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Teorema de Transporte de Reynolds • Relaciona derivadas de propriedades do sistema com a formulação de volume de controle • As equações básicas apresentadas envolvem a derivada temporal de propriedades extensivas do sistema: − − − − −

Massa Quantidade de movimento linear Quantidade de movimento angular Energia Entropia

generalizando

N sistema =

∫η dm = ∫η ρ d∀

massa sistema

assim,

N = M →η = 1 r r N = P →η =V

r r r N = H → η = r ×V

N = S →η = s

volume sistema

II

III

I

sistema y y x z

tempo to sistema e VC coincidem

Tempo to+∆t z

em to, sistema e VC coincidem para to+∆t, identificamos 3 regiões: I e II formam o VC II e III formam o sistema

Queremos relacionar

dN dt sistema

com quantidades no volume de controle Da definição de derivada,

N s t + ∆t − N s t dN o o = lim dt sistema ∆t →0 ∆t Da figura,

Ns

e

to + ∆t

Ns

= (N II + N III )t to

= N vc t

o

o + ∆t

= ( NVC − N I + N III )t

o + ∆t

Substituindo na definição da derivada do sistema, (NVC − N I + N III )to+t − (NVC )to dN lim dt sistema = ∆t → 0 ∆t A soma do limite é o limite da soma, dN = lim dt sistema ∆t → 0

NVCt +∆t − NVCt o

o

∆t (1)

+ lim

∆t → 0

N IIIt +∆t o

∆t (2)

− lim

∆t → 0

NIt

o

+ ∆t

∆t (3)

(1)

lim ∆t → 0

N VCt

o +∆t

− N VCto

∆t

∂NVC ∂ = = ∂t ∂t

∫

η ρ d∀

VC

Para avaliar (2) precisamos de uma expressão para

Olhar para a sub-região 3 em III r r ∆l = V ∆t

r dA

α

r V

fronteira do sistema em to+∆ t

superfície de controle

N III to +∆t

Para esta sub-região,

dN III t0

t +∆

= (η ρ d ∀)to + ∆t

d∀ = ?

r r r Comprimento do cilindro: dl = V ⋅ dA ∆t r r r r d∀ = ∆l dA cos α = ∆l ⋅ dA = V ⋅ dA∆t Assim,

dN III t

o

+ ∆t

r r = η ρ V ⋅ dA ∆t

Integrando em toda a região III,

lim ∆t → 0

N IIIt

o

+ ∆t

∆t

= lim

∆t → 0

∫ dN

III t o + ∆t

SC III

∆t

r r r r η ρV ⋅ dA ∆t = lim ∫ = ∫ η ρ V ⋅ dA ∆t → 0 ∆t SC III SC III

Da mesma forma para a região I, sub-região 1,

lim ∆t → 0

N I t o +∆t ∆t

r r = − ∫ η ρ V ⋅ dA SC I

r r sinal negativo pois V ⋅ dA é negativo r V

dA

r dA

Região 3

r V

r dA

Região 1

Juntando,

∂ dN = dt sistema ∂ t

∫

VC

η ρ d∀ +

∫

r r η ρV ⋅ dA +

SC I

∫

v v η ρV ⋅ dA

SC III

14444244443 SC

r r dN ∂ = ∫η ρ d∀ + ∫η ρ V ⋅ dA dt sistema ∂t VC SC Teorema de Transporte de Reynolds

Interpretação física: dN : dt sistema ∂ ∂t

∫

taxa de variação da propriedade extensiva N no sistema

∫ η ρ d∀ : taxa de variação da propriedade extensiva N no VC VC

r r η ρV ⋅ dA : taxa líquida do fluxo da propriedade N através da superfície de

SC

controle

v r r ρ V ⋅ dA : fluxo de massa através de dA por unidade de tempo r r r η ρ V ⋅ dA : fluxo de N através de dA por unidade de tempo Nota: a velocidade é medida em relação ao VC considerado fixo em relação ao sistema de coordenadas xyz...