Ueb7SS2016 .doc - Ueb7SS2016 PDF

Preview

Summary

Übungen Mathe 2...

Description

Prof. Dr. Pott-Langemeyer FH Münster FB Chemieingenieurwesen

7. Übung zu Mathematik II Reihen

(SS 2016) 1/2

Aufgabe 1 (1 + 1 + 2 Punkte) Unte rsuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz: (a)

( 1) k

(b)

k

4

cos (20 ) l n(20 2 )

2k

k

k

(d)

2

cos (21 ) l n (212 )

(k 1) 2 k

cos (22 ) ln (222 )

0

(e)

...

n

k

1

1 4 n (n 1)! nn 2

8

(c) k

5

k( k

k

2

2)

Aufgabe 2 (2 + 2 Punkte) Überprüfen Sie die Konvergenz der folgenden Rei hen und bestimmen Sie gegebenenfalls den Reihenwert: (a) n

(b)

0

( 1) n n 3

1 1 4

7

(c) ln 2

1

1 2 5

1 3 6

1 4 7

ln

3 2

ln

4 3

ln

5 4

...

...

Aufgabe 3 (3 Punkte) (a) Ein Ping-Pong-Ba ll fällt au s eine r Höhe h zu Boden. Der Ball springt zurück, erreicht jedoch nur d ie Höhe

2 3

h , fä llt wiederum, s teigt dann auf das

2 3

-fache

der zuletzt erreichten Höhe und so weiter. Welchen Gesamtweg legt de r Ball zu rück, w enn man ihn ungestört hüpfen l ässt? (b) Ein Zaubere r besit zt di e G abe, Sand in Gold zu ve rwandel n. Schüttet man ih m a Gra mm Sand i n di e rechte H and, so erhält man a Gramm Go ld, und es bleiben soga r noch Sand

3 4

1 3

a Gramm Sand übrig. In der linken Hand entstehen aus a Gra mm

a Gramm Gold, und die Sandmenge sch rumpft auf

1 2

a Gramm.

Wenn der Zauberer diesen Vorgang be liebi g oft wiederholen könnte, sollte man ihn lieber mit der linken oder mit der rechten Hand wirken l assen? Nach wievielen Vorgängen hat er dann schon 90 % der maximal erreichbaren Goldmenge erzeugt?

D ie Lö sungen de r Aufg. 1a-c, 2a+b, 3b, 4, 5, 6 inkl. Lösungsweg sind abzugeben am Mittwo ch, 25. Mai 2016, zu Beginn der Mathematik-Vorlesung!

Prof. Dr. Pott-Langemeyer FH Münster FB Chemieingenieurwesen

7. Übung zu Mathematik II Reihen

(SS 2016) 2/2

Aufgabe 4 (3 + 2 Punkte) ( 1)k k

(a) Konvergiert die Reihe

1 3

und k onvergi ert si e auch absol ut?

k 1

(b) Wie viele Glieder der Reihe k

1

( 1) k 1 mu ss man aufaddieren, um den k (k 4)

R eihenw ert sic her auf 6 Dezimalstellen angeben zu können?

Aufgabe 5 (2 Punkte) (a) Berechnen Sie den Wert der Reihe

1 näherungswe ise durch S ummation de r n 0 n!

ers ten 5 Reihenglieder. (b) Schätzen Sie den Fehler zum exakten Wert ab.

Aufgabe 6 (4 Punkte) Für welche x gilt k

0

1 2

k

1

( x 1) k k

1

1 x

k

?

(Tipp: Berechnen Sie beide Summen als geometrische R eihe!)

Wichtiger organisatorisch er Hinweis: Bitte bearbeiten Sie die Übungsaufgaben in 2er-Gruppen und geben Sie Ihr e Lösungen ge heftet ab. Notieren Sie Ihre Namen und Ma trikelnummern sowie Ihre Übungsgruppe (do v ormittag, do nachm ittag bzw. fr) lese rlich auf der ersten Seite!

Die Lös ungen de r Aufg. 1a-c, 2a+b, 3b, 4, 5, 6 inkl. Lösungsweg sind abzugeben am Mittwo ch, 25. Mai 2016, zu Beginn der Mathe matik-Vorlesung!...