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DISEÑOS DE PARCELAS DIVIDIDASEste tipo de diseños se utiliza frecuentemente en experimentos factoriales cuando uno de los factores necesita, para ser evaluado, parcelas o unidades experimentales grandes y el otro factor se puede evaluar sobre unidades más pequeñas y donde existen restricciones de al...

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Experimentos Factoriales: Diseño de parcelas divididas y de bloques divididos

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DISEÑOS DE PARCELAS DIVIDIDAS Este tipo de diseños se utiliza frecuentemente en experimentos factoriales cuando uno de los factores necesita, para ser evaluado, parcelas o unidades experimentales grandes y el otro factor se puede evaluar sobre unidades más pequeñas y donde existen restricciones de aleatorización que impiden la asignación aleatoria de los tratamientos (combinación de factores) a las unidades experimentales. El diseño recibe el nombre de parcelas divididas (DPD) ya que generalmente se asocia uno de los factores a unidades experimentales de mayor tamaño (parcela principal) y dentro de cada parcela principal se identifican “subparcelas” o parcelas de menor tamaño sobre las cuales se asigna al azar el segundo factor. Las parcelas pueden ser dispuestas en cualquier tipo de delineamiento, así entre otros, se puede tener un diseño de parcelas divididas con estructura de parcelas completamente aleatorizadas o un diseño de parcelas divididas con estructura de parcelas en bloques al azar, o en cuadrado latino (Ver Esquema 1 y 2). En caso de querer analizar un tercer factor, las subparcelas se dividen a fin de permitir estudiar los niveles de este último, este diseño se conoce como diseño de parcelas subdivididas. Volviendo a los DPD tienen una herencia agrícola, ya que las parcelas usualmente son grandes áreas de terreno y las subparcelas pequeñas extensiones. Por ejemplo, algunas variedades de cultivo pueden plantarse en diferentes campos (parcelas) una variedad por campo. Luego cada campo puede dividirse, por ejemplo, en cuatro subparcelas, y tratarse cada una con un fertilizante diferente. A pesar de sus antecedentes agrícolas, los DPD son muy útiles en diferentes experimentos de horticultura, zootecnia, industrias, laboratorio, invernadero, etc. En estos diseños tanto los efectos del factor que va en las subparcelas como las interacciones entre ambos factores son estimados con mayor precisión que los efectos del factor que va en las parcelas, esto se debe al menor número de repeticiones del factor que va en las parcelas y al mayor tamaño de las mismas, lo que ocasiona un mayor Error en las parcelas [E(a)] que en las subparcelas [E(b)].

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Aleatorización La aleatorización se realizará en dos etapas: primero se aleatorizan los niveles del factor que se asignó a las parcelas principales, luego se aleatorizan los niveles del factor que se asignó a las subparcelas de cada parcela principal. Es decir que una vez diseñadas las parcelas se asigna en forma aleatorizada los niveles del factor que se va a aplicar a las mismas. Luego se divide a cada parcelas de forma tal de dar cabida a los niveles del segundo factor, los cuales se aleatorizan en las subparcelas de cada parcela.

Modelo lineal El modelo lineal para un DPD con estructura de parcelas en Bloques al azar es:

Yijk = µ + γ k + τi + (γτ)ki + β j + (τβ)ij + ε ijk Representa a la parcela

Yijk

= Obs. de la unidad experimental.

γ k = Efecto de los bloques.

µ

Representa a la subparcela

= Media general del ensayo.

τ i = Efecto del tratamiento τ de la parcela. β j = Efecto del tratamiento β de la subparcela.

(γτ)ki = Error de la parcela [E(a)]. (τβ ) ij = Efecto de la interacción de los tratamientos de la parcela y subparcela. ε ijk = Error de la subparcela [E(b)].

Nótese que numéricamente el error de la parcela corresponde a la interacción bloque tratamiento de la parcela, y que el error de la subparcela es la interacción bloque tratamiento de la subparcela más la interacción triple (bloque x Trat. parcela x Trat. Subparcela). Algunos autores consideran que el error de la subparcela solo debe estar formado por la interacción triple, eso se daría si los bloques interactuarán con los tratamientos de la subparcela, en nuestro caso consideraremos que dicha interacción no es significativa.

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A0

A3

A2

B1

B2

B2 B0

3

A1

A1

A2

A3

B2

A0 B0

B2

B2

B0

B0

B1

B0

B2

B0

B1

B1

B2

B0

B1

B1

B1

B0

B2

B1

Esquema 1: DPD con estructura de parcelas completamente aleatorizadas, donde A es el tratamiento de las parcelas (con cuatro niveles 0-1-2-3) y B el tratamiento de las subparcelas (con tres niveles 0-1-2)

Bloque I

Bloque II

A3

A1

A2

A0

A1

A0

A2

A3

B2

B0

B1

B1

B1

B0

B0

B1

B0

B1

B2

B0

B2

B2

B1

B2

B1

B2

B0

B2

B0

B1

B2

B0

Esquema 2: DPD en Bloques al Azar, donde A es el tratamiento de las parcelas (con cuatro niveles 0-1-2-3) y B el tratamiento de las subparcelas (con tres niveles 0-1-2)

Análisis Estadístico Si observamos los cuadros de análisis de varianza (ANOVA) tanto para un DPD con estructura de parcelas completamente al azar como con estructura de parcelas en bloques al azar, podemos ver que ambos constan de dos partes, la primera parte es para el estudio del factor que va en las parcelas y la segunda para el factor que va en las subparcelas y para la interacción Tratamiento parcela x Tratamiento subparcela. Como vemos tenemos dos Errores distintos: el Error referente a las parcelas [E(a)], y el Error correspondiente a las subparcelas dentro de las parcelas [E(b)]. En general ocurre que el CME(a) es mayor que el CME(b), por ello los efectos de

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los tratamientos testeados en las subparcelas son determinados con mayor precisión que los efectos de los tratamientos testeados en las parcelas. Nótese también que el valor de F del tratamiento de la parcela se deduce en base al E(a), mientras que el valor de F del tratamiento de la subparcela y el de la interacción se deducen en base al E(b), si es que los factores en estudio son factores fijos. (Cuadro 1) Si ambos tratamientos (factores) son aleatorios, deben probarse contra la interacción. Si solo un factor es aleatorio, el factor fijo debe probarse contra la interacción. La diferencia en el ANOVA de un DPD con estructura de parcelas completamente al azar con otro con estructura de parcelas en bloques al azar radica en que el error de las parcelas E(a), numéricamente es el efecto repeticiones dentro de las parcelas principales y además tenemos una fuente de variación menos, el Bloque. (Cuadro 2)

Fuentes de Variación

S. C.

Grados de Libertad

Bloque

SCB

GlB= r -1

Tratamiento A

SCA

glA = a – 1

Error (a) (Int. Bloque x Trat. A)

SCE(a)

glE(a) = na = (r -1) (a -1)

Tratamiento B

SCB

Interacción (A x B)

SCAxB

F Calculado

Cuadrado Medio

CM

A

SC A gl A

=

CME( a) =

F=

CM A CME (a )

SCE( a) glE(a )

glB = b – 1

CM B =

SC B glB

F=

CM B CME (b)

glAB =(a – 1) (b –1)

CM AB =

SC AB gl AB

F=

CM AB CME (b)

Error (b)

SCE(b)

glE(b) = nb = a (r -1)(b –1)

Total

SCT

Glt = abr –1

CME(b ) =

SCE (b ) glE (b )

Cuadro 1: ANOVA para un DPD con estructura de parcelas en bloques al azar.

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Fuentes de Variación

S. C.

Tratamiento A

SCA

glA = a – 1

Error (a) (Repeticiones dentro del Factor A)

SCE(a)

glE(a) = na = a (r -1)

Tratamiento B

SCB

Interacción (A x B)

SCAxB

Grados de Libertad

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Cuadrado Medio

CM

A

SC A gl A

=

CME( a) =

F Calculado

F=

CM A CME (a )

SCE( a) glE(a )

glB = b – 1

CM B =

SC B glB

F=

CM B CME (b)

glAB =(a – 1) (b –1)

CM AB =

SC AB gl AB

F=

CM AB CME (b)

Error (b)

SCE(b)

glE(b) = nb = a (r -1)(b –1)

Total

SCT

Glt = abr –1

CME(b ) =

SCE (b ) glE (b )

Cuadro 2: ANOVA para un DPD con estructura de parcelas completamente aleatorizadas.

Un aspecto relativamente complicado en los DPD es el que se refiere a la Comparaciones Múltiples de Medias de Tratamientos por los test de Tukey, de Duncan, etc. Consideraremos cuatro comparaciones que son los más importantes: (para el test de Tukey) Caso I : Comparación entre tratamientos A (de la parcela). Ej: A1 – A2

∆ =q

CME( a) br

Caso II : Comparación entre tratamientos B (de la subparcela). Ej: B1 – B2

∆= q

CME (b) ar

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Caso III : Comparación entre tratamientos B a un mismo nivel de A. Ej: A1B1 – A1B2

∆= q

CME (b) r

Caso IV : Comparación entre tratamientos A a un mismo nivel de B o a diferentes niveles de B. Ej: A1B1 – A2B1 o A1B2 – A2B1

∆= q

(b −1) CME( b ) +CME( a ) br

donde q es el valor de tabla correspondiente a los niveles del factor A (a) y n’ grados de libertad, siendo n’ igual a:

n' =

[CME(a ) + (b − 1) CME(b ) ] 2 [CME( a) ]

2

na

+

(b − 1) 2 CME ( b)

2

nb

Resumiendo, estos diseños deben adoptarse: a) Cuando hay restricciones de aleatorización en un experimento factorial. b) Si es que uno de los factores no puede ir en parcelas chicas, es decir que sus efectos no pueden probarse con pequeñas cantidades de material. c) Si es que hay interés de parte del experimentador en estudiar con mayor precisión un factor que otro. Han sido mencionadas por los experimentadores dos desventajas en estos diseños: - Puede suceder que los efectos del factor que va en las parcelas, aunque muy notables, no sean significativos; mientras que los efectos del factor que va en las subparcelas, aunque demasiado pequeños para ser de interés práctico, sean estadísticamente significativos. - En segundo termino, el hecho de que las diferentes comparaciones de tratamientos tengan distintas varianzas del error hace el análisis más complejo. Otro punto a considerar como se ha mencionado si bien hay una ganancia de precisión de las estimaciones de los efectos del factor que va en las subparcelas y en las interacciones, esta se compensa con la perdida en la precisión de los efectos del factor que va en las parcelas, como consecuencia el error experimental promedio de todos los efectos es el mismo con o sin la característica de parcelas divididas, por tanto no hay una ganancia neta con el diseño de parcelas divididas.

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DISEÑOS DE BLOQUES DIVIDIDOS

Es una variante del diseño de parcela dividida con estructura de parcelas en bloques al azar, en donde los tratamientos de las subparcelas no se distribuyen aleatoriamente, todo lo contrario, son dispuestos de manera de formar franjas o fajas perpendiculares a las parcelas, de aquí el nombre de diseños en bloques divididos (DBD) o en Franjas (DF). Es decir que los dos factores en estudio presentan restricciones de aleatorización. Solo es aleatoria la distribución de los niveles de ambos factores en las distintas parcelas o franjas. (Ver esquema 3). Las subparcelas formadas por la intersección de las franjas pueden dividirse en franjas más angostas para acomodar un tercer factor. Este esquema es conveniente en experimentos en los que tanto A (tratamiento de la parcela) como B (Tratamiento de la subparcela) tienen que ser estudiados en áreas grandes. En este arreglo hay pérdida de precisión para el estudio de los efectos de A y B, en provecho de la mayor precisión de los efectos de la Interacción AB. La información que brinda de los efectos de A y B es menor que la que dan un diseño en Bloques completamente aleatorizados y parcela dividida. Otra desventaja que presenta es la complejidad de su análisis.

Modelo Lineal El modelo lineal para un DF o DBD (para dos factores) es:

Yijk = µ + γ k + τi + (γτ )ki + β j + (γβ )kj + (τβ )ij + ε ijk Representa a la Par. de

τ

Representa a la Par. de

β

Representa a la subparcela.

Yijk = Observación de la unidad experimental. µ = Media general del ensayo.

γ k = Efecto de los bloques.

τ i = Efecto del tratamiento τ de la parcela vertical. (γτ)ki = Error de la parcela de τ [E(a)]. Interacción bloque trat. de la parcela vertical. β j = Efecto del tratamiento β de la parcela horizontal. (γβ)kj = Error de la parcela de β [E(b)]. Interacción bloque trat. de la parcela horizontal. (τβ ) ij = Efecto de la interacción de los tratamientos de las parcelas.

ε ijk = Error de la subparcela [E(c)]. Interacción triple (bloque x Trat. parcela vertical x Trat. parcela horizontal).

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A diferencia del modelo lineal de un diseño de parcela dividida con estructura de parcelas en bloques al azar, en este modelo aparece un nuevo termino que es la interacción bloque x Tratamiento de la parcela horizontal que considera al error de la parcela horizontal [E(b)], mientras la interacción bloque x Trat. parcela vertical x Trat. parcela horizontal forma el error de la subparcela[E(c)].

Bloque II

Bloque I A3

A1

A2

A0

A1

B2

B1

B0

B2

B1

B0

A0

A3

A2

Bloque III A2

A0

A3

A1

B2 B1 B0

Esquema 3: DF , donde A es el tratamiento de las parcelas (Franjas) verticales (con cuatro niveles 0-1-2-3) y B el tratamiento de las parcelas (Franjas) horizontales (con tres niveles 0-1-2)

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Análisis Estadístico El cuadro 3 resume el análisis de varianza para un DF o DBD. El mismo consta de tres partes, la primera parte es para el estudio del factor que va en las parcelas verticales, la segunda para el factor que va en las parcelas horizontales y la tercera parte para las subparcelas. Como vemos tenemos tres Errores distintos: los Errores referentes a las parcelas verticales y horizontales, [E(a)] y [E(b)], respectivamente; y el Error correspondiente a las subparcelas [E(c)]. El valor de F de ambos tratamiento (A y B) de las parcelas o Franjas se deducen en base al E(a) y E(b) respectivamente, mientras que el valor de F del tratamiento de la subparcela es decir de la interacción AB se obtiene en base al E(c). Fuentes de Variación

S. C.

Grados de Libertad

Bloque

SCB

glB= r –1

Tratamiento A

SCA

glA = a – 1

Error (a) (Int. Bloque x Trat. A)

SCE(a)

glE(a) = (r -1) (a -1)

Tratamiento B

SCB

glB = b – 1

Cuadrado Medio

CM A = CME( a ) =

CM B =

Error (b) (Int. Bloque x Trat. B)

SCE(b)

glE(b) = (r -1) (b -1)

CME(b ) =

Interacción (A x B)

SCAxB

glAB =(a – 1) (b –1)

CM AB =

Error (c)

SCE(c)

glE(c) = (r –1) (a – 1) (b –1)

CME(c ) =

Total

SCT

glt = abr –1 Cuadro 3

SC A gl A

F Calculado

F=

CM A CME(a )

F=

CM B CME(b )

F=

CM AB CME(c )

SCE( a ) glE (a )

SC B glB SCE(b ) glE (b )

SC AB gl AB SCE( c) glE (c )

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En lo que se refiere a las Comparaciones Múltiples de Medias por los test de Tukey, de Duncan, etc., las comparaciones del caso I y II son similares a las vistas en el diseño de parcela dividida, mientras la metodología para las comparaciones del caso III y IV deben responder a las siguientes consideraciones:

Caso III : Comparación entre tratamientos B a un mismo nivel de A. Ej: A1B1 – A1B2

∆= q

( a −1) CME( c ) +CME( b ) ar

Caso IV : Comparación entre tratamientos A a un mismo nivel de B o a diferentes niveles de B. Ej: A1B1 – A2B1 o A1B2 – A2B1

∆= q

( b − 1) CME( c ) +CME( a ) br

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Problemas: 1) Se trata de un plan de caña de azúcar donde se midió el rendimiento en Tn/ha de Azúcar que experimentan tres fechas de plantación y tres métodos para plantar, para el cual se usó un DPD en bloques al azar. Las fechas se asignaron aleatoriamente a las tres parcelas principales de cada bloque, y los 3 métodos se asignaron aleatoriamente a las subparcelas en las cuales se había dividido cada parcela principal. El experimento contó con cinco repeticiones. Los datos son los siguientes: Fecha de Plantación Método de Plantación Bloque I

1

2

3

1

2

3

1

2

3

6,8

6,9

6

0,8

2

2

0,9

2,1

1

Bloque II

7,8

7

8

5

7

7

1,3

1

1,3

Bloque III

4,8

4,5

4

3

3,5

4,4

0,9

1,4

0,8

Bloque IV

16,9

11

10

8

6,1

5,9

4,5

2,6

4

Bloque V

20

19

18

6

4

5,3

6,3

1,6

3,9

1

2

3

a) Esquematice el diseño a campo. b) Plantee las hipótesis a contrastar. c) Analicé los resultados del ensayo. ¿Cuales son sus conclusiones? 2) En un ensayo de ...