Torsion - Apuntes Torsión PDF

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Resistencia de Materiales I

Torsión

Contenido 1.Objetivo 2.Introducción 3.Hipótesis 4.Deducción de las Formulas de Torsión 5.Distribución de Esfuerzo de Corte 6.Acoplamiento por Medio de Bridas 7.Transmisión de Potencia 8.Esfuerzo Cortante Longitudinal 9.Torsión de Tubos de Pared Delgada; Flujo de Cortante 10.Torsión en Barras no Circulares 11.Uniones Conectadas con Carga Excéntrica

1.Objetivo Después del estudio de este tema el alumno será capaz de: 1. Definir par de torsión 2. Calcular los esfuerzos cortantes en un miembro estructural sometido a cargas de torsión. 3. Calcular el ángulo de deformación torsional. 4. Especificar un diseño conveniente por esfuerzo de cortante. 5. De analizar los acoplamientos por medios de juntas bridas. 6. Determinar la naturaleza de los esfuerzos cortantes longitudinales. 7. Analizar tubos de pared del delgada sometidos a torsión. 8. Estudiar el comportamiento de secciones no circulares sometidas a torsión.

2. Introducción Un momento de torsión o par torsor es aquel que tiende a hacer girar un miembro respecto a su eje longitudinal. Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes de transmisión, utilizados ampliamente en vehículos y maquinaria.

2. Introducción (continuación…) Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de torsión se aplica a un eje circular hecho de un material muy elástico, como el hule, por ejemplo.

Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se mantienen como tales, experimentando una rotación en el plano del momento. Las líneas longitudinales se convierten en hélices que intersectan siempre con el mismo ángulo a los círculos transversales.

2. Introducción (continuación…) Extraeremos a continuación una porción cilíndrica y consideraremos un pequeño elemento cuadrado que se encuentre en la superficie de dicha porción. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal como se muestra.

3. Hipótesis a) Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. b) Las secciones transversales se mantienen planas y no se alabean después de la torsión. c) La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. d) El árbol esta sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. e) Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material y los esfuerzos no sobrepasan el limite de proporcionalidad

3. Hipótesis (continuación…)

Eje sin deformar

Eje deformado

3. Hipótesis (continuación…) Eje sin deformar

Eje deformado

Círculos mantienen su forma

Líneas se convierten hélices

Radio sin alteración

4. Deducción de las Formulas de Torsión T

𝐴𝐴󰆒  𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 O’

T

A’ B

γ

ρ Ф A

𝐴𝐵  𝜌∅  𝛾𝐿

L

∅ …………….. (I) 

𝛾  𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒

𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒 (𝜏󰇜

𝜏 = G𝛾 … … … … … … . . 󰇛𝐼𝐼󰇜

ρ

O

4. Deducción de las Formulas de Torsión (continuación…) Reemplazando (I) en (II)

𝜏

∅ ………………. (III) (Ecuación de Compatibilidad) 

G: Modulo de Rigidez al Cortante 𝜏 : Esfuerzo Cortante ∅: Angulo de Giro 𝜌: Radio de la sección Transversal

T

Sección M-N ρ O

dF = dA

4. Deducción de las Formulas de Torsión (continuación…)

T = Tr = T= dF = (a) en (IV)

T= Reemplazando (III) en (V) T= 𝜌 𝐺∅𝑑𝐴/𝐿  󰇛𝐺∅/L󰇜 𝜌 𝑑𝐴

T=

∅ 

4. Deducción de las Formulas de Torsión (continuación…)  …………………………. (VI) 

G: Modulo de Rigidez al Cortante ∅: Angulo de Giro en Radianes J: Momento de Inercia Polar 𝑇: Momento Torsor 𝜏 : Esfuerzo Cortante De (VI) y (III)

4. Deducción de las Formulas de Torsión (continuación…) Convención de Signos Uso de la mano derecha, según la cual tanto el par de torsión como el ángulo de torsión serán positivos si el pulgar esté dirigido hacia afuera del eje

5. Distribución de Esfuerzos de Corte a) Árbol Circular Sólido

5. Distribución de Esfuerzos de Corte(continuación…) b) Árbol Circular Hueco

6. Acoplamiento por Bridas Empernadas - Discos a) Para un Grupo Concéntrico de Pernos

F

F

F F

F

F

6. Acoplamiento por Bridas Empernadas - Discos (continuación…) a) Para un Grupo Concéntrico de Pernos Por equilibrio: T = ΣRxF T=nRF F=τA n = Número de Pernos A = Área del Perno

F

F

F F

T=τARn

F

F

6. Acoplamiento por Bridas Empernadas - Discos (continuación…) b) Para dos Grupos Concéntricos de Pernos Por equilibrio: T = ΣR1xP1 + ΣR2xF2 T = n1R1xP1 + n2R2xF2 T = τ1 A1 R1 n1 + τ2 A2 R2 n2 P=τA n = Número de Pernos A = Área del Perno Las deformaciones angulares en los pernos son proporcionales a sus distancias al eje del árbol

=

6. Acoplamiento por Bridas Empernadas - Discos (continuación…) b) Para dos Grupos Concéntricos de Pernos

= Para pernos de igual material

= =

7. Transmisión de Potencia También a menudo se reporta la frecuencia de una maquina f, la cual indica el número de revoluciones o ciclos por segundo. Entonces, la potencia puede ser expresada en términos de la frecuencia.

P = Tω …………………. (1) ω = 2 ∏ f………………. (2) T = P / (2 ∏ f) ………………. (3) Donde: P: Potencia (W = N.m/s) T: Par de Torsión (N.m) f: Frecuencia de rotación expresada en Hertz (1Hz = 1ciclo/s)

𝑱 𝑻  … … … … … … … … . . 𝟒 𝑹𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑫𝒊𝒔𝒆𝒏𝒐 𝒅𝒆 Á𝒓𝒃𝒐𝒍 𝝉𝒂𝒅𝒎𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝑹

8. Esfuerzo Cortante Longitudinal Hasta ahora se ha considerado el esfuerzo cortante que se produce en las secciones transversales. Sin embargo, también aparece un esfuerzo longitudinal de dirección perpendicular al anterior y del mismo modulo.

 M gh 

 F dx  F ´rd   0

F  A

M g h  d r rd  d x  d r d x rd   0    ´ 0   ´

9. Torsión de Tubos de Pared Delgada; Flujo de Cortante

Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son:

F1  q 1  L , F 2  q 2  L 

/

/

τ𝑑𝑡, … … … … … … … . . 󰇛𝑞  𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒󰇜

Aplicando las condiciones de equilibrio:

q 1 L  q 2 L q 1  q 2 Relacionando el flujo cortante con el par de torsión

T 

 rqdL

9. Torsión de Tubos de Pared Delgada; Flujo de Cortante (continuación…)

Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son:

 rqdL

T 

𝑑𝐿 󰇛𝑟󰇜 𝑏ℎ  𝐴 2 2 (r)

dL= 2A

𝑇 2𝐴𝑞 Esfuerzo cortante medio en cualquier espesor “t”. t  q

𝒕𝝉 

𝑻 𝟐𝑨

𝑻

𝟐𝑨 𝒕

10. Torsión en Barras No Circulares Denotando con L la longitud de la barra, con a y b, respectivamente, el lado más ancho y el más angosto de su sección transversal y con T la magnitud de los pares de torsión aplicados a la barra

Esfuerzo cortante máximo 𝑇 𝜏 max  𝐶1 𝑎 𝑏

Angulo de Giro ∅

𝑇𝐿 𝑐2 𝑎 𝑏 𝐺

11. Uniones Conectadas con Carga Excéntrica

𝑴𝒕  𝑷 𝒆

𝑷𝒅 

𝑷 𝒏

11. Uniones Conectadas con Carga Excéntrica (continuación…)

a) Cargas directas iguales

b) Distribución de las Cargas de Momento

𝜏

𝑇𝜌 𝐽

𝐽   𝐴 𝜌

𝜌  𝑥  + 𝑦 

c) Cargas resultantes

J = A ( ∑ 𝑥   ∑ 𝑦󰇜 𝑇𝜌 𝜏 𝐴 󰇛∑ 𝑥   ∑ 𝑦  󰇜

𝑷𝒕 

𝑻𝝆 ∑ 𝒙𝟐  ∑ 𝒚𝟐

11. Uniones Conectadas con Carga Excéntrica (continuación…)

EJEMPLO: El eje vertical AD está unido a una base fija en D y sometido a los torques indicados. Un hueco de 44 mm de diámetro ha sido perforado en la porción CD del eje. Sabiendo que todo el eje está hecho de acero con G = 80 GPa, determine el ángulo de torsión en el extremo A. SOLUCIÓN: En el eje se diferencian tres porciones AB, BC y CD, cada una de sección uniforme y con torque interno constante, además el sistema está en equilibrio, luego: Podemos hacer un corte entre A y B, entonces:

250 Nm  T AB  0  T AB  250 Nm Haciendo un corte entre B y C se tiene de modo similar

250Nm  2000Nm  TBC  0  TBC  2250Nm

No hay torque aplicado en C entonces :

TCD  TBC  2250 Nm

El ángulo de torsión en A será:

 

Ti Li 1 TAB LAB TBC LBC TCD LCD  (   ) J i G G J AB J BC J CD

 (2250Nm )(0,6m) 1  (250 Nm)(0,4 m) (2250 Nm)(0,2 m) A        80GPa  (0,06 m) 4 (0,03m)4 (0,06 m) 4  (0,044) 4 32 32  32



 A  0,0388rad (

360º )  2,22º 2 rad

 A  2,22º

    



EJEMPLO: Para el eje cilíndrico hueco que se muestra en la figura: a) Cual es el mayor torque que puede aplicársele si el esfuerzo cortante no debe pasar de 120 MPa. b) Cual es el valor mínimo correspondiente del esfuerzo cortante? SOLUCIÓN:

a) como

De donde:



T Tr   max  J J

T

( max ) J ( ) J  Tmax  max r rext

(120 x106 Pa ) Tmax 



(0,060m) 32 0,030m

4

 (0.040m)4



Tmax  4,08kNm

b) El esfuerzo cortante mínimo lo podemos deducir del gráfico siguiente:

 max r2



 min 

 min r1

  min 

r1  max r2

0,02m (120MPa ) 0,03m

 min  80MPa

EJEMPLO: La polea de la figura se une al eje en el que va montada por medio de una chaveta de 1x1x6 cm. El eje tiene un diámetro de 5 cm y la polea transmite una potencia de 15 HP, girando a 120 rpm. Hallar el esfuerzo de cortadura en la chaveta SOLUCIÓN: La potencia y la velocidad angular la debemos expresar en unidades que nos permitan simplificaciones

P  15 HP(



735,5watt )  11032,5watt 1HP

120rev 2rad 1min ( )( )  12,56 rad / s 1min 1rev 60s El momento torsor es:

T 

P





11032,5 Nm / s  878,38 Nm 12,56rad / s

Debido a que el sistema está en equilibrio:

T  Fr  F 

T 877,94 Nm   35117,6N 0,025 m r

Esta fuerza actuando sobre la sección recta de la chaveta el valor del esfuerzo en esta sección La sección recta de la chaveta tiene un área de:

A  1cm(6cm)  6cm2  6 x10 4 m2 Luego el esfuerzo será:

 

F 35117,5 N   58,5MPa S 6 x10 4 m 2

  58,5MPa...