常用积分表 - useful intergrate note PDF

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useful intergrate note...

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常 用 积 分 公 式 （一）含有 ax + b 的积分 的积分( a ≠ 0 ) 1．

dx

1

∫ ax + b ＝ a ln ax + b + C

2． ( ax + b ) μ dx ＝

∫

x

1

1 ( ax + b) μ+1 + C （ μ ≠ −1 ） a ( μ + 1)

3．

∫ ax + bdx ＝ a

4．

x2 1 ⎡1 ⎤ 2 2 ∫ ax + bdx ＝ a3 ⎢⎣ 2 (ax + b ) − 2b (ax + b ) + b ln ax + b ⎥⎦ + C

5．

∫ x ( ax + b) ＝ − b ln

6．

∫x

7．

∫ (ax + b ) dx ＝ a

8．

1 b2 x2 ＝ ( 2 ln )+C ax b b ax b d + − + − x ∫ (ax + b )2 a3 ax + b

9．

∫ x ( ax + b)

2

dx

2

( ax + b − b ln ax + b ) + C

1

ax + b +C x

dx ax + b 1 a ＝− + 2 ln +C bx b x (ax + b ) x

1

2

dx

2

＝

2

(ln ax + b +

b )+ C ax + b

ax + b 1 1 − 2 ln +C b (ax + b ) b x

（二）含有 ax + b 的积分

2 ( ax + b) 3 + C 3a 2 ax − 2b ) (ax + b )3 + C 11． ∫ x ax + b dx ＝ 2 (3 15a 2 2 a 2 x 2 −12 abx + 8 b 2) ( ax + b) 3 + C 12． ∫ x ax + bdx ＝ 3 (15 105a 10．

∫

ax + bdx ＝

13．

∫

2 x dx ＝ 2 (ax − 2b ) ax + b + C 3a ax + b 1

14．

∫

x2 2 dx ＝ (3a 2 x 2 − 4abx + 8b2 ) ax + b + C 3 a 15 ax + b

⎧ ⎪ dx ⎪ 15． ∫ ＝⎨ x ax + b ⎪ ⎩⎪

ax + b − b 1 +C ln b ax + b + b

(b > 0)

ax + b 2 +C arctan −b −b

(b < 0)

dx ax + b a dx − ∫ ＝− bx 2b x ax + b ax + b

16．

∫x

17．

∫

ax + b dx dx ＝ 2 ax + b + b ∫ x x ax + b

18．

∫

dx ax + b ax + b a + ∫ dx ＝ − 2 x 2 x ax + b x

2

（三）含有 x ± a 的积分 2

2

1 x dx = arctan + C 2 a a +a

19．

∫x

20．

∫ (x

2

21．

∫x

x− a dx 1 = +C ln 2 − a 2a x + a

2

2

x dx 2 n −3 dx = + 2 2 2 n −1 2 ∫ 2 2 n 2( n − 1) a ( x + a 2) n −1 + a ) 2( n − 1) a ( x + a )

（四）含有 ax + b(a > 0) 的积分 2

⎧ 1 arctan ⎪ dx ⎪ ab 22． ∫ 2 ＝⎨ ax + b ⎪ 1 ln ⎪ 2 − ab ⎩ 23．

∫ ax

a x+C b

(b > 0)

a x − −b +C ax+ −b

x 1 dx ＝ ln ax 2 + b + C 2a +b

2

2

(b < 0)

24．

x b dx x2 ∫ ax 2 + bdx ＝ a − a ∫ ax 2 + b

25．

dx 1 x2 ＝ ln ∫ x (ax 2 + b ) 2 b ax 2 + b + C

26．

∫x

27．

ax + b a 1 dx ∫ x 3( ax 2 + b) ＝ 2b 2 ln x 2 − 2bx 2 + C

28．

∫ ( ax

2

1 a dx dx ＝− − ∫ 2 2 ( ax + b) bx b ax + b 2

x 1 dx dx ＝ + 2 2 ∫ 2 b( ax + b) 2 b ax2 + b + b)

2

（五）含有 ax + bx + c ( a > 0 )的积分 2

2 2 ax + b ⎧ ( b2 < 4 ac) ⎪ 4ac b 2 arctan 4ac b 2 + C − − dx ⎪ ＝⎨ 29． ∫ 2 2 ax + bx + c ⎪ 1 2 ax + b − b − 4ac ln + C (b2 > 4ac ) ⎪ b2 − 4 ac 2 ax + b + b 2 − 4 ac ⎩ 30．

∫ ax

2

x b 1 dx dx ＝ ln ax 2 + bx + c − 2 ∫ 2a 2a ax + bx + c + bx + c

2 2 （六）含有 x + a ( a > 0 ) 的积分

31．

∫

32．

∫

33．

∫

34．

∫

dx x +a 2

2

＝ arsh

dx (x 2 + a 2 )3 x x +a 2

2

x a2 x2 + a2

+C

d x ＝ x 2 + a2 + C

x (x + a ) 2

＝

x + C1 ＝ ln( x + x2 + a2 ) + C a

2 3

dx ＝ −

1 x2 + a2

+C

3

35．

36．

37．

∫ ∫

x2 x2 + a x2

(x + a ) 2

∫x

39．

∫

2 3

dx

∫x

38．

dx ＝ 2

x2 + a2

x2 + a2

2

dx ＝ −

＝

dx

x 2 a2 x + a 2 − ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x x +a 2

+ ln( x + x 2 + a 2 ) + C

2

2 2 1 x +a −a +C ln a x

＝−

x 2 + a 2 dx ＝

x2 + a 2 +C a2x

x 2 a2 2 2 2 x + a + ln( x + x + a ) + C 2 2

x 3 ( x 2 + a 2 ) 3d x ＝ (2 x 2 + 5a 2 ) x 2 + a 2 + a 4 ln( x + x 2 + a 2 ) + C 8 8 1 2 2 2 2 3 41． ∫ x x + a dx ＝ (x + a ) + C 3 40．

∫

∫

42． x

43．

44．

x a4 x 2 + a 2 dx ＝ (2 x 2 + a 2 ) x 2 + a 2 − ln( x + x 2 + a 2 ) + C 8 8

2

∫

x2 + a 2 x2 + a2 − a dx ＝ x 2 + a 2 + a ln +C x x

∫

x2 + a 2 dx ＝ − x2

x2 + a2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C x

2 2 （七）含有 x − a ( a > 0 ) 的积分

dx

45．

∫

46．

∫

(x 2 − a 2 )3

47．

∫

x −a

＝

x −a 2

2

dx

x 2

2

x x arch + C1 = ln x + x2 − a2 + C x a ＝−

x a2 x2−a2

+C

dx ＝ x 2 − a 2 + C

4

48．

49．

∫

∫

50．

∫

51．

∫x

52．

∫x

53．

∫

x (x − a ) 2

2 3

x2 x2 − a x

2

(x − a )

2 3

dx x −a 2

dx ＝ −

＝ 2

x x −a 2

x2 − a2

+ ln x + x 2 − a 2 + C

x −a +C a2 x

＝

x 2 − a 2 dx ＝

2

1 a arccos + C a x 2

dx

+C

x − a2 2

x 2 a2 x − a 2 + ln x + x 2 − a 2 + C 2 2

dx ＝ 2

2

2

1

dx ＝ −

2

x a2 ln x + x 2 − a 2 + C x2 − a2 − 2 2

x 3 ( x 2 − a 2 ) 3d x ＝ (2 x 2 − 5a2 ) x2 − a2 + a4 ln x + x 2 − a 2 + C 8 8 1 2 2 2 2 3 55． ∫ x x − a dx ＝ (x − a ) + C 3 54．

∫

∫

56． x

57．

58．

x a4 x 2 − a 2 dx ＝ (2x 2 − a 2 ) x2 − a 2 − ln x + 8 8

2

∫

a x2 − a 2 dx ＝ x 2 − a 2 − a arccos + C x x

∫

2 2 x −a dx ＝ − x2

2 2 x −a + ln x + x 2 − a 2 + C x

（八）含有 a − x ( a > 0 ) 的积分 2

59．

∫

60．

∫

dx a −x 2

2

2

＝ arcsin

dx ( a 2 − x 2 )3

＝

x +C a x

a 2 a 2 − x2

+C

5

2 2 x −a +C

x

61．

∫

a −x

62．

∫

(a − x )

63．

64．

65．

∫ ∫

2

x 2

∫x

67．

∫

2 3

x2 a2 − x

dx ＝

dx ＝ − 2

x2 (a − x ) 2

2 3

dx

∫x

66．

dx ＝ − a2 − x2 + C

2

dx ＝

＝

a −x 2

2

dx 2

a2 − x2

a −x2

+C

x a2 x 2 2 arcsin + C a −x + 2 2 a x a −x 2

2

− arcsin

x +C a

1 a − a2 −x2 +C ln a x

＝−

a2 − x2 dx ＝

1 2

a2 − x2 +C a2x

x a2 x a 2 − x 2 + arcsin + C 2 2 a

x x 3 ( a 2 − x 2 ) 3 dx ＝ (5a 2 − 2 x2 ) a 2 − x 2 + a 4 arcsin + C a 8 8 1 2 2 (a 2 − x 2 ) 3 + C 69． ∫ x a − x dx ＝ − 3 68．

∫

∫

70． x

71．

72．

2

x a4 x arcsin + C a 2 − x 2 dx ＝ (2x 2 − a 2 ) a 2 − x 2 + 8 8 a

∫

2 2 a − a2 − x2 a −x dx ＝ a 2 − x 2 + a ln +C x x

∫

a2 − x2 dx ＝ − x2

（九）含有

73．

∫

±ax2 + bx + c ( a > 0 ) 的积分 dx

ax + bx + c 2

a2 − x2 x − arcsin + C x a

＝

1 ln 2ax + b + 2 a ax2 + bx + c + C a 6

74．

∫

2ax + b ax 2 + bx + c 4a

ax 2 + bx + cdx ＝

+

4ac − b 8 a

75．

∫

x ax 2 + bx + c

dx ＝

b 2 a

dx

∫

c + bx − ax

77．

∫

c + bx − ax 2 dx ＝

78．

∫

2

x c + bx − ax

（十）含有 ±

2

＝−

ln 2ax + b + 2 a ax 2 + bx + c +C

1 ax 2 + bx + c a

−

76．

3

2

3

ln 2ax + b + 2 a ax 2 + bx + c + C

1 2 ax − b arcsin 2 +C a b + 4 ac

2ax − b b 2 + 4ac 2ax − b arcsin c + bx − ax 2 + +C 3 4a 8 a b2 + 4ac

dx ＝ −

b 1 2 ax − b c + bx − ax 2 + arcsin +C a 2 a3 b 2 + 4ac

x −a 或 (x − a )(b − x ) 的积分 x −b

79．

∫

x− a x −a dx ＝ (x − b) + ( b − a ) ln( x − a + x −b x−b

80．

∫

x− a x− a x −a dx ＝ (x − b) + ( b − a ) arcsin +C b −x b− x b− x

81．

∫

x −a dx ＝ 2 arcsin +C (x − a )( b − x) b− x

82．

∫

( x − a )( b − x)dx ＝

x − b )+ C

( a < b)

x− a 2x − a − b (b − a ) 2 +C ( x − a )( b − x ) + arcsin 4 4 b −x ( a < b)

（十一）含有三角函数 （十一）含有三角函数的积分 的积分

∫

83． sin xdx ＝ − cos x + C 7

∫

84． cos xd x ＝ sin x + C

∫

85． tan xd x ＝ − ln cos x + C

∫

86． cot xdx ＝ ln sin x + C

∫

π 4

∫

x + C ＝ ln csc x − cot x + C 2

87． sec xd x ＝ ln tan( +

88． csc xd x ＝ ln tan

x ) + C ＝ ln sec x + tan x + C 2

∫

2 89． sec xdx ＝ tan x + C

∫

90． csc xdx ＝ − cot x + C 2

∫

91． sec x tan xd x ＝ secx + C

∫

92． csc x cot xd x ＝ − csc x + C

x 1 − sin 2x + C 2 4 x 1 2 94． ∫ cos x dx ＝ + sin 2x + C 2 4 n −1 1 n sin n − 2 xdx 95． ∫ sin n x dx ＝ − sin −1 x cos x + n n ∫ n −1 1 n 96． ∫ cosn xdx ＝ cos −1 x sin x + cosn − 2 x dx ∫ n n n− 2 dx 1 cosx dx 97． ∫ ＝− ⋅ n −1 + ∫ n n − 1 sin x n − 1 sin n −2 x sin x n −2 dx 1 sin x dx ＝ ⋅ + 98． ∫ n −1 ∫ n cos x n − 1 cos x n − 1 cosn − 2 x m− 1 1 m n cos m−1 x sin n+1 x + cos m− 2 x sin n x dx 99． ∫ cos x sin xd x ＝ ∫ m+n m+ n n −1 1 1 1 ＝− cos m+ x sin n− x + cos m x sin n− 2 xdx ∫ m+ n m+ n

∫

2

93． sin x d x ＝

∫

100． sin ax cos bx dx ＝ −

1 1 cos(a + b )x − cos(a − b )x + C 2(a + b ) 2(a − b ) 8

∫

101． sin ax sin bxdx ＝ −

∫

102． cos ax cos bx dx ＝

1 1 sin(a + b ) x + sin(a − b) x + C 2(a + b ) 2(a − b )

1 1 sin(a + b) x + sin(a − b ) x + C 2( a + b) 2( a − b)

2 dx arctan 103． ∫ ＝ a + b sin x a 2 − b2

x +b 2 +C a 2 − b2

a tan

( a2 > b2 )

x a tan + b − b2 − a2 1 dx 2 ＝ ln 104． ∫ +C 2 2 x a + b sin x b −a a tan + b + b 2 − a 2 2 105．

dx

2

∫ a + b cos x ＝ a + b

a +b a −b x arctan( tan ) + C a− b a+ b 2

1 a +b dx 106． ∫ ln ＝ a + b cos x a + b b − a

107．

∫a

108．

∫a

2

2

( a 2 < b2 )

x a+b + 2 b −a C + x a+ b tan − 2 b− a

( a 2 > b2 )

tan

(a 2 < b 2)

b dx 1 ＝ arctan( tan x ) + C 2 2 a cos x + b sin x ab 2

b tan x + a dx 1 ＝ ln +C 2 2 cos x − b sin x 2 ab b tan x − a 2

1 1 sin ax − x cos ax + C 2 a a 1 2 2 2 110． ∫ x sin axdx ＝ − x 2 cos ax + 2 x sin ax + 3 cos ax + C a a a 1 1 111． ∫ x cos ax dx ＝ 2 cos ax + x sin ax + C a a 1 2 2 2 2 112． ∫ x cos axdx ＝ x sin ax + 2 x cos ax − 3 sin ax + C a a a （十二）含有反三角函 （十二）含有反三角函数的积分（其中 数的积分（其中 a > 0 ） x x 113． ∫ arcsin dx ＝ x arcsin + a 2 − x 2 + C a a

∫

109． x sin ax dx ＝

9

∫

114． x arcsin

∫

x2 a2 x x 2 x a − x2 + C dx ＝ ( − )arcsin + a 2 4 a 4 x a

2

115． x arcsin dx ＝

x3 x 1 arcsin + ( x 2 + 2 a 2 ) a 2 − x 2 + C a 9 3

x a

∫

x a

116． arccos dx ＝ x arccos − a 2 − x 2 + C

x a

∫

117． x arccos dx ＝ (

∫

x2 a2 x x 2 a − x2 + C − ) arccos − 2 4 a 4

3 x x x 1 d x ＝ arccos − ( x 2 + 2 a2 ) a2 − x2 + C 3 a a 9

2

118． x arccos

x a x dx ＝ x arctan − ln(a 2 + x 2 ) + C a a 2 x a x 1 2 120． ∫ x arctan d x ＝ ( a + x 2 ) arctan − x + C a 2 a 2

∫

119． arctan

∫

2

121． x arctan

x x3 x a a3 dx ＝ arctan − x2 + ln(a2 + x2 ) + C a a 6 3 6

（十三）含有指数函数 （十三）含有指数函数的积分 的积分

1 x a +C ln a 1 123． ∫ e axdx ＝ e ax + C a 1 ax 124． ∫ x e axdx ＝ 2 (ax − 1)e + C a 1 n ax n n ax n ax 125． ∫ x e dx ＝ x e − ∫ x −1e d x a a

∫

x

122． a dx ＝

∫

126． xa x dx ＝

x x 1 a − a x +C 2 ln a (ln a)

n 1 n x xa − x n−1a x d x ln a ln a ∫ 1 128． ∫ eax sin bx dx ＝ 2 eax (a sin bx − b cosbx )+ C a + b2 1 ax 129． ∫ e cos bxd x ＝ 2 eax (b sin bx + a cosbx ) + C a + b2

∫

127． x na xdx ＝

10

1 − e ax sin n 1 bx( a sin bx − nb cos bx) a2 + b2 n2

∫

130． e ax sin n bxdx ＝

+

∫

131． e ax cos n bxdx ＝

n (n −1)b 2 ax n−2 e sin bx dx a2 + b2 n2 ∫

1 ax n −1 bx ( a cos bx + nb sin bx ) 2 2 e cos a +b n

+

2

n (n −1)b 2 ax e cos n−2 bx dx a2 + b2 n2 ∫

（十四）含有对数函数 （十四）含有对数函数的积分 的积分

∫

132． ln x dx ＝ x ln x − x + C 133．

dx

∫ x ln x ＝ ln ln x + C

∫

134． x n ln xdx ＝

1 n +1 1 x (ln x − ) +C n +1 n+1

∫

∫

135． (ln x )n dx ＝ x (ln x )n − n (ln x )

∫

136． x m (ln x)n d x ＝

n −1

dx

n 1 x m +1 (ln x)n − xm (ln x)n −1 dx m +1 m +1 ∫

（十五）含有双曲函数 （十五）含有双曲函数的积分 的积分

∫

137． sh xd x ＝ chx + C

∫

138． chx dx ＝ shx + C

∫

139． thxdx ＝ ln chx + C

x 1 + sh2 x + C 2 4 x 1 2 141． ∫ ch xd x ＝ + sh2 x + C 2 4

∫

2 140． sh xdx ＝ −

（十六）定积 （十六）定积分 分 142．

∫

π

−π

143．

∫

144．

∫

π

−π

π

cos nxd x ＝ ∫ sin nxd x ＝0 −π

cos mx sin nxd x ＝0

⎧0, m ≠ n cos mx cos nxd x ＝ ⎨ −π ⎩π, m = n π

11

145．

146．

⎧ 0, m ≠ n sin mx sin nxd x＝ ⎨ −π ⎩ π, m = n

∫

π

∫

π

0

sin mx sin nxd x ＝ ∫

147． I n ＝

∫

π 2

0

π 0

⎧0, m ≠ n ⎪ cos mx cos nxd x ＝ ⎨ π ⎪⎩ 2 , m = n

π

sin xdx ＝ ∫ 2 cos n xdx n

0

n −1 I n −2 In＝ n n−1 n− 3 4 2 （ n 为大于 1 的正奇数）， I 1 ＝1 In = ⋅ ⋅" ⋅ ⋅ n n−2 5 3 n− 1 n− 3 3 1 π π In = ⋅ ⋅ " ⋅ ⋅ ⋅ （ n为正偶数）， I 0 ＝ n n−2 2 4 2 2

12...