °1 °2 °1 0 A . 3 11 4 5 18 0

Observamos que

Ø Ø °1 3 Ø Ø 0 5

Ø Ø Ø Ø = °5 6= 0.

Por consiguiente, rg(A) ∏ 2. Los menores Ø Ø Ø Ø °1 Ø °1 3 0 ØØ 3 1 Ø Ø Ø 0 Ø Ø 5 1 Ø , 5 2 Ø Ø 0 Ø °3 °1 °2 Ø Ø °3 °1 °1

Ø Ø Ø Ø Ø , Ø

Ø Ø Ø Ø °1 3 2 Ø Ø Ø, Ø 0 5 3 Ø Ø Ø °3 °1 0 Ø

son todos nulos. Entonces la tercera fila de A es combinaci´on lineal de las prescindir de ella sin que con ello var´ıe el rango. Por tanto, rg(A) ∑ 3. Se Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø °1 3 0 Ø Ø Ø Ø Ø Ø °1 3 2 Ø °1 3 1 Ø Ø Ø Ø 0 5 3 Ø 0 5 2 Ø = 0, Ø Ø 0 5 1 Ø = 0, Ø Ø Ø 3 11 4 Ø Ø 3 11 18 Ø 3 11 5 Ø

En consecuencia, rg(A) = 3.

1.2.3.

dos primeras y podemos tiene que Ø Ø Ø Ø = °60 6= 0 . Ø Ø

C´ alculo de la matriz inversa utilizando determinantes

El siguiente teorema proporciona una condici´on necesaria y suficiente para la invertibilidad de una matriz haciendo uso del concepto de determinante. Teorema 1.2.2 Sea A una matriz cuadrada n £ n. Son equivalentes: 1) A es invertible. 2) rg(A) = n. 3) det(A) 6= 0. Adem´as, si A es invertible, entonces det(A°1 ) =

1 . det(A)

Sea A = (aij ) 2 Mn£n . Se llama matriz adjunta de A a la matriz adj(A) = (Aij ), n £ n, donde Aij es el adjunto del elemento aij . Sabemos que A es invertible si, y s´ olo si, det(A) 6= 0. En este caso, su inversa A°1 viene dada por 1 A°1 = · (adj (A))t . det(A) Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara

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1.3. Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo La matriz

1 1 2 0 A = @ °1 1 2 A 0 1 3 0

es invertible puesto que

Ø Ø Ø 1 2 0Ø Ø Ø det(A) = ØØ °1 1 2 ØØ = 7 6= 0. Ø 0 1 3 Ø

Los adjuntos de los elementos de A son Ø Ø Ø Ø1 2 Ø Ø Ø Ø A11 = Ø = 1, A 12 = ° ØØ 1 3 Ø Ø Ø Ø Ø1 Ø 2 0Ø Ø Ø A21 = ° Ø = °6 , A22 = ØØ 0 1 3Ø Ø Ø Ø Ø2 0 Ø Ø Ø Ø A31 = Ø = 4, A 32 = ° ØØ 1 2 Ø

Por tanto,

A°1

1.3.

A13 A 23 A33

1 1 3 °1 3 °1 A adj (A) = @ °6 4 °2 3 0

y finalmente

Ø °1 2 ØØ = 3, 0 3Ø Ø 0 ØØ = 3, 3 Ø Ø 1 0 ØØ = °2 , °1 2 Ø

Ø Ø Ø °1 1 Ø Ø = °1 , Ø =Ø 0 1Ø Ø Ø Ø 1 2Ø Ø Ø = °1 , = °Ø 0 1Ø Ø Ø Ø 1 2Ø Ø = 3. Ø =Ø °1 1 Ø

1 1 °6 4 1 3 °2 A . = @ 3 7 °1 °1 3 0

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales en las n inc´ognitas x1 , x2 , . . . , xn es un conjunto de ecuaciones del tipo 9 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 > > > > a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 = (S ) .. > > . > > ; am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm

Los aij se llaman coeficientes del sistema y los bi se llaman t´erminos independientes; todos son n´ umeros reales dados. Se dice que los n´ umeros reales α1 , α2 , . . . , α n constituyen una soluci´on de S si al tomar x1 = α1 , x2 = α2 , . . . , xn = αn las m ecuaciones se convierten en igualdades. Resolver S es hallar todas sus soluciones.2 Un sistema que admite soluci´on se llama compatible; si no tiene soluci´on se llama incompatible. Un sistema compatible puede tener una u ´nica soluci´on, en cuyo caso se dice que es determinado, o infinitas soluciones, llam´andose entonces indeterminado. 2

Naturalmente, las ecuaciones de un sistema lineal pueden involucrar n´ umeros complejos o en general elementos de un cuerpo

conmutativo K. Nosotros nos mantenemos en el a ´mbito de los n´ umeros reales, exclusivamente.

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1.3. Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema se llama homog´eneo si sus t´erminos independientes so...