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TEMA 1 CONCEPTOS Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Objetivo. Comprender el concepto de ecuación diferencial, clasificar las ecuaciones diferenciales, resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y ver algunas aplicaciones.

Definición y clasificación. Una ecuación diferencial es aquella que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más independientes. Es una ecuación que relaciona una función, sus variables y sus derivadas.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en general en dos tipos:

➢ Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO). Es una ecuación que incluye sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Ejemplos: 5

𝑑𝑦 + 2𝑦 = 12 𝑑𝑥

(4𝑥 + 7𝑦)𝑑𝑥 + 6𝑦𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑢 𝑑𝑣 − = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 + 5 − 4𝑦 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑥

1

➢ Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP). Es una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes.

Ejemplos:

𝜕𝑢 𝜕𝑢 =− 𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝑥

𝜕𝑢 𝜕𝑢 +𝑦 =𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 = 𝜕𝑥 2 𝜕𝑡 2

Las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales se utilizan en la descripción matemática de sistemas físicos en el dominio del tiempo.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), se pueden clasificar de acuerdo con su orden, su grado y su linealidad. ➢ Clasificación según el orden. El orden de la ecuación (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada más alta de dicha ecuación. Ejemplos: Ecuación Diferencial

Orden

(3 + 𝑥)𝑦 ′′ + 2𝑥𝑦 ′ − 38𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 2𝑦𝑦 ′ − 3𝑦 = 4 + 𝑥 2

𝑥 2 𝑦 (4) + 𝑥 3 𝑦 ′′′ − 2𝑥𝑦 − 𝑦 = 0

𝑑𝑦 𝑑3𝑦 = √2 + ( 3 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜

𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜

𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑜

2

➢ Clasificación según el grado. El grado de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el exponente de la mayor derivada contenida en la ecuación. Ejemplos: Ecuación Diferencial

Grado

𝑑𝑦 3 𝑑2 𝑦 + 2 ( ) − 2𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟

2

𝑑𝑦 4 𝑑3 𝑦 ( 3 ) − 2 ( ) + 𝑥𝑦 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜

(𝑦 ′′′ )3 + 2(𝑦 ′′ )3 + 𝑦 ′ = tan 𝑥 𝑒𝑥

𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 =𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟

➢ Clasificación según la linealidad. Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si cumple las siguientes propiedades: 1) El grado de la variable dependiente y de sus derivadas es uno, esto es, el exponente de cada una es uno. 2) El coeficiente de la variable dependiente y de sus derivadas sólo depende de la variable independiente. 3) No hay productos de las variables dependientes. 4) No hay funciones trascendentes (por ejemplo: cos, log, ln,) en relación con las variables dependientes. Ejemplos:

(2 + 𝑥)𝑦 ′ + 5𝑥𝑦 ′ − 3𝑦 = cos 𝑥 𝑥 2 𝑦 (4) + 𝑥 3 𝑦 ′′′ − 2𝑥𝑦 − 𝑦 = 0 (cos 𝑥)𝑦 ′′′ − (𝑠𝑒𝑛 𝑥 )𝑦 ′ = 6

Si una ecuación no posee estas propiedades se dice que es no lineal.

3

Ejemplos: Ecuación diferencial

Causa de la no linealidad

2𝑦𝑦 ′ + 3𝑦 = 6 + 𝑥 2

𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑦 ′ 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑎𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦.

𝑑3𝑦 + 6𝑦 2 = 0 𝑑𝑥 3 𝑑𝑦 (1 − 𝑦) + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

𝐸𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑦 𝑛𝑜 𝑒𝑠 1.

𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑦 ′ 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑦.

𝑦 ′′ + ln 𝑦 = 0

𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 ln 𝑒𝑛 𝑦.

𝑑5𝑦 + 3𝑦 3 = 2𝑥 𝑑𝑥 5

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑜 .

Campo de direcciones.

Para las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma 𝑑𝑦⁄ 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦′, es particularmente útil una interpretación geométrica de sus soluciones. Dado que las soluciones son funciones 𝑦 = 𝑓(𝑥), sus representaciones geométricas corresponden a la gráfica de una función.

Geométricamente, en cualquier punto (𝑥, 𝑦), la pendiente 𝑑𝑦⁄ 𝑑𝑥 de la solución en ese punto está dada por 𝑓(𝑥, 𝑦). Esto puede indicarse si se traza un pequeño segmento rectilíneo que pase por el punto (𝑥, 𝑦) con la pendiente 𝑓(𝑥, 𝑦). La colección de todos los segmentos rectilíneos se llama campo de direccional o campo de pendientes de la ecuación diferencial. De acuerdo a lo anterior, dada una EDO 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑦⁄ 𝑑𝑥, se llama campo de direcciones o mapa de pendientes a la representación gráfica de una muestra de pequeños segmentos de rectas tangentes a las curvas solución (o diferentes soluciones) de la ecuación diferencial, dibujados sobre los puntos de corte de éstos con las isóclinas. Definición de isóclina.

Dada una EDO 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑦⁄ 𝑑𝑥, se llama isóclina al lugar geométrico de los puntos del plano donde la pendiente de las curvas solución es constante, siendo su ecuación 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐶 . El campo de direcciones o pendientes de una EDO, nos da una idea o noción de cómo se ven (nos permite visualizar) graficadas las soluciones de la ecuación diferencial.

4

Nota: La derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica.

Ejemplo. Sea la ecuación diferencial ordinaria

𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑥

Resolviendo por separación de variables: 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑥 ⇨

donde

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑥

⇨

⇨

ln 𝑦 = ln 𝑥 + 𝑐

𝑦 = 𝑒 ln 𝑥 𝑒 𝑐

⇨

⇨

⇨

∫

𝑑𝑦 𝑑𝑥 =∫ 𝑦 𝑥

𝑒 ln 𝑦 = 𝑒 ln 𝑥+𝑐 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑐

𝑒 𝑐 = 𝐴 = 𝑐𝑡𝑒.

Por lo tanto la solución general es 𝒚 = 𝑨𝒙

← 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 (𝒍í𝒏𝒆𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂)

La solución general son líneas rectas que confluyen hacia el centro, pero no lo tocan (no llegan a él).

El campo de direcciones queda como sigue:

𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑥

Calculando las pendientes en cada par de puntos del sistema de coordenadas (𝑥, 𝑦). Le damos valores a 𝑥 en el intervalo −3 ≤ 𝑥 ≤ 3 y calculamos 𝑑𝑦⁄ 𝑑𝑥.

5

Punto (𝑥, 𝑦)

𝐴(−3, 3) 𝐵(−3, 2) 𝐶(−3, 1) 𝐷(−3, 0) 𝐸(−3, −1) 𝐹(−3, −2) 𝐺(−3, −3)

Pendiente m = 𝑑𝑦⁄ 𝑑𝑥

Punto (𝑥, 𝑦)

𝐻(−2, 3) 𝐼(−2, 2) 𝐽(−2, 1) 𝐾(−2, 0) 𝐿(−2, −1) 𝑀(−2, −2) 𝑁(−2, −3)

−1 = 45° −(2⁄3) = −33.7° −(1⁄3) = −18.4° 0 = 0° (1⁄ 3) = 18.4° (2⁄ 3) = 33.7° 1 = 45°

−(3⁄2) = −56.3° −1 = −45° −(1⁄2) = −26.6° 0 = 0° (1⁄2) = 26.6° 1 = 45° (3⁄2) = 56.3°

Graficando con Geogebra.

Campo de Direcciones o Mapa de Pendientes.

6

Pendiente m = 𝑑𝑦⁄ 𝑑𝑥

Ejemplo (Geogebra).

Hallar el campo de direcciones de la EDO 𝒚′ = −𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟐𝒚 y cinco curvas solución de la ED que pasan por los puntos (0, 2), (0, 0), (0, -1), (-2, 4) y (3, -2).

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Métodos de Solución:

a) Método de separación de variables. Definición. Una ecuación diferencial de la forma 𝑑𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑑𝑥 ℎ(𝑦)

(1)

es separable o tiene variables separables. La función ℎ(𝑦) debe ser diferente de cero para todos los valores de 𝑦 en los que está definida. Método de solución.

A partir de la ecuación (1), separando variables se tiene ∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐

(2)

Integrando ambos miembros se obtiene una familia de uniparamétrica de soluciones (dependiendo del valor de la constante de integración 𝑐) , la cual queda expresada implícitamente.

Ejemplos: 𝟏.

𝑑𝑦 = cos 2𝑥 𝑑𝑥

Solución:

Separamos variables

𝑑𝑦 = cos 2𝑥 𝑑𝑥

e integramos haciendo el cambio de variable 𝑢 = 2𝑥, 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 =

1 ∫ 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 2

7

𝟐. 𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0

𝟏 𝒚 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝒄

Solución:

Separamos variables 𝑑𝑦 = e integramos

𝑑𝑥 𝑥2

∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝒚=−

𝟑. (𝑥 + 1)

𝑑𝑥 𝑥2

𝟏 +𝒄 𝒙

𝑑𝑦 =𝑥 𝑑𝑥

Solución:

Separamos variables 𝑑𝑦 = e integramos

𝑥 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)

∫ 𝑑𝑦 = ∫

𝑥 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)

Para simplificar la integral del lado derecho primero hacemos la división

Por lo que la integral queda

1 𝑥 =1− 𝑥+1 𝑥+1

∫ 𝑑𝑦 = ∫ 1 −

1 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)

𝒚 = 𝒙 − 𝑰𝒏|𝒙 + 𝟏| + 𝒄

8

𝟒. 𝑥𝑦′ = 4𝑦 Solución:

Escribimos la ecuación con sus variables separadas 𝑥 e integramos

𝑑𝑦 = 4𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 4𝑦

⇨

1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ∫ =∫ 𝑥 4 𝑦

1 𝐼𝑛|𝑦| = 𝐼𝑛|𝑥| + 𝑐 4

Para obtener la solución en forma explícita hacemos 𝑐 = 𝐼𝑛|𝑘| y se aplica la propiedad 𝐼𝑛|𝑎| + 𝐼𝑛 |𝑏| = 𝐼𝑛 |𝑎 𝑏| 1 𝐼𝑛|𝑦| = 𝐼𝑛 |𝑥| + 𝐼𝑛 |𝑘| = 𝐼𝑛|𝑥 𝑘| 4

Tomando exponenciales de ambos lados para deshacernos de los logaritmos naturales y aplicando la propiedad 𝑎𝐼𝑛|𝑏| = 𝐼𝑛|𝑏|𝑎 nos queda que 1

Finalmente

𝟓.

𝑒4

𝐼𝑛|𝑦|

⇨

= 𝑒 𝐼𝑛|𝑥 𝑘|

1

𝑦4 = 𝑥 𝑘

𝒚 = 𝒙𝟒 𝑪

𝑑𝑦 𝑦 3 = 𝑑𝑥 𝑥 2

Solución:

Separamos variables

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦3 𝑥2

e integramos ∫ 𝑦 −3𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 −2𝑑𝑥

⇨

𝑦 −2 𝑥 −1 +𝑐 = −1 −2

9

⇨

𝒚−𝟐 = 𝟐𝒙−𝟏 + 𝒌

b) Método de las ecuaciones diferenciales homogéneas (reducibles a variables separables) Definición. Una función 𝑓(𝑥, 𝑦) es homogénea de grado 𝑘 si 𝑓(𝛼𝑥 , 𝛼𝑦) = 𝛼𝑘 𝑓(𝑥, 𝑦)

Método de solución.

Una ecuación homogénea de la forma 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, donde 𝑀 y 𝑁 tienen el mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ecuación de variables separables usando cualquiera de las siguientes sustituciones 𝑦 = 𝑢𝑥

⇨

𝑥 = 𝑣𝑦

𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢

⇨

(1)

𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣

(2)

donde 𝑢 y 𝑣 son nuevas variables independientes.

Aplicando la definición de función homogénea se puede reconocer si una ecuación es homogénea examinando el grado de homogeneidad de cada término. Por ejemplo

Ecuación diferencial

(𝑥 2 + 𝑦2 )𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0

Grado

(2√𝑥𝑦 − 𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0

2𝑥 3 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 4 + 𝑦 4 )𝑑𝑦 = 0 𝑥

𝑑𝑦 = 𝑦 + 𝑥𝑒 𝑦⁄𝑥 𝑑𝑥

2

1

4

1

Aplicando la definición dada para el segundo ejemplo se tiene que ⇨

𝑀(𝑥, 𝑦) = 2√𝑥𝑦 − 𝑦

𝑀(𝛼𝑥, 𝛼𝑦) = 2√𝛼𝑥𝛼𝑦 − 𝛼𝑦 = 𝛼(2√𝑥𝑦 − 𝑦) = 𝛼𝑀(𝑥, 𝑦)

⇨

𝒌=𝟏

⇨

𝑁(𝛼𝑥, 𝛼𝑦) = −𝛼𝑥 = 𝛼 (−𝑥 ) = 𝛼𝑁(𝑥, 𝑦)

⇨

𝑁(𝑥, 𝑦) = −𝑥

𝒌=𝟏

10

Por lo que, el grado de homogeneidad de la ecuación es 1.

Aplicando la definición dada para el cuarto ejemplo se tiene que 𝑥

𝑑𝑦 = 𝑦 + 𝑥𝑒 𝑦 ⁄𝑥 𝑑𝑥

⇨

⇨

⇨

⇨

𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥

𝑥𝑑𝑦 + (−𝑦 − 𝑥𝑒 𝑦⁄ 𝑥)𝑑𝑥 = 0

⇨

𝑀(𝛼𝑥, 𝛼𝑦) = 𝛼𝑥 = 𝛼𝑀(𝑥, 𝑦) 𝒌=𝟏

𝑁(𝑥, 𝑦) = −𝑦 − 𝑥𝑒 𝑦⁄𝑥

𝑁(𝛼𝑥, 𝛼𝑦) = −𝛼𝑦 − 𝛼𝑥 𝑒 𝛼𝑦 ⁄𝛼𝑥 = 𝛼(−𝑦 − 𝑥𝑒 𝑦⁄𝑥 ) = 𝛼𝑁(𝑥, 𝑦)

𝒌=𝟏

Por lo que, el grado de homogeneidad de la ecuación es 1.

Ejemplos: Indicar si las funciones dadas son homogéneas. Si lo son, señalar el grado de homogeneidad.

Función 𝟏. 𝟐.

𝑥 2 + 2𝑥𝑦 −

𝑥 3𝑦 − 𝑥 2𝑦2 𝑥 + 8𝑦

𝟑. cos

𝑦3 𝑥

Homogeneidad 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 2 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 3

𝑥2 𝑥+𝑦

𝑁𝑜 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎

𝟒. 𝐼𝑛 𝑥 2 − 2 𝐼𝑛 𝑦

𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 0

𝟓. (𝑥𝑥 −1 + 𝑦 −1 )2

𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 − 2

Aplicando la definición de función homogénea, para el ejemplo 4 se tiene que

11

𝑓(𝛼𝑥 , 𝛼𝑦) = 𝐼𝑛 (𝛼𝑥)2 − 2 𝐼𝑛 (𝛼𝑦) = 2[ 𝐼𝑛 𝛼 + 𝐼𝑛 𝑥 − 𝐼𝑛 𝛼 − 𝐼𝑛 𝑦 ] = 2[ 𝐼𝑛 𝑥 − 𝐼𝑛 𝑦] = 𝐼𝑛 𝑥 2 − 2 𝐼𝑛 𝑦

⇨

= 𝛼 0 ( 𝐼𝑛 𝑥 2 − 2 𝐼𝑛 𝑦 ) = 𝛼 0 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝒌=𝟎

Por lo que el grado de homogeneidad de la ecuación es 0.

Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales homogéneas dadas usando la sustitución apropiada. 𝟔. (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0

Solución:

Aplicando la sustitución 𝑦 = 𝑢𝑥

⇨

(𝑥 − 𝑢𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 ⇨

𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 la ecuación queda como ⇨

𝑥𝑑𝑥 − 𝑢𝑥𝑑𝑥 + 𝑥𝑢𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑢 = 0

(𝑥 − 𝑢𝑥 + 𝑢𝑥 )𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑢 = 0

Multiplicando toda la ecuación por

1

𝑥2

1 (𝑥𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑢 = 0) ( 2 ) 𝑥

𝑑𝑥 + 𝑑𝑢 = 0 𝑥

⇨

Integrando ambos lados de la ecuación ∫

1 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑑𝑢 𝑥

⇨

𝐼𝑛|𝑥| = −𝑢 + 𝑐

𝑦 En seguida se escribe la ecuación en función de 𝑥 y de 𝑦 sustituyendo 𝑢 = 𝑥 𝑦 ⇨ 𝑥𝐼𝑛|𝑥| = −𝑦 + 𝑥𝑐 𝐼𝑛|𝑥| = − + 𝑐 𝑥

Finalmente, la solución general es

𝒚 = 𝒄𝒙 − 𝒙𝑰𝒏|𝒙|

𝟕. 𝑥𝑑𝑥 + (𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦 = 0 Solución:

12

Haciendo la sustitución 𝑥 = 𝑣𝑦

⇨

𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣 la ecuación queda como

𝑣𝑦(𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣) + (𝑦 − 2𝑣𝑦)𝑑𝑦 = 0

Simplificando

𝑣 2 𝑦𝑑𝑦 + 𝑣𝑦 2 𝑑𝑣 + 𝑦𝑑𝑦 − 2𝑣𝑦𝑑𝑦 = 0 ⇨

𝑦𝑑𝑦(𝑣 2 + 1 − 2𝑣) = −𝑦2 𝑣𝑑𝑣

⇨

𝑣𝑑𝑣 𝑦𝑑𝑦 = 2 2 −𝑦 (𝑣 − 2𝑣 + 1)

𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑦 = 2 −𝑦 (𝑣 − 2𝑣 + 1)

⇨

Integrando ambos lados de la última ecuación aplicando fracciones parciales en el lado izquierdo −∫

𝐵 𝐴 𝑣 𝑑𝑦 𝑣 𝑑𝑣 + ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 = ∫ =∫ 2 𝑑𝑣 (𝑣 − 1) (𝑣 − 1)(𝑣 − 1) (𝑣 − 2𝑣 + 1) (𝑣 − 1)2 𝑦

Para obtener el valor de A y de B se tiene que 𝐵 𝐴 𝑣 + = (𝑣 − 1)(𝑣 − 1) (𝑣 − 1) (𝑣 − 1)2

⇨

𝑣 = 𝐴(𝑣 − 1) + 𝐵

De la última ecuación resulta que

−𝐴 + 𝐵 = 0

Y de este sistema se tiene que

𝐴=1

Sustituyendo los valores de 𝐴 y 𝐵 ∫

; ;

⇨

𝑣 = 𝐴𝑣 − 𝐴 + 𝐵

𝐴=1 𝐵=1

1 𝑣 1 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 + ∫ 𝑑𝑣 2 (𝑣 − 1) ( 𝑣 − 1) 2 𝑣−1

Sustituyendo 𝑣 =

= 𝐼𝑛|𝑣 − 1| +

𝑥 se obtiene que 𝑦

𝐼𝑛|𝑣 − 1| − Sustituyendo

(𝑣 − 1)−1 1 = 𝐼𝑛|𝑣 − 1| − 𝑣−1 −1

𝑥−𝑦 1 𝑥 1 1 = 𝐼𝑛 | = 𝐼𝑛 | − 1| − 𝑥 |−𝑥−𝑦 𝑣−1 𝑦 𝑦 ( 𝑦 − 1) 𝑦 𝑥−𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝐼𝑛 | |− = −∫ 𝑦 𝑥−𝑦 𝑦 13

⇨

𝑥−𝑦 𝑦 𝑥−𝑦 𝑦 +𝑐 𝐼𝑛 | |− = −𝐼𝑛|𝑦| + 𝑐 ⇨ 𝐼𝑛 | | + 𝐼𝑛|𝑦| = 𝑥 − 𝑦 𝑦 𝑥−𝑦 𝑦 𝑥−𝑦 𝑦 + ⇨ 𝐼𝑛 | (𝑦)| = 𝑥 − 𝑦 𝑐 𝑦

Finalmente se tiene que [𝐼𝑛|𝑥 − 𝑦| =

𝑦 + 𝑐] (𝑥 − 𝑦) 𝑥−𝑦

(𝒙 − 𝒚)𝑰𝒏|𝒙 − 𝒚| = 𝒚 + 𝒄(𝒙 − 𝒚)

⇨

𝟖. (𝑦 2 + 𝑦𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0

Solución:

Haciendo la sustitución convierte en

𝑦 = 𝑢𝑥

⇨

(𝑢 2 𝑥 2 + 𝑢𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥 2 (𝑥𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑢) = 0 ⇨

𝑢2 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 3 𝑑𝑢

Integrando ∫

1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 −2 𝑑𝑢 𝑥

𝑦 Sustituyendo 𝑢 = 𝑥 se tiene

𝑥 𝐼𝑛|𝑥| = − + 𝑐 𝑦

𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 , la ecuación dada se

⇨

⇨ ⇨

𝑢 2 𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑢𝑥 2 𝑑𝑥 − 𝑥 3 𝑑𝑢 − 𝑢𝑥 2 𝑑𝑥 = 0

⇨

1 𝑥2 𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑢 3 𝑥 𝑢

𝐼𝑛|𝑥| = −

1 +𝑐 𝑢

𝒙 + 𝒚 𝑰𝒏|𝒙| = 𝒚𝒄

c) Método de las ecuaciones diferenciales exactas. Definición. Sean 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦) funciones continuas con derivadas parciales de primer orden continuas en una región 𝑅 del plano 𝑥𝑦. Entonces una condición necesaria y suficiente para que 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑵(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 sea una ecuación diferencial exacta es que 𝜕𝑀 𝜕𝑁 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥

14

(1)

Método de solución. Dada la ecuación

𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑵(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

Primero se verifica que

𝜕𝑀 𝜕𝑁 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦

(2) (3)

Si la condición anterior se cumple entonces se plantea que 𝜕𝑓 = 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥

(4)

y se integran ambos lados respecto a 𝑥 , tomando a 𝑦 como constante en 𝑀(𝑥, 𝑦) ∫ 𝑑𝑓 = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)

⇨

Aquí 𝑔(𝑥) es la constante de integración. A continuación se deriva respecto a 𝑦 y se plantea que 𝜕𝑓

𝜕𝑦

Entonces

= 𝑁(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑓 𝜕 𝜕 = [∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥)] = [∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥] + 𝑔′ (𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦

por lo tanto,

𝑔′ (𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) −

Ahora se integra respecto de 𝑦

𝑔(𝑦) = ∫ {𝑁(𝑥, 𝑦) −

y se sustituye en 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕 [∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥] 𝜕𝑦

𝜕 [∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥]} 𝑑𝑦 𝜕𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + ∫ {𝑁(𝑥, 𝑦) −

Finalmente la solución es

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒄

15

𝜕 [∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥]} 𝑑𝑦 𝜕𝑦

En el procedimiento anterior en lugar de plantear 𝜕𝑓 𝜕𝑥

se pudo haber planteado

= 𝑀(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑓 = 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦

y siguiendo el procedimiento descrito se tendría respectivamente 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 + ℎ(𝑥)

ℎ′ (𝑥) = 𝑀 (𝑥, 𝑦) −

ℎ(𝑥) = ∫ {𝑀(𝑥, 𝑦) −

𝜕 [∫ 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦] 𝜕𝑥

𝜕 [∫ 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦]} 𝑑𝑥 𝜕𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 + ∫ {𝑀(𝑥, 𝑦) − Como en el caso anterior la solución sería

𝜕 [∫ 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦]} 𝑑𝑥 𝜕𝑥

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒄

Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones aplicando el método de las ecuaciones diferenciales exactas. 𝟏. (2𝑥 + 4)𝑑𝑥 + (3𝑦 − 1)𝑑𝑦 = 0 Solución:

Tomando 𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 4, 𝑁(𝑥, 𝑦) = 3𝑦 − 1 resulta que 𝜕𝑁 𝜕𝑀 =0= 𝜕𝑦 𝜕𝑥

Por lo tanto, la ecuación diferencial dada es exacta y se plantea que

Integrando

𝜕𝑓 = 𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 4 𝜕𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫(2𝑥 + 4) 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑔(𝑦)

16

Aplicando en esta ecuación la condición 𝜕𝑓

𝜕𝑦

se tiene que

= 𝑁(𝑥, 𝑦)

𝜕 2 [𝑥 + 4𝑥 + 𝑔(𝑦)] = 𝑔′ (𝑦) = 3𝑦 − 1 𝜕𝑦

Integrando

𝑔(𝑦) =

3𝑦 2 −𝑦 2

Sustituyendo 𝑔(𝑦) en 𝑓(𝑥, 𝑦), la solución es 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 +

𝟑𝒚𝟐 −𝒚=𝒄 𝟐

𝟐. (5𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥 + (4𝑥 − 8𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0

Solución:

Tomando 𝑀(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 + 4𝑦, 𝑁(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − 8𝑦 3 resulta que 𝜕𝑀 𝜕𝑁 =4= 𝜕𝑦 𝜕𝑥

Por lo tanto, la ecuación diferencial dada es exacta y se plantea que 𝜕𝑓 = 𝑀(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 + 4𝑦 𝜕𝑥

Integrando

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫(5𝑥 + 4𝑦) 𝑑𝑥 = Aplicando la condición

Por lo tanto

5𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 𝑔(𝑦) 2

𝜕𝑓 = 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦

𝜕 5𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 𝑔(𝑦)] = 0 + 4𝑥 + 𝑔′ (𝑦) = 4𝑥 − 8𝑦 3 [ 𝜕𝑦 2 𝑔′ (𝑦) = −8𝑦 3

17

Integrando ∫ 𝑔′ (𝑦) = − ∫ 8𝑦 3 𝑑𝑦

⇨

Sustituyendo 𝑔(𝑦) en 𝑓(𝑥, 𝑦), la solución es

𝑔(𝑦) = −2𝑦 4

𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟒 = 𝒄 𝟐

𝟑. (2𝑦 2 𝑥 − 3)𝑑𝑥 + (2𝑦𝑥 2 + 4)𝑑𝑦 = 0 Solución:

Tomando 𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑦2 𝑥 − 3, 𝑁(𝑥, 𝑦) = 2𝑦𝑥 2 + 4 resulta que 𝜕𝑁 𝜕𝑀 = 4𝑦𝑥 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥

Por lo tanto, la ecuación diferencial dada es exacta y se plantea que 𝜕𝑓 = 𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 2 𝑥 − 3 𝜕𝑥

Integrando

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫(2𝑦2 𝑥 − 3) 𝑑𝑥 = 𝑦2 𝑥 2 − 3𝑥 + 𝑔(𝑦) Aplicando la condición

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑦

= 𝑁(𝑥, 𝑦)

[𝑦 2 𝑥 2 − 3𝑥 + 𝑔(𝑦)] = 2𝑦𝑥 2 + 𝑔′ (𝑦) = 2𝑦𝑥 2 + 4

Integrando se obtiene

⇨

𝑔(𝑦) = 4𝑦

Sustituyendo 𝑔(𝑦) en 𝑓(𝑥, 𝑦), se obtiene la solución 𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝒄

𝟒. (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥 (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦 = 0

Solución:

Tomando 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦 2 , 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 2𝑦𝑥 resulta que 18

𝑔′ (𝑦) = 4

𝜕𝑀

𝜕𝑁 = 2𝑥 − 2𝑦 = −2𝑦 ≠ 𝜕𝑥 𝜕𝑦no es exacta pero es homogénea Por lo tanto, la ecuación dada

d) Método de la ecuación diferencial lineal de primer orden (factor integrante).

Definición. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es de la forma 𝑑𝑦 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

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y s...