UKURAN NILAI PUSAT - STATISTIK dan PROBABILITAS v2 PDF

Preview

Summary

UKURAN NILAI PUSAT Feri Harianto Pengertian Untuk keperluan penganalisisan data lebih lanjut, di samping pembuatan tabel dan grafik diperlukan juga ukuran- ukuran yang dapat mewakili data tersebut, sehingga dapat diucapkan secara singkat dan dapat digunakan untuk membandingkan keadaan berbagai kelom...

Description

UKURAN NILAI PUSAT Feri Harianto

Pengertian Untuk keperluan penganalisisan data lebih lanjut, di samping pembuatan tabel dan grafik diperlukan juga ukuranukuran yang dapat mewakili data tersebut, sehingga dapat diucapkan secara singkat dan dapat digunakan untuk membandingkan keadaan berbagai kelompok data. Nilai tunggal yang dianggap dapat mewakili keseluruhan nilai dalam data dianggap sebagai rata-rata (average), karena nilai rata-rata itu dihitung berdasarkan keseluruhan nilai yang terdapat dalam data bersangkutan. Nilai rata-rata itulah yang disebut ukuran nilai pusat atau ukuran tendensi pusat.

Jenis-jenis Ukuran Nilai Pusat 1.

Rata-rata Hitung (Mean); adalah nilai rata-rata dari data-data yang ada. Mean dari populasi diberi simbol  (baca miu). Mean dari sampel diberi simbolX (baca eks bar) rumus : Rata-rata hitung = a.

Jumlah semua data Jumlah data

Mean untuk data tunggal

Keterangan : X = mean X = wakil data n = jumlah data

 X X 1  X 2  ...  X n X   n n

Latihan : hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 7, 6, 3, 8, 9, 4

f1 X 1  f 2 X 2  ...  f n X n  fX Keterangan : X   X = mean f f1  f 2  ...  f n X = wakil data f = frekuensi Latihan : hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 3, 4, 3, 2, 5, 1, 4, 5, 1, 2, 6, 4, 3, 6, 1

 fm f1m1  f 2 m2  ...  f k mk X  f f1  f 2  ...  f k

Keterangan : X = mean m = nilai rata-rata hitung f = frekuensi Latihan : Sebuah perusahaan memiliki 40 pekerja. Perusahaan memberikan gaji, yaitu 5 orang dengan gaji Rp350.000,00/bulan, 10 orang dengan gaji Rp250.000,00/bulan, dan 25 orang dengan gaji Rp125.000,00/bulan. Berapa rata-rata rupiah yang dikeluarkan oleh perusahaan itu per bulan untuk setiap pekerja ?

b.

Mean untuk data berkelompok

Keterangan : X = mean X = titik tengah interval f = frekuensi pada interval kelas

 fX X f

Latihan : tentukan rata-rata hitung dari tabel berikut Berat badan (kg)

Banyaknya Mahasiswa (f)

60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74

10 25 32 15 18

2.

Median; adalah nilai tengah dari data-data yang ada setelah diurutkan. Median diberi simbol Me atau Md. a.

Median untuk data tunggal * jika jumlah data ganjil, mediannya adalah data yang berada paling tengah

Me  X n

2

* jika jumlah data genap, mediannya adalah hasil bagi jumlah dua data yang berada di tengah

X n  X n2 Me 

2

2

2

Latihan : tentukan median dari data berikut : • 4, 3, 6, 2, 7, 5, 8 • 11, 5, 4, 7, 14, 8, 9, 12

b.

Median untuk data berkelompok 1 rumus :

Me  B  2

n  (  f 2 )o f Me

C

Keterangan : Me = median B = tepi bawah kelas median n = jumlah frekuensi ( f 2 )o = jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas median C = panjang interval kelas f Me = frekuensi kelas median Dalam mencari median data berkelompok (distribusi frekuensi) yang perlu dicari terlebih dahulu adalah kelas tempat median berada (kelas median). Kelas median dapat dicari dengan :

(  f 2 )o  ½ n

Latihan : Tentukan median dari distribusi frekuensi berikut Diameter pipa (mm) Frekuensi (f) 65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82

2 5 13 14 4 2

Penyelesaian :

Jumlah frekuensi (n) = 40 dan ½ n = 20 Kelas median adalah

(  f 2 )o  ½ n ;

f1  f 2  f 3  20

Jadi, kelas median adalah kelas ke-3 B = 70,5

(  f 2 )o = 7 C =3

f Me = 13 Me  70,5 

20  7  3 = 73,5 13

3.

Modus; adalah nilai yang paling sering muncul dalam data. Modus diberi simbol Mo. Modus untuk data tunggal * modus dari data tunggal adalah data yang frekuensinya terbanyak. Latihan : tentukan modus dari data berikut : • 1, 3, 6, 6, 7, 8, 9 • 1, 4, 7, 8, 9, 12 • 1, 2, 4, 4, 6, 8, 8, 12, 14 b. Modus untuk data berkelompok * modus dari data berkelompok hanya dapat diperkirakan. Nilai yang paling sering muncul akan berada di kelas yang memiliki frekuensi terbesar, disebut sebagai kelas modus. a.

d2 Mo  L  C d1  d 2

Keterangan : Mo = modus L = tepi bawah kelas = selisih frekuensi kelas modus dengan d1 frekuensi kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya C = panjang interval kelas

Latihan : tentukan modus dari distribusi frekuensi pada tabel di atas

4.

Kuartil (Q); adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi empat bagian yang sama. Q1 = kuartil bawah atau pertama Q2 = kuartil tengah atau kedua = median Q3 = kuartil atas atau ketiga a.

Kuartil untuk data tunggal

Qi 

nilai ke

i (n  1) 4

i = 1, 2, 3

Latihan : tentukan kuartil dari data berikut : • 3, 6, 10, 4, 8, 9, 14 • 4, 9, 6, 12, 10, 5, 14, 2

b.

Kuartil untuk data berkelompok

in  (  f i )o Qi  Bi  4 C f Qi

Keterangan : Bi = tepi bawah kelas kuartil n = jumlah semua frekuensi I = 1, 2, 3 ( f i )o = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil C = panjang interval kelas f Qi = frekuensi kelas kuartil

Measures of Variation Variation

Variance

Range

Population Variance Sample Variance

Interquartile Range

Standard Deviation Population Standard Deviation Sample Standard Deviation

Coefficient of Variation

The Range • Measure of Variation • Difference Between Largest & Smallest Observations:

Range = x Largest  x Smallest • Ignores How Data Are Distributed: Range = 12 - 7 = 5

Range = 12 - 7 = 5

7

8

9

10

11 12

7

8

9

10

11

12

Interquartile Range •

Measure of Variation

• Also Known as Midspread: Spread in the Middle 50% • Difference Between Third & First Quartiles: Interquartile Range =

Q 3  Q1 • Not Affected by Extreme Values

Data in Ordered Array: 11 12 13 16 16 17

17 18 21

Q 3  Q 1 = 17.5 - 12.5 = 5

Variance •Important Measure of Variation •Shows Variation About the Mean: 2   X    2 i •For the Population:   N •For the Sample: For the Population: use N in the denominator.

 X i  X  s  n 1

2

2

For the Sample : use n - 1 in the denominator.

Standard Deviation •Most Important Measure of Variation •Shows Variation About the Mean: 2   X    i •For the Population:   N

•For the Sample: For the Population: use N in the denominator.

s 

 X i  X n 1



2

For the Sample : use n - 1 in the denominator.

Sample Standard Deviation  X i  X 

2

s  Data:

24

n1

Xi :

10

12

n=8

s= =

For the Sample : use n - 1 in the denominator.

14

15

17

18

18

Mean =16

(10  16)2  (12  16)2  (14  16)2  (15  16)2  (17  16)2  (18  16)2  (24  16)2 8 1 4.2426

Comparing Standard Deviations Data :

X i : 10 N= 8

12

14

15

17

18

18

24

Mean =16

 X i  X  n 1 2  X i    N 2

s =

 

=

4.2426

=

3.9686

Value for the Standard Deviation is larger for data considered as a Sample.

Comparing Standard Deviations Data A Mean = 15.5

11

12

13

14 15 16 17 18 19 20 21

s = 3.338

Data B

Mean = 15.5

11 12 13 14 15 16 17 18

19

20

21

s = .9258

Data C Mean = 15.5

11

12

13 14 15 16 17 18 19 20

21

s = 4.57

Coefficient of Variation •Measure of Relative Variation •Always a %

•Shows Variation Relative to Mean •Used to Compare 2 or More Groups •Formula ( for Sample):

S CV   X

   100% 

Comparing Coefficient of Variation  Stock A: Average Price last year = $50



Standard Deviation = $5  Stock B: Average Price last year = $100  Standard Deviation = $5

S CV     100% X 

Coefficient of Variation: Stock A: CV = 10% Stock B: CV = 5%

Shape • • 

Describes How Data Are Distributed Measures of Shape: Symmetric or skewed Left-Skewed Mean Median Mod e

Symmetric Mean = Median = Mode

Right-Skewed Mode Median Mean

Box-and-Whisker Plot 

Graphical Display of Data Using 5-Number Summary

X smallest Q1 Median Q3

4

6

8

10

Xlargest

12

Distribution Shape & Box-and-Whisker Plots Left-Skewed

Q1 Median Q3

Symmetric

Q1

Median Q3

Right-Skewed

Q1 Median Q3

Kesimetrisan  Skewness coefficient (koefisien kemiringan)

[ 1/(n-1 ]  (xi – xrata)3 b1 = ---------------------------s3

Kesimetrisan  Kurtosis coefficient (koefisien keruncingan)

[ 1/(n-1 ]  (xi – xrata)4 b2 = ----------------------------

s4

DISTRIBUSI FREKUENSI

Pengertian Data yang telah diperoleh dari suatu penelitian yang masih berupa data acak atau data mentah dapat dibuat menjadi data yang berkelompok, yaitu data yang telah disusun ke dalam kelas-kelas tertentu. Daftar yang memuat data berkelompok disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Jadi, distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar. Diperoleh keterangan atau gambaran sederhana dan sistematis dari data yang diperoleh.

Bagian-bagian Distribusi Frekuensi Kelas-kelas; adalah kelompok nilai data atau variabel. 2. Batas kelas; adalah nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu dengan kelas yang lain. 1.

a. b.

3.

Batas kelas bawah, terdapat di deretan sebelah kiri setiap kelas, Batas kelas atas, terdapat di deretan sebelah kanan setiap kelas.

Tepi kelas (batas nyata kelas); adalah batas kelas yang tidak memiliki lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan yang lain a. b.

Tepi bawah kelas atau batas kelas bawah sebenarnya = batas bawah kelas – 0,5 Tepi atas kelas atau batas kelas atas sebenarnya = batas atas kelas + 0,5

Bagian-bagian Distribusi Frekuensi Titik tengah kelas; adalah angka atau nilai data yang tepat terletak di tengah suatu kelas, merupakan nilai yang mewakili kelasnya. Titik tengah kelas = ½ (batas atas + batas bawah) kelas 5. Interval kelas; adalah selang yang memisahkan kelas yang satu dengan yang lain. 6. Panjang interval kelas atau luas kelas; adalah jarak antara tepi atas kelas dan tepi bawah kelas. 7. Frekuensi kelas; adalah banyaknya data yang termasuk ke dalam kelas tertentu 4.

contoh Modal (jutaan Rp) Frekuensi (f) 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

16 32 20 17 15

Jumlah

100

Sumber : Data fiktif

• Banyaknya kelas adalah 5 • Batas bawah kelas-kelas adalah 50, 60, 70, 80, 90

• Batas atas kelas-kelas adalah 59, 69, 79, 89, 99 • Tepi bawah kelas-kelas adalah 49,5; 59,5; 69,5; 79,5; 89,5 • Tepi atas kelas-kelas adalah 59,5; 69,5; 79,5; 89,5; 99,5

• Titik tengah kelas-kelas adalah 54,5; 64,5; 74,5; 84,5; 94,5 • Interval kelas-kelas adalah 50-59; 60-69; ,,, ;90-99 • Panjang interval kelas-kelas masing-masing 10 • Frekuensi kelas-kelas adalah 16, 32, 20, 17, 15

Penyusunan Distribusi Frekuensi Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar. 2. Menentukan jangkauan (range) dari data Jangkauan = data terbesar – data terkecil 3. Menentukan banyaknya kelas (k) dengan rumus sturgess 1.

k = 1 + 3,3 log n Keterangan : k = banyaknya kelas

n = banyaknya data

k  bulat

Penyusunan Distribusi Frekuensi 4.

5.

6.

Menentukan panjang interval kelas (i) jangkauan (R) i= banyaknya kelas (k) Menentukan batas bawah kelas pertama; biasanya dipilih dari data terkecil atau data terkecil yang berasal dari pelebaran jangkauan (data yang lebih kecil dari data terkecil) dan selisihnya harus kurang dari panjang interval kelasnya Menuliskan frekuensi kelas secara melidi sesuai banyaknya data

Catatan tentang penyusunan distribusi frekuensi

1. Perlu dijaga jangan sampai ada data yang tidak dimasukkan ke dalam kelas atau ada data yang masuk ke dalam dua kelas yang berbeda. 2. Titik tengah kelas diusahakan bilangan bulat tidak pecahan.

3. Nilai frekuensi diusahakan tidak ada yang nol (0). 4. Dalam menentukan banyaknya kelas (k), diusahakan : a. tidak terlalu sedikit, sehingga pola kelompok kabur; b. banyaknya kelas berkisar 5 sampai 15 buah; c. jika jangkauan terlalu besar, banyaknya kelas antara 10 sampai 20.

Contoh soal Dari hasil pengukuran diameter pipa-pipa yang dibuat oleh sebuah mesin (dalam mm terdekat), diperoleh data sebagai berikut 78

72

74

79

74

71

75

74

72

68

72

73

72

74

75

74

73

74

65

72

66

75

80

69

82

73

74

72

79

71

70

75

71

70

70

70

75

76

77

67

Buatlah distribusi frekuensi dari data tersebut ! Penyelesaian: a.Urutan data : 65

66

67

68

69

70

70

70

70

71

71

71

72

72

72

72

72

72

73

73

73

74

74

74

74

74

74

74

75

75

75

75

75

76

77

78

79

79

80

82

b. Jangkauan (R) = 82 – 65 = 17 c. Banyaknya kelas (k) adalah k = 1+ 3,3 log 40 = 1+ 5,3 = 6,3  6 d. Panjang interval kelas (i) adalah i = 17 / 6 = 2,83  3 e. Batas kelas pertama adalah 65 (data terkecil) f. Tabelnya : Diameter

Turus

Frekuensi

65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82

III IIII I IIII IIII II IIII IIII III IIII II

3 6 12 13 4 2

Jumlah

40

Histogram dan Poligon Frekuensi Adalah dua grafik yang sering digunakan untuk menggambarkan distribusi frekuensi. Histogram merupakan grafik batang dari distribusi frekuensi dan poligon frekuensi merupakan grafik garisnya. Histogram = batang-batangnya saling melekat atau berimpitan

digunakan sistem salib sumbu; sumbu x menyatakan interval kelas dan sumbu y menyatakan frekuensi. Poligon Frekuensi = dibuat dengan cara menarik garis dari satu titik tengah batang histogram ke titik tengah batang histogram lain

contoh Interval Kelas 140 – 145 – 150 – 155 – 160 – 165 – 170 –

144 149 154 159 164 169 174

Frekuensi (banyak murid)

Tepi Interval Kelas

Titik tengah

2 4 10 14 12 5 3

139,5 – 144,5 144,5 – 149,5 149,5 – 154,5 154,5 – 159,5 159,5 – 164,5 164,5 – 169,5 169,5 – 174,5

142 147 152 157 162 167 172

f = 50

Frekuensi

a. Histogram 15 10 5 0 144,5

149,5

154,5

159,5

164,5

169,5

174,5

139,5

144,5

149,5

154,5

159,5

164,5

169,5

Tinggi Badan

b. Poligon frekuensi

Frekuensi

15 10 5 0 142

147

152

157

162

Tinggi Badan

167

172

Teknik Grafis (Graphical Techniques) 



Peringkasan data secara visual atau grafis yang menggunakan gambargambar berdasarkan tabel data yang telah ada sebelumnya Teknik Grafis : - Piktogram - Pie Chart - Bar Chart - Histogram Frekuensi - Ogive - Stem and Leaf Plot - Box Plot

Piktogram

Pie Chart (Diagram Pia) 

Data digambarkan dengan suatu lingkaran yang sektor-sektornya menggambarkan proporsi variabel yang berbeda

Histogram & Poligon Frekuensi 

Data diringkas dalam bentuk grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi. Diperlukan sumbu X untuk menyatakan interval kelas dan sumbu Y untuk menyatakan frekuensi kelas

Ogive (Poligon Frekuensi Kumulatif) 

Data diringkas dalam bentuk grafik yang merupakan grafik dari distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau kurang dari.

Stem and Leaf Plot (Diagram Batang dan Daun)  



Diperkenalkan oleh John Tuckey (1977) Data dirangkum dalam bentuk batang dan daun (stem and leaf). Jika ukuran data besar maka stem dapat dibuat menjadi dua baris

Box Plot (Diagram Kotak – Box and Whisker plot) 

Peringkasan data menggunakan diagram kotak untuk menggambarkan apakah data mempunyai outlier (data ekstrim) atau tidak

Untuk membuat Box Plot, ada beberapa hal yang harus diketahui : - Nilai minimum - Nilai maksimum - Median (Q2 = kuartil ke-2) - Lower Quartile (Q1 = kuartil ke-1) - Upper Quartile (Q3 = kuartil ke-3) - IQR (Inter Quartile Range ) = Q3-Q1 - LIF (Lower Inner Fence) = Q1 – 1,5 IQR - UIF (Upper Inner Fence) = Q3 + 1,5 IQR - LOF (Lower Outer Fence) = Q1 – 3 IQR - UOF (Upper Outer Fence) = Q3 + 3 IQR



Contoh 

Misalkan dimiliki data berikut : 5,3 4,0 12,5 3,0 3,9 6,4 5,2 2,6 15,8, 6,2 4,0 7,1 3,4 4,4 3,5 3,4 3,2 5,6 3,2 3,4 8,6 3,1 n = 22, nilai minimum = 2,6, nilai maksimum = 15,8 Data terurut : 2,6 3,0 3,1 3,2 3,2 3,4 3,4 3,5 3,7 3,9 4,0 4,0 4,4 5,2 5,3 5,6 6,2 6,4 7,1 8,6 12,5 15,8

Lokasi Median : (n+1)/2 = 23/2 = 11,5  Median (4,0 + 4,0)/2 = 4,0  Mean = 5,4  Lokasi Q1 : (lokasi median dibulatkan ke bawah + 1)/2 yaitu lokasi ke 6 dari nilai minimum Q1 = 3,4  Lokasi Q3 : (lokasi median dibulatkan ke bawah + 1)/2 yaitu lokasi ke 6 dari nilai maksimum Q3 = 6,2 

IQR = Q3-Q1 = 6,2 – 3,4 = 2,8  LIF = Q1 - 1,5 IQR = 3,4 – 1,5 (2,8) = - 0,8  UIF = Q3 + 1,5 IQR = 6,2 + 1,5 (2,8) = 10,4  LOF = Q1 - 3 IQR = 3,4 – 3 (2,8) = - 5  UOF = Q3 + 3 IQR = 6,2 + 3 (2,8) = 14,6 Data yang terletak antara LIF dan UIF bukan outlier Data yang terletak di luar LIF dan UIF adalah outlier yang dibedakan menjadi 2 yaitu mild outlier dan extrem outlier 

Boxplot - Contoh 





B...