Uebungsblatt 11 - EDEW Übung PDF

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Prof. Dr.–Ing. C. Jungemann RWTH Aachen University Institut f¨ ur Theoretische Elektrotechnik

¨ Ubungsblatt 11 zur Vorlesung “Elektrodynamik - Elektromagnetische Wellen”, WS 2020/2021

Aufgabe 11

x d ε0, µ0, κ = 0 y

0 0

w κ→∞

Betrachtet wird ein parallel zur z-Achse ausgerichteter, luftgef¨ullter Hohlleiter gem¨aß Abbildung. In einem solchen Hohlleiter sind TE- und TM-Wellen ausbreitungsf¨ahig. Im Folgenden sollen nur die TM-Wellen betrachtet werden. Der komplexe Zeiger des elektrischen Feldes einer TM-Welle, die sich in positive z-Richtung ausbreitet, lautet ~ 0 (x, y)e−jβz , ~ E(x, y, z) = E

β>0

a) F¨ ur die Longitudinalkomponente der elektrischen Feldst¨arke soll der Separationsansatz ~ muss die Helmholtzgleichung erf¨ullen. Welche E 0z = X(x) Y (y) verwendet werden. E Eigenwertgleichungen folgen daraus f¨ur die Funktionen X(x) und Y (y)? b) Es kann vorausgesetzt werden, dass die Ausdr¨ucke 1 ∂2X X ∂x2

und

1 ∂2Y Y ∂y2

reell sind. Geben Sie m¨ogliche Ans¨atze f¨ur X und Y an. c) Welche der Ans¨atze aus dem vorigen Unterpunkt sind f¨ur den betrachteten Fall (TMWelle im Rechteckhohlleiter) mit den Randbedingungen vereinbar? Schr¨anken Sie die ¨ berlegen ausgew¨ ahlten Ans¨ atze mittels der Randbedingungen so weit wie m¨oglich ein. U Sie, ob transversale elektrische oder magnetische Feldkomponenten zur vollst¨andigen Ausnutzung der Randbedingungen ber¨ucksichtigt werden m¨ussen. d) Grunds¨atzlich kann jede Feldkomponente der betrachteten Wellen in der Form X(x) Y (y) Z(z ) dargestellt werden. Wie lauten Z(z) f¨ ur eine ausbreitungsf¨ahige Welle?

und

1 ∂2Z Z ∂z2

e) F¨ur jeden Mode, d.h. f¨ ur jede Feldverteilung im Wellenleiterquerschnitt, gibt es eine sogenannte Grenzfrequenz, also eine niedrigste Frequenz, ab der eine entsprechende ausbreitungsf¨ahige Welle exisitert. Dr¨ ucken Sie die Grenzfrequenzen fg,mn der Moden in Abh¨angigkeit von den gegebenen Parametern aus. Welchen Wert hat die Wellenl¨ange eines Modes bei der jeweiligen Grenzfrequenz? Was gilt f¨ur die Ausbreitungskonstante und die Wellenl¨ange eines Modes im Fall ω → ∞? f) Wie lautet die Funktion Z(z) f¨ur einen Mode, der mit einer Frequenz unterhalb seiner Grenzfrequenz angeregt wird? g) Bestimmen Sie die Phasengeschwindigkeit vph und die Gruppengeschwindigkeit vg des Modes mit der niedrigsten Grenzfrequenz....