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Todas as Listas de exercícios do semestre de Matemática 1, incluindo o gabarito....

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Listas de Exercícios e de Aplicações Pré-Cálculo Semana 0: Numeros Reais Exercícios Aplicações Semana 1: Retas e Parábolas Lista A Exercícios Lista A Aplicações Lista B Exercícios Lista B Aplicações Semana 2: Polinômios Exercícios Aplicações Semana 3: Funções Exercícios Aplicações

Cálculo Semana 4: Limite e continuidade Exercícios Aplicações Semana 5: Reta tangente, taxa de variação e a derivada Exercícios Aplicações Semana 6: Regras básicas de derivação Exercícios Aplicações Semana 7: Derivadas das funções exponencial e logarítmica e regra da cadeia Exercícios Aplicações Semana 8: Extremos de funções Exercícios Aplicações Semana 9: Teorema do Valor Médio, crescimento de funções, otimização Exercícios Aplicações Semana 10: Concavidade, esboço de gráficos Exercícios Aplicações Semana 11: Semana de Revisão Semana 12: Integral definida, Teorema Fundamental do Cálculo e áreas I Exercícios Aplicações Semana 13: Integral definida, Teorema Fundamental do Cálculo e áreas II Exercícios Aplicações Semana 14: Integral Indefinida e Regra da Substituição Exercícios Aplicações Semana 15: Integração por partes, volumes Exercícios Aplicações Semana 16: Aplicações da integral Exercícios

Universidade de Bras´ılia Departamento de Matem´atica

Pr´ e C´ alculo Lista de Exerc´ıcios

N´ umeros Reais

Os s´ımbolos a, b, c, ou x, y, z indicam n´ umeros reais quaisquer, e o conjunto de todos os reais ´e indicado por R. Soma e Multiplica¸ c˜ ao A soma e a multiplica¸ca˜o possuem as seguintes propriedades. Propriedade Comutativa

Exemplo

Descri¸ ca ˜o

a+b =b+a

2+5 =5+2

N˜ ao importa a ordem em que dois n´ umeros s˜ao somados

a·b =b·a

2·5=5·2

N˜ao importa a ordem em que dois n´ umeros s˜ao multiplicados

a + (b + c) = (a + b) + c

2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5

Com trˆes n´ umeros, n˜ao importa a ordem em os primeiros dois s˜ao somados

a · (b · c) = (a · b) · c

2 · (3 · 5) = (2 · 3) · 5

Com trˆes n´ umeros, n˜ao importa a ordem em que os primeiros dois s˜ ao multiplicados

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

Multiplicar uma soma ´e o mesmo que somar os produtos separadamente

Associativa

Distributiva a · (b + c) = a · b + a · c

1) Indique as propriedades que est˜ao sendo usadas nas opera¸co˜es a seguir. a) 7 + 10 = 10 + 7

e) (3 · x + 2) · 5 = 15 · x + 10

b) 7 · (2 + 3) = 7 · 2 + 7 · 3

f) (x + y) · (x + z) = (x + y) · x + (x + y) · z

c) (x + 2 · y) + 3 · z = x + (2 · y + 3 · z )

g) 2 · x(1 + z) = (1 + z) · 2 · x

d) 2 · (y + z) = 2 · y + 2 · z

h) 2 · (x + y + z) = 2 · (x + y) + 2 · z

2) Reescreva as express˜oes usando as propriedades indicadas. a) Comutativa: 7 + x

c) Distributiva: 3 · (x + y )

b) Associativa: 2 · (5 · y )

d) Distributiva: 4 · 2 + 4 · y

3) Reescreva as express˜ oes sem o sinal de parˆenteses. a) 4 · (x + z)

b) (x + z) · 5

c) 2 · (3 · z )

d) 3 ·x(2+ y + 3·z )

Soma e Subtra¸c˜ ao O 0 ´e o elemento neutro da adi¸ca˜o, isto ´e, a + 0 = a para todo a ∈ R. Todo n´ umero a possui um inverso aditivo, isto ´e, um n´ umero −a tal que a − a = a + (−a) = 0. A soma e a subtra¸c˜ao possuem as seguintes propriedades. Pr´ e-C´ alculo

Lista de Exerc´ıcios

N´ umeros Reais – 1/8

Propriedade

Exemplo

Descri¸ ca ˜o O inverso aditivo corresponde a multiplicar por −1

−a = (−1) · a

−5 = (−1) · 5

−(−a) = a

−(−2) = 2

O inverso do inverso ´e o pr´oprio n´ umero

(−a) · b = a · (−b) = −(a · b)

(−2) · 5 = 2 · (−5) = −(2 · 5)

O sinal de menos transita entre os termos de uma multiplica¸c˜ao

(−a) · (−b) = a · b

(−3) · (−7) = 3 · 7

Menos com menos d´a mais

−(a + b) = −a − b

−(3 + 5) = −3 − 5

O sinal de menos se distribui sobre a soma

4) Reescreva as express˜oes sem os parˆenteses. Quando n˜ao houver d´ uvida, a multiplica¸ca˜o a · b ser´ a indicada apenas por ab. a) −(x − 2)

c) 4(−6y )

e) (3a)(b + 2 − c)

b) −(x + 2 − z )

d) −2(x − 2y )

f) −2(−x)

Multiplica¸ c˜ ao e Divis˜ ao O 1 ´e o elemento neutro da multiplica¸c˜ao, isto ´e, 1a = a para todo a ∈ R. Todo n´ umero n˜ao nulo a possui um inverso multiplicativo, isto ´e, um n´ umero 1/a tal que a(1/a) = 1. A multiplica¸ca˜o b(1/a) ´e frequentemente abreviada como b(1/a) = b/a, e esse n´ umero ´e dito a fra¸c˜ao de numerador b e denominador a. A divis˜ ao e a multiplica¸ca˜o de fra¸co˜es possuem as seguintes propriedades. Propriedade

Exemplo

a c ac · = b d bd

2·7 2 7 · = 5 3 5·3

a b c d

a d = · b c

2 5 7 3

Descri¸ ca ˜o A multiplica¸c˜ao de fra¸c˜oes ´e feita multiplicando-se os numeradores e os denominadores. A divis˜ao de fra¸co˜es ´e feita invertendose uma das fra¸c˜oes e multiplicando o resultado.

2 3 = · 5 7

Um fator comum no numerador e no denominador n˜ ao altera a fra¸ca˜o.

a ac = b bc

2·5 2 = 7·5 7

a+b a b + = c c c

7 2 5 + = 3 3 3

ad bc a b + = + c d cd dc

2 5 2·7 5·3 + + = 3·7 7·3 3 7

Na soma de fra¸c˜oes de mesmo denominador basta somar os numeradores. Se os denominadores s˜ao diferentes, usase a terceira propriedade para reduzir ao caso anterior.

5) Reescreva as express˜ oes na forma de uma u ´nica fra¸ca˜o. a) 2 + 21 b)

1 3

+

c)

3 5

+ 72

d)

2 3

1 5

− 53

5 4

− 61   f) 23 2 − 15    g) 1 + 13 2 − 41    h) 12 − 32 25 − 41 e) 3 +

Pr´ e-C´ alculo

i)

j)

5

−

3 2

1 3

2

4 3 7 5

+

Lista de Exerc´ıcios

2 3

N´ umeros Reais – 2/8

2 − 51 k) 7 + 2 3

l)

1 3 1 5

− +

1 4 1 6

Rela¸ c˜ ao de Ordem Os n´ umeros reais podem ser identificados com os pontos de uma reta. Para isso, suponha que a reta esteja orientada da esquerda para a direita, que seja escolhido um ponto O da reta, dito a origem, e que seja escolhido ainda uma unidade de medida, indicada por 1. Com essas escolhas, o n´ umero positivo x pode ser identificado com o ponto que est´a `a direita e a uma distˆ ancia x da origem. O n´ umero negativo −x ´e identificado com o ponto que est´a `a esquerda e a uma distˆancia x da origem. Assim, −x ´e a reflex˜ao do ponto x em torno da origem. Ora! −(−x) corresponde a refletir −x em torno da origem, e portanto −(−x) = x, o que explica a regra “menos com menos d´a mais”. −x −3

x

O −2

−1

0

1

2

3

4

5

Uma consequˆencia natural desta identifica¸ca˜o ´e a rela¸ca˜o de ordem. De fato, dados dois n´ umeros x e y, ou eles s˜ao iguais ou um est´a a` esquerda do outro. Usa-se a nota¸c˜ao x < y (lˆe-se x ´e menor do que y) para indicar que x est´a a` esquerda de y. Neste caso pode-se usar tamb´em a nota¸c˜ao y > x (lˆe-se y ´e maior do que x). Usa-se ainda a nota¸c˜ao x ≤ y para indicar que x ´e menor ou igual a y . Supondo que x ≤ y, valem as seguintes propriedades: Propriedade

Exemplo

x + z ≤ y + z ∀z ∈ R

3 + (−2) ≤ 5 + (−2)

Descri¸ ca ˜o Somar um mesmo n´ umero dos dois lados n˜ao altera a desigualdade.

−y ≤ −x

−5 ≤ −3

Multiplicar por −1 inverte a desigualdade.

xz ≤ yz ∀z > 0

3·2≤5·2

yz ≤ xz ∀z < 0

5 · (−2) < 3 · (−2)

Multiplicar por um n´ umero positivo n˜ao altera a desigualdade. Multiplicar por um n´ umero negativo inverte a desigualdade.

6) Descida qual ´e o menor dos dois n´ umeros dados. a) 3 e 7/2

c) 3 e 13/4

e) −2/3 e −0, 7

b) −3 e −7/2

d) 2/3 e 0, 67

f) 2/3 e 3/4

7) Descida se as desigualdades s˜ ao verdadeiras ou falsas. a) −5 < −7 √ b) 2 > 1, 41

c) 10/11 < 12/13

√ e) − 2 > −3

d) −1/2 < −1

f) 1, 1 < 1, 11

8) Escreva as senten¸cas na forma de uma desigualdade. a) x ´e positivo

d) x ´e maior que −3 e menor que 1/2

b) t ´e menor do que 4

e) a distˆancia de x at´e 2 ´e menor do que 3

c) a ´e maior do que π

f) y ´e negativo Pr´ e-C´ alculo

Lista de Exerc´ıcios

N´ umeros Reais – 3/8

g) z ´e maior do que 1

i) w ´e positivo e menor do que 17

h) b ´e no m´aximo 8

j) y est´ a a uma distˆancia maior do que 2 do n´ umero 7

Conjuntos Um conjunto ´e apenas um nome que se d´ a a uma cole¸ca˜o de objetos, objetos que s˜ ao ditos os elementos do conjunto. Por exemplo, A = {1, 2, 3} ´e o conjunto cujos elementos s˜ao os n´ umeros 1, 2 e 3. A nota¸c˜ao 2 ∈ A ´e usada para indicar que 2 ´e um elemento de A, e 5 6∈ A significa que 5 n˜ao ´e um elemento de A. Se A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} e C = {4, 5, 6}, a nota¸ca˜o A ∪ B = {1, 2, 3, 4} (uni˜ao de A e B ) ´e usada para indicar o conjunto dos elementos que est˜ao em A ou em B , ou em ambos. J´ a a nota¸c˜ao A ∩ B = {2, 3} (interse¸c˜ao de A e B) ´e usada para indicar o conjunto dos elementos que est˜ao tanto em A quanto em B. Como n˜ ao existe elemento comuns entre A e C, a interse¸ca˜o desses conjuntos ´e vazia, e usa-se a nota¸ca˜o A ∩ C = ∅. B

z }| { 1, 2, 3, 4 , 5, 6 | {z } | {z } A

9) Encontre o conjunto indicado se A = {2, 4, 6, 8, 10, 12},

C

B = {3, 6, 9, 12} e C = {4, 8, 12, 16}

a) A ∪ B

e) A ∩ B

b) B ∪ C

f) B ∩ C

c) A ∪ C

g) A ∩ C

d) A ∪ B ∪ C

h) A ∩ B ∩ C

Intervalos Um tipo particularmente importante de conjunto s˜ ao os intervalos. Grosso modo, um intervalo inclui todos os n´ umeros entre dois extremos. Por exemplo, usa-se a nota¸ca˜o (2, 3) = {x ∈ R; 2 < x < 3} (x em R tal que 2 < x < 3)

2

3

para indicar o intervalo aberto de extremos 2 e 3, sem incluir os extremos. Esse intervalo est´a representado graficamente na figura acima, em que os c´ırculos sem preenchimento indicam que o intervalo n˜ao inclui os extremos. Para incluir um dos extremos, por exemplo, o 2, usa-se na nota¸c˜ao [2, 3) = {x ∈ R; 2 ≤ x < 3}. Veja outros intervalos na tabela abaixo, onde o c´ırculo preenchido indica que o extremo correspondente pertence ao intervalo.

Pr´ e-C´ alculo

Lista de Exerc´ıcios

N´ umeros Reais – 4/8

Nota¸ ca ˜o [2, 3)

Descri¸ ca ˜o {x ∈ R; 2 ≤ x < 3}

Ilustra¸ c˜ ao

{x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 3}

[2, 3]

{x ∈ R; 2 < x ≤ 3}

(2, 3] (2, ∞) [2, ∞)

(−∞, 3)

2

3

2

3

2

3

{x ∈ R; 2 < x}

2

{x ∈ R; 2 ≤ x}

2

{x ∈ R; x < 3}

(−∞, 3]

(−∞, ∞)

3

{x ∈ R; x ≤ 3}

3

R

O s´ımbolo ∞ n˜ao ´e um n´ umero. Ele ´e usado apenas para indicar que o intervalo n˜ a o tem extremo superior. Analogamente, −∞ ´e usado para indicar a falta do extremo inferior. 10) Represente graficamente os conjuntos A = {x ∈ R; −3 ≤ x},

B = {x ∈ R; x < 3} e C = {x ∈ R; −2 < x ≤ 7}

Em seguida determine os conjuntos indicados. a) A ∪ B

e) A ∩ B

b) B ∪ C

f) B ∩ C

c) A ∪ C

g) A ∩ C

d) A ∪ B ∪ C

h) A ∩ B ∩ C

11) Reescreva os intervalos a seguir na forma de desigualdades e, em seguida, represente-os graficamente. a) (−7, −1)

c) [3, 7)

e) [3, ∞)

b) (1, 5]

d) [−5, 2]

f) (−∞, 2)

12) Reescreva as desigualdades a seguir na nota¸ca˜o de intervalo e, em seguida, represente-as graficamente. a) x ≤ 2

c) 2 ≤ x ≤ 4

e) −2 < x

b) −1 ≤ x < 12

d) −5 ≤ x

f) −5 < x < 3

13) Reescreva os conjuntos a seguir na nota¸ca˜o de intervalo e e de desigualdades. a)

−2

3

c)

b)

−2

3

d)

0

−1

1

0

14) Represente graficamente os conjuntos a seguir. a) (−3, 0) ∪ (−1, 1)

d) (−3, 0) ∩ (−1, 1)

b) (−3, 5] ∪ [0, 8)

e) (−3, 5] ∩ [0, 8)

c) (−∞, −3) ∪ (3, ∞)

f) (−∞, 3) ∩ (1, ∞) Pr´ e-C´ alculo

Lista de Exerc´ıcios

N´ umeros Reais – 5/8

M´ odulo e Distˆ ancia O m´odulo, ou valor absoluto, de um n´ umero a ∈ R ´e a distˆancia do ponto a `a origem. Essa distˆ ancia ´e indicada por |a| (m´ odulo de a). Por exemplo, a distˆancia de 3 a` origem ´e 3, e portanto |3| = 3. J´a a distˆ ancia de −2 `a origem ´e 2, e portanto | − 2| = 2. Vale notar que | − 2| = −(−2) = 2. Assim, para um n´ umero negativo, a distˆ ancia `a origem ´e menos ele. O −2

3

Em particular, |a| ´e um n´ umero maior ou igual a zero, pois representa uma distˆancia. Outra forma de definir o m´odulo ´e dizer que |a| ´e aquele entre a e −a que ´e maior ou igual a zero. Lembrando que −a ´e positivo se a ´e negativo, a defini¸c˜ao do m´odulo ´e equivalente a ( a se 0 ≤ a |a| = −a se a < 0 ´ Otimo. O m´odulo fornece a distˆ a ncia de um ponto a` origem. E a distˆ a ncia entre dois pontos quaisquer, como se calcula? Por exemplo, qual a distˆancia entre −2 e 3? Com o auxilio da figura acima, essa distˆancia ´e igual a 5, valor que pode ser obtido como |3 − (−2)|, ou ainda como |(−2) − 3|. Em geral, tem-se que distˆ ancia entre a e b = |a − b| Vale notar que |a − b| = | − (a − b)| = |b − a|, o que expressa a propriedade esperada de que a distˆ ancia entre a e b ´e a mesma entre b e a. O m´odulo tem as seguintes propriedades, onde a e b s˜ao quaisquer n´ umeros reais: Propriedade |a| ≥ 0

Exemplo | − 2| = 2

|a| = | − a|

|3| = | − 3|

|ab| = |a||b|

| − 2 · 3| = | − 2||3|    −2  | − 2|    3  = |3|

 a  |a|   , b 6= 0  = |b| b

Descri¸ ca ˜o O m´odulo ´e sempre maior ou igual a zero. Tanto a quanto −a est˜ ao a uma mesma distˆancia da origem. O m´odulo do produto ´e o produto dos m´odulos. O m´ odulo do quociente ´e o quociente dos m´odulos.

15) Calcule as express˜ oes a seguir. a) |7| b) | − 6| √ c) | 2 − 2|

f) |1 − | − 4|| g)

−2 | − 3|

d) |5 − π|

h) −1 − |2 − | − 3||

e) || − 1| − |3||

i) |(−2) · 3|

16) Determine a distˆ ancia entre os n´ umeros dados. a) 3 e 15 b) −3 e 7

2 5 e 3 7 5 2 d) e − 7 3 c)

Pr´ e-C´ alculo

     1 j)  − · 9 3

   −2  k)   3

  2 − 5   l)  5 − 2

e) −2 e −7 f) 1, 4 e −2, 8 Lista de Exerc´ıcios

N´ umeros Reais – 6/8

Respostas 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

a) Comutativa da soma

e) Distributiva e comutativa do produto

b) Distributiva

f) Distributiva

c) Associativa

g) Comutativa do produto

d) Distributiva

h) Distributiva

a) x + 7

c) 3 · x + 3 · y

b) (2 · 5) · y

d) 4 · (2 + y )

a) 4 · x + 4 · z

c) 6 · z

b) x · 5 + z · 5

d) 6 · x + 3 · x · y + 9 · x · z

a) −x + 2

c) −24y

e) 3ab + 6a − 3ac

b) −x − 2 + z

d) −2x + 4y

f) 2x

a)

5 2

e)

49 12

i)

19 6

b)

8 15

f)

27 10

j)

20 31

c)

31 35

g)

7 3

k)

27 115

d)

1 15

h)

−1 40

l)

5 22

a) 3

c) 3

e) −0, 7

b) −7/2

d) 2/3

f) 2/3

a) Falsa

c) Verdadeira

e) Verdadeira

b) Verdadeira

d) Falsa

f) Verdadeira

a) x > 0

f) y < 0

b) t < 4

g) z > 1

c) a > π

h) b ≤ 8

d) −3 < x < 1/2

i) 0 < w < 17

e) −1 < x < 5

j) y < 5 ou y > 9 e) A ∩ B = {6, 12}

9) a) A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12} b) B ∪ C = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 16}

f) B ∩ C = {12}

c) A ∪ C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16}

g) A ∩ C = {4, 8, 12}

d) A ∪ B ∪ C = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16}

h) A ∩ B ∩ C = {12}

Pr´ e-C´ alculo

Lista de Exerc´ıcios

N´ umeros Reais – 7/8

A

10)

B

−3

C −2

3

7

a) A ∪ B = R

e) A ∩ B = {x ∈ R; −3 ≤ x < 3}

b) B ∪ C = C

f) B ∩ C = {x ∈ R; −2 < x < 3}

c) A ∪ C = R

g) A ∩ C = {x ∈ R; −3 ≤ x ≤ 7}

d) A ∪ B ∪ C = R

h) A ∩ B ∩ C = {x ∈ R; −2 < x < 3}

11)

a) −7 < x < −1 −7

d) −5 ≤ x ≤ 2 −1

−5

e) 3 ≤ x < ∞

b) 1 < x ≤ 5 1

3

5

f) −∞ < x < 2

c) 3 ≤ x < 7 3

12)

2

7

d) [−5, ∞)

a) (−∞, 2]

−5

2

e) (−2, ∞)

b) [−1, 12) −1

−2

12

c) [2, 4]

f) (−5, 3) 2

13)

14)

15)

−5

4

3

a) [−2, 3], −2 ≤ x ≤ 3

c) [0, 1), 0 ≤ x < 1

b) (−2, 3], −2 < x ≤ 3

d) (−1, 0), −1 < x < 0

a)

−3

1

d)

−1

0

b)

−3

8

e)

0

5

c)

−3

f)

1

3

3

a) 7

e) 2

i) 6

b) 6

f) 3

j) 3

c) 2 −

√

d) 5 − π 16)

2

a) 12 b) 10

2

g)

−2 3

k)

2 3

h) −2

l) 1

c)

e) 5

1 21 29 d) 21

Pr´ e-C´ alculo

f) 4, 2

Lista de Exerc´ıcios

N´ umeros Reais – 8/8

Universidade de Bras´ılia Departamento de Matem´atica

Pr´ e C´ alculo Lista de Aplica¸co ˜es

N´ umeros Reais

Tema: Opera¸co˜es com n´ umeros reais Opera¸c˜ oes com Fra¸co ˜es 1) As faixas da bandeir...