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V19 - Lineare Algebra 2 16. Juni 2014 S 12.4 Seien V ein K-VR und < . , . > ein Skalarprodukt auf V. Dann wird durch ¿ x , y >¿(1) ||x||:=√ ¿ eine Norm auf V definiert, für die die Bunjakowski-CauchySchwarzsche Ungleichung gilt: ¿< x , y > ¿≤||x||∗|| y||(2) In (2) gilt genau dann Gleichheit, wenn x, y linear abhängig ist. Bew

In (1) wird eine Abbildung von V in [0, +∞ ¿ definiert. Wir zeigen (2) Fall y =0v :∨¿ x , 0v >¿=¿< x , 0∗0v >¿=¿ 0∗¿ x , 0v >¿=0 ≤||x ||∗||y|| ¿ y , y >¿ ≠ 0(S 2) Fall y ≠ 0v : | y||=√ ¿ 2 Betrachte : ϕ KR gemäß ϕ( α ) ≔||x+ αy|| (3)

0 ≤ ϕ( ∝ ) =||x +αy|| ¿< x + αy , x + αy>¿ < x , x> +α< y , x >+ α´ < x , y >+α α´ < y , y >¿ 2 2 2 ¿||x|| +α < y , x >+ α´ < x , y >+|α| ∗| y|| ¿ x , y > ¿ 2 ergibt si ch aus ( 4 ) dann || y|| Für α=α 0 mit α 0 ≔−¿ ¿ x , y >¿ ¿ 2 ¿ ¿ ¿ 2 0 ≤ ϕ( α 0 ) =| x|| −¿ Überprüfung der Normaxiome! 2

Def

Es heißt die in S 12.3 definierte Norm vom Skalarprodukt erzeugte Norm.

L 12.4 Seien [V, < . , . >] ein unitärer Raum über K, sowie ||.|| die von < . , . > erzeugte Norm. Für jede Wahl von x , y ∈ V gilt dann die Polarisierungsidentität: 1 (||x + y|2−||x− y||2) 4 ¿ x , y >¿ 2 2 2 2 1 ||x + y | −||x− y|| −i||x−iy || +i||x +iy|| ) ( 4

{

S 12.5 Eine Norm aug einem K-VR V ist genau dann von einem Skalarprodukt erzeugte Norm, wenn für jede Wahl von x, y aus V eine Parallelnorm gefunden werden kann, für die gilt: ||x+y||2 + ||x+y||2 = 2(||x||2 + ||y||2) Def

(a) (b)

Vektoren x, y aus V heißen orthogonal, falls = 0 ist. Nichtleere Teilmengen A und B von V nennt man orthogonal, falls = 0 für jedes x aus A und jedes y aus B gilt.

Bem Es lässt sich leicht nachweisen, dass der sogenannte Orthogonalraum von A ⊥ ≔ { ¿ y , x> ¿ 0} von A ein Unterraum von V ist. Seite 1

V19 - Lineare Algebra 2 16. Juni 2014

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