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´ DE ESPACIOS METRICOS ´ TOPOLOGIA Curso 2009/2010

Prof. Marta Macho Stadler

2 Marta Macho Stadler aticas Departamento de Matem´ Facultad de Ciencia y Tecnolog´ıa Universidad del Pa´ıs Vasco–Euskal Herriko Unibertsitatea Barrio Sarriena s/n, 48940 Leioa e-mail: [email protected] http://www.ehu.es/∼mtwmastm Tlf: +34 946015352 Fax: +34 946012516

Portada: Transparence, de Jean-Yves Piffard, http://www.piffard.ch/ Un especial agradecimiento al artista Jean-Yves Piffard, por permitirme usar una de sus obras en la portada.

´Indice general Introducci´on

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1. Conjuntos y aplicaciones 1 1 1.1. Nociones de L´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. S´ımbolos y conectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Los objetos del razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3. Condiciones necesarias y suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 1.1.4. Los m´etodos de demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Teor´ıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Funciones y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Propiedades de los n´umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6. Cardinalidad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Espacios m´etricos 2.1. Definici´ on de espacio m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Definici´on de distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Distancia entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Isometr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Bolas abiertas y cerradas. Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Topolog´ıa inducida por una m´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Clausura de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Interior de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Subespacios de un espacio m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

23 23 23 27 28 28 29 29 30 32 33 33 35 36 37

I´ndice general

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2.6. Di´ametro de un conjunto. Conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.7. Conjuntos densos y espacios separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. Continuidad en espacios m´etricos 55 3.1. Aplicaciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2. Aplicaciones continuas y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3. Aplicaciones uniformemente continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4. Completitud en espacios m´etricos 69 4.1. Definici´ on de sucesi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4. Espacios m´etricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5. Conexi´on en espacios m´etricos 5.1. Espacios y conjuntos conexos . 5.2. Componentes conexas . . . . . 5.3. Espacios totalmente disconexos 5.4. Conexi´on en espacios eucl´ıdeos 5.5. Conexi´on y continuidad . . . . . 5.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83 85 86 87 88 88

6. Compacidad en espacios m´etricos 95 6.1. Espacios y conjuntos secuencialmente compactos . . . . . . . . . . . . . 95 6.2. Compacidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3. Compacidad en espacios topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.4. Compacidad en espacios eucl´ıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Bibliograf´ıa

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Introducci´on Ya no la quiero, es cierto, pero cu´anto la quise. Mi alma no se contenta con haberla perdido. Aunque este ´ sea el ultimo ´ dolor que ella me causa, Y estos ´ sean los u´ ltimos versos que yo le escribo. Poema XX Pablo Neruda (1904–1973) La Topolog´ıa estudia aquellas propiedades de los espacios que permanecen inalterables al someterlas a deformaciones continuas, es decir, a distorsiones que ni rompen ni pegan algo que no lo estaba previamente. Por ejemplo, el car´acter circular de una circunferencia no es una propiedad topol´ ogica: se pueden pegar las extremidades de una cuerda para hacer una circunferencia, y sin a que la cortar ni despegar, deformar esta figura en un cuadrado, una elipse, etc. Se dir´ circunferencia, el cuadrado y la elipse son objetos topol´ogicamente equivalentes: la cualidad de no tener extremidades permanece constante durante estas transformaciones, esta ´ ogica. si es una propiedad topol´ Una conocida broma afirma que las personas que se dedican al estudio de la topolog´ıa e: no distinguen una rosquilla de una taza de caf´

en efecto, hemos pasado de la rosquilla a la taza sin realizar ni roturas ni cortes: ha sido on topol´ogica. una transformaci´ La topolog´ıa es pues matem´atica cualitativa, matem´ atica sin n´umeros: trata de propiedades cualitativas intr´ınsecas de los espacios, que son independientes de su tama˜no, posici´on y forma. 5

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Introducci´on

Los espacios m´etricos son los primeros ejemplos de espacios topol´ogicos, los que primero surgieron en el estudio cualitativo de espacios: generalizan las propiedades de los espacios eucl´ıdeos, donde sabemos medir la distancia entre dos puntos dados. En este curso de topolog´ıa de espacios m´etricos, se trata de dar una introducci´on a la topolog´ıa, a trav´ es de la teor´ıa de espacios m´etricos. Este texto est´a organizado en seis cap´ıtulos. El primero de ellos recopila aquellos preliminares sobre teor´ıa de conjuntos y l´ogica matem´atica que son necesarios para una buena comprensi´on del texto. Los siguientes cinco cap´ıtulos estudian las propiedades m´as importantes de espacios m´etricos: s´olo est´an demostrados aquellos enunciados cuya prueba no es trivial, se han incluido una gran cantidad de ejemplos y cada cap´ıtulo finaliza con una amplia colecci´ on de ejercicios, donde los m´as complicados est´an marcados con el s´ımbolo ♣. La bibliograf´ıa indicada se refiere en su mayor´ıa a textos sobre espacios m´etricos, aunque aparecen tambi´ en algunos libros cl´ asicos dedicados a los espacios topol´ogicos en general. Los cinco textos recomendados (por tratarse de una bibliograf´ıa amplia) para el curso van marcados con ∗: [D] y [H] por estar en castellano, la obra [R] por adaptarse perfectamente al contenido de esta asignatura, [Se] y [SV] por tratarse de libros de reciente aparici´ on... cualquiera de ellos ser´a un buen libro de consulta.

Leioa, febrero de 2010

Cap´ıtulo 1 Conjuntos y aplicaciones El mar respira apenas, brilla apenas. Se ha parado la luz entre los arboles, ´ ej´ercito dormido. Los despierta el viento con banderas de follajes. Primavera a la vista Octavio Paz (1914-1998)

1.1.

Nociones de L´ogica

La L´ogica es una herramienta b´ asica en Matem´aticas; damos aqu´ı un breve repaso de algunos conceptos fundamentales.

1.1.1. S´ımbolos y conectores En Matem´aticas, es fundamental la utilizaci´ on de s´ımbolos y conectores que sirven para modificar o combinar sentencias. Definici´on 1.1. Los siguientes s´ımbolos se llaman cuantificadores: 1) el cuantificador universal: ∀ (para todo); 2) el cuantificador existencial: ∃ (existe). Definici´on 1.2. Tambi´en es esencial el uso de los llamados conectores: 1) la negaci´on: no; 2) la conjunci´on: ∧ (y); 1

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Cap´ıtulo 1. Conjuntos y aplicaciones

3) la disyunci´on: ∨ (o); 4) la implicaci´on: =⇒ (si –, entonces); 5) la doble implicaci´on: ⇐⇒ (si y s´olo si, es equivalente a). El manejo es sencillo, pero es preciso tener cuidado al utilizarlos. Por ejemplo, si P y Q son propiedades relativas a los elementos de un conjunto X (definici´ on 1.11), para expresar que x cumple P, se escribir´ a P(x). Y entonces: Proposici´on 1.1. El enunciado P(x) ∨ Q(x), significa una de las tres posibilidades (mutuamente excluyentes) siguientes: (i) P(x) y Q(x); (ii) P(x) y no-Q(x); (iii) no-P(x) y Q(x). Proposici´on 1.2. Un enunciado se niega de la siguiente manera: 1) no-(∀x ∈ X, P(x)) es lo mismo que decir que (∃x ∈ X : no-P(x)); 2) no-(∃x ∈ X : P(x)) equivale a (∀x ∈ X, no-P(x)); 3) no(∀x ∈ X, P(x) ∧ Q(x)) es lo mismo que (∃x ∈ X : no-P(x) o no-Q(x)); 4) no-(∃x ∈ X : P(x) =⇒ Q(x)) es equivalente a (∀x ∈ X, P(x) = 6 ⇒ Q(x)). Proposici´on 1.3. Cuando aparecen varios cuantificadores en un enunciado, es indiferente el orden en el que se escriben, siempre que los cuantificadores involucrados sean del mismo tipo. Si P(x, y) es una propiedad relativa a los elementos x e y, entonces: 1) (∀x, ∀y, P(x, y)) es lo mismo que decir que (∀y, ∀x, P(x, y)); 2) (∃x, ∃y : P(x, y)) es equivalente a (∃y ∃y : P(x, y)) . Contraejemplo 1.1. Hay que tener cuidado cuando se ven involucrados cuantificadores de distinto tipo. Por ejemplo, el enunciado (∀x, ∃y : P(x, y)) no equivale a la expresi´ on (∃y : ∀x, P(x, y)). En efecto, si X = N y P(x, y) es la propiedad “x ≤ y”, la primera expresi´on se lee como que todo n´umero natural posee otro mayor (que es cierta) y la segunda significa que existe un n´ umero natural mayor que todos los dem´as (que es falsa). Proposici´on 1.4. El cuantificador existencial y el conector disyunci´on se pueden intercambiar en la escritura de un enunciado, as´ı como el cuantificador universal y el conector conjunci´ on:

1.1. Nociones de L´ogica

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1) (∀x, P(x)) y (∀y, Q(y)) es lo mismo que (∀x, y, P(x) ∧ Q(y )); 2) (∃x : P(x)) o (∃y : Q(y)) es equivalente a (∃x, y : P(x) ∨ Q(y )). Contraejemplo 1.2. En general, no se pueden intercambiar cuantificadores y conectores en la escritura de un enunciado: on (∀x, P(x) ∨ Q(x)) no equivale a (∀x, P(x)) ∨ (∀x : Q(x)). En efecto, 1) la expresi´ si X = N, P y Q son las propiedades de “ser par” y “ser impar” respectivamente, entonces la primera expresi´on se lee como que un n´umero natural es par o impar (que es verdadera) y la segunda dice que todo n´umero natural es par o todo n´umero natural es impar (que es falsa); 2) la expresi´on (∃x : P(x)) ∧ (∃x : Q(x)) no equivale a (∃x : P(x) ∧ Q(x)). En efecto, on se lee como que existe un tomando de nuevo el ejemplo de 1), la primera expresi´ umero natural impar (que es cierta), y la segunda n´umero natural par y existe un n´ significa que existe un n´umero natural a la vez par e impar (que es falsa).

1.1.2. Los objetos del razonamiento Definir una teor´ıa matem´ atica es establecer las reglas del juego sobre los objetos manipulados, los denominados axiomas. Definici´on 1.3. Un axioma es todo enunciado que: 1) sirve de fundamento para la construcci´on de una teor´ıa; 2) se admite como cierto y no es por lo tanto objeto de discusi´on. Cuando un unico ´ axioma no basta para definir una teor´ıa, se pide adem´as: 3) que los diferentes axiomas usados no se contradigan y sean independientes los unos de los otros. Ejemplos 1.1. Algunos ejemplos de axiomas son los siguientes: 1) axioma de Euclides, que es la base de la Geometr´ıa Eucl´ıdea: dos rectas paralelas del plano eucl´ıdeo no se cortan; 2) axioma de elecci´on: dado un conjunto X, existe una funcio´ n (definici´ on 1.18) de elecci´on, f : P(X) − {∅} −→X (definici´on 1.14), que asigna a todo conjunto A no vac´ıo, un punto distinguido f (A) = a ∈ A;

3) lema de Zorn: sea un conjunto parcialmente ordenado (X, ≤) (definici´ on 1.31), tal que todo conjunto bien ordenado (definici´on 1.33) admite una cota superior (definici´ on 1.34); entonces (X, ≤) posee un elemento maximal (definici´ on 1.32); 4) axioma de Zermelo: todo conjunto puede ser bien ordenado.

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Cap´ıtulo 1. Conjuntos y aplicaciones

Observaci´on 1.1. 2), 3) y 4) son formulaciones equivalentes del mismo axioma. Definici´on 1.4. Una definici´on es un enunciado que sirve para explicar o introducir una nueva noci´on. Una vez conocidos los axiomas y algunas definiciones, el juego puede comenzar, puesto que las reglas ya se conocen. Definici´on 1.5. Un teorema es un enunciado que se deduce: 1) directamente de los axiomas o 2) de los axiomas y los teoremas precedentes, y con las reglas de deducci´ on que se llaman demostraciones, que aseguran su validez. Definici´on 1.6. A veces, se da u´ nicamente el nombre de teorema a los verdaderamente importantes, a los que han pasado a la historia con un nombre, o a los que precisan una on muy larga, dejando el nombre de proposici´on al resto. demostraci´ on de un teorema. Definici´on 1.7. Un lema es una proposici´on preliminar a la demostraci´ Definici´on 1.8. Un corolario es una proposici´on que se deduce inmediatamente de un teorema, por una demostraci´ on si no inmediata, cuando menos corta y f´acil.

1.1.3. Condiciones necesarias y suficientes Definici´on 1.9. (La implicaci´on) Sean X un conjunto y P y Q dos propiedades matem´aticas definiendo los conjuntos A = {x ∈ X : P(x)} y B = {x ∈ X : Q(x)} respectivamente. Si A ⊂ B (definici´ on 1.12), todo elemento verificando P, cumple tambi´en Q. En este caso, se dice que P implica Q, y se escribe P =⇒ Q. Se dice tambi´en que P es una condici´on suficiente de Q (para obtener Q basta con conocer P) o que Q es on necesaria de P. una condici´ Definici´on 1.10. (La equivalencia) En las condiciones de la definici´on 1.9, si A = B on 1.12), todo elemento verificando P cumple tambi´en Q y viceversa. En este (definici´ caso, se dice que P es equivalente a Q, y se escribe P ⇐⇒ Q. Como A = B es id´entico a A ⊂ B y B ⊂ A, la equivalencia P ⇐⇒ Q significa las dos implicaciones P =⇒ Q y Q =⇒ P. Es decir, las dos propiedades equivalentes P y Q caracterizan el mismo conjunto. Observar que en tal caso P es una condici´on necesaria y suficiente de Q.

1.1. Nociones de L´ogica

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1.1.4. Los m´etodos de demostraci´on Hay muchos m´etodos de demostraci´on, de los cuales citamos los m´as importantes a continuaci´on, usando la notaci´on de la definici´ on 1.9: (i) M´etodo de la hip´ otesis auxiliar: para probar que P =⇒ Q, se supone P cierta. Esta forma de razonamiento, la m´ as directa, es tambi´en la m´as conocida. De manera pr´actica consiste en demostrar el teorema P =⇒ Q, donde P es la hip´otesis y Q la otesis es cierta) y ayud´andose de conclusi´on o tesis, suponiendo que se verifica P (la hip´ los axiomas y de los otros teoremas de la teor´ıa demostrados anteriormente. (ii) Disjunci´on de los casos: para probar que P =⇒ Q, se descompone P en la forma P1 ∨ · · · ∨ Pn , y se prueba que para cada i ∈ {1, . . . , n}, es Pi =⇒ Q. Es decir, se descompone el conjunto A de los elementos que cumplen P en una uni´on on 1.13) de subconjuntos A1 , · · · , An . Entonces, se prueba que para cada disjunta (definici´ 1 ≤ i ≤ n es Ai ⊂ B; y como A = A1 ∪ · · · ∪ An , se tendr´a A ⊂ B. Ejemplo 1.1. Probar que si n ∈ N, entonces n(n + 1) es par. on: Distinguimos dos posibilidades: si n es par, existe k ∈ N, tal que n = 2k , Demostraci´ y entonces n(n + 1) = 2k (2k + 1). Si n es impar, existe k ∈ N, tal que n = 2k + 1, y entonces n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2(2k + 1)(k + 1), que es claramente par. (iii) M´etodo de contraposici´on: para probar que P =⇒ Q, se demuestra el contrarec´ıproco no-Q =⇒ no-P. on Es un primer m´etodo de prueba indirecta. Descansa sobre el hecho de que la inclusi´ A ⊂ B es equivalente a decir que los conjuntos complementarios (definici´ on 1.13) verifican la inclusi´on B c ⊂ Ac . Ejemplo 1.2. Probar que si n ∈ N es tal que n2 es par, entonces n es par. on: Si n ∈ N es impar, entonces n2 es impar. Demostraci´ (iv) Demostraci´on por reducci´on al absurdo: para probar un enunciado P, se supone su negaci´ on no-P, y se busca una contradicci´on en la teor´ıa en la que se trabaja. Como evidentemente se admite que esta teor´ıa no admite contradicciones, la suposia falsa, lo cual es equivalente a decir que P es cierta. ¿A que´contradicci´on ci´on no-P ser´ se debe llegar? A contradecir un axioma, un teorema anteriormente probado o la propia suposici´on no-P.

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Cap´ıtulo 1. Conjuntos y aplicaciones

De modo similar, para probar que P =⇒ Q razonando por reducci´ on al absurdo, se admite lo contrario, es decir, que no-(P =⇒ Q), o lo que es equivalente, P y no-Q. Y se on. busca entonces encontrar una contradicci´ (v) El contraejemplo: para probar que un propiedad matem´ atica P es cierta para un conjunto X, hay que probar que todos los elementos de X la verifican. Pero, se sabe que on de (∀x ∈ X, P(x)) es (∃x ∈ X, no-P(x)). As´ı, para probar que esta f´ ormula la negaci´ es falsa, basta con encontrar un elemento de X que no verifique P: esto es lo que se llama dar un contraejemplo. Ejemplo 1.3. Si x ∈ R, ¿es cierto que si x ≤ x2 , entonces es x ≥ 1? on: La respuesta es falsa, tomando x = −2. Demostraci´ (vi) La demostraci´on por recurrencia: este tipo de demostraci´on est´a ligada a la definici´on del conjunto de los enteros naturales. Es una t´ ecnica u´ til para probar que una propiedad P(n) es cierta para todos los enteros naturales n, o para los que son iguales o superiores a un cierto n0 . Sean n0 un entero natural y P(n) una propiedad matem´ atica que depende de un entero n. Para probar que P(n) se verifica para cada n ≥ n0 , basta con probar que: 1) P(n0 ) es cierta, 2) demostrar, bajo la hip´otesis de que P(n) se verifica para n ∈ {n0 , n0 + 1, . . . k}, que P(k + 1) es cierta. La etapa 1) es una simple verificaci´ on y la 2) es, de hecho, el objeto de una demostraci´on. Ejemplo 1.4. Probar que para cada n ∈ N, 1 + · · · + n = n(n2+1). Demostraci´ . Si la propiedad se verifica para on: Para n = 1, es cierto que 1 = 1(1+1) 2 n ∈ {1, . . . , k}, entonces: 1+2+· · ·+k+(k+1)=(1+2+ · · ·+k)+(k+1)= k(k+1) +(k +1)= 2 (k+2)(k+1) . 2 Observaci´on 1.2. Hay una forma d´ebil de la demostraci´on por recurrencia: para probar que P(n) se verifica para cada n ≥ n0 , basta con probar que: 1) P(n0 ) es cierta, 2) demostrar, bajo la hip´otesis de que P(k) se verifica para k > n0 , que P(k + 1) es cierta. En este caso, para probar que P(k + 1) se verifica, nos apoyamos olo s´ sobre la hip´otesis de que P(k) es cierta.

1.2. Teor´ıa de conjuntos

1.2.

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Teor´ıa de conjuntos

Definici´on 1.11. Un conjunto es una colecci´on de objetos, llamados elementos o puntos. Si x es un elemento de X, se denota por x ∈ X. An´alogamente, x ∈ / X denota la “no pertenencia” de x a X. El conjunto vac´ ıo ∅ es el conjunto sin elementos. Son conjuntos importantes en Matem´aticas N, Z, Q, R, · · · . Se puede definir un conjunto: 1) por extensi´on, nombrando todos sus elementos: por ejemplo, el conjunto de los n´umeros naturales pares es {2, 4, 6, 8, · · · }; a para caracterizarlo 2) a trav´es de una propiedad P v´alida en un universo U, que servir´ {x ∈ U : P(x)}. Por ejemplo, el conjunto de los n´umeros naturales pares se puede expresar por {x ∈ N : x es m´ultiplo de 2}.

Definici´on 1.12. Dados A, B ⊂...