Vaciado de un deposito PDF

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estudio del vaciado de un depósito cilíndrico. ...

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Estudio del vaciado de un dep´ osito cil´ındrico Depto. F´ısica Aplicada, Universidad de Huelva

´Indice 1. Introducci´ on. Problema a estudiar

1

2. Fundamento te´ orico

1

3. Objetivos

1

4. Lista de materiales. Descripci´ on

2

5. Procedimiento pr´ actico 5.1. Determinaci´on de los tiempos de vaciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Tratamiento de datos y obtenci´on de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3

6. Cuestiones

3

7. Anexo I. Ejemplos de an´ alisis de resultados

4

Estudio del vaciado de un dep´ osito cil´ındrico

1.

P´agina 1

Introducci´ on. Problema a estudiar

El objetivo de esta pr´actica es analizar el vaciado de un dep´osito estudiando el tiempo que tarda un fluido en salir por el orificio de una bureta.

2.

Fundamento te´ orico

Consideremos un dep´osito cil´ındrico de secci´on S, lleno con cierta cantidad de un l´ıquido incompresible de densidad ρ, y que dispone de un orificio de salida en su parte inferior. En un instante cualquiera t, la altura del fluido en el dep´osito es h, la velocidad de salida por el √ orificio es v = 2gh y el caudal viene dado por: p dV dh = −S = sv = s 2gh dt dt Separando variables en la ecuaci´on (1) se deduce que: S  dh s dt = − √ 2gh Q =

(1)

(2)

Donde S es el ´area interior de la bureta y s el ´area del orificio de salida. Supongamos que en el instante inicial t = 0 la altura del fluido en el dep´osito viene dado por h. El tiempo t empleado en vaciar el dep´osito hasta una altura ho , se obtiene por integraci´ on de la ecuaci´ on (2). t = 2



r2 R2



1

1

1

(2g) 2 (y 2 – ho2 )

Ecuaci´ on te´ orica que, reagrupada convenientemente, quedar´ıa:  2   1 1 1 g 2 r 2 · t h 2 = ho + 2 R 2

(3)

Donde R es el radio de interior de la bureta y r el radio del orificio de salida.

Comparando la ecuaci´on anterior con la de una recta y = a + b · x, podemos hacer la siguiente asignaci´ on de coeficientes y variables:  2   1 1 r g 2 1/2 2 y = h = t} a = h b = · | x {z 2 | {z o} | {z } 2 R | {z } (variable independiente) (ordenada) (ordenada en el origen) (pendiente)

3.

Objetivos

Estudiar la relaci´on existente entre el tiempo de vaciado de un dep´osito cil´ındrico (bureta) y la altura del nivel del l´ıquido contenido. Determinar experimentalmente el radio del orificio de salida de la bureta

Estudio del vaciado de un dep´ osito cil´ındrico

4.

P´ agina 2

Lista de materiales. Descripci´ on Calibre. Bureta. Fluido, agua destilada. Dispositivos para soportar la bureta, soporte y pinzas. Regla. Cron´ ometro.

5.

Procedimiento pr´ actico

Como dep´ osito cil´ındrico usaremos una bureta de 50 mL de capacidad, y agua destilada, como l´ıquido para realizar la experiencia. NOTA IMPORTANTE: Antes de comenzar el experimento, se deber´an medir las distancias entre las marcas de 50, 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15 y 0 mL (este u ´ltimo est´ a situado a la altura ho y se corresponde con la marca B) hasta el orificio de salida, situado en la punta inferior de la bureta.

5.1.

Determinaci´ on de los tiempos de vaciado

1) Determinar el radio R de la bureta 2) Comenzaremos el experimento con la marca A situada en 50 mL 3) Cerrar la llave de paso de la bureta y llenar con agua destilada hasta varios cent´ımetros por encima de la marca A. 4) Abrir la llave de paso y activar el cron´ometro en el instante en que el nivel de agua pase por la marca A. 5) Detener el cron´ometro cuando el nivel de l´ıquido pase por la marca B (0 mL), y anotar el tiempo empleado 6) Repetir el proceso tres veces desde el punto 3). 7) Repetir todo el procedimiento desde el punto 3) situando la marca A en 45, 40, 35, 30, 25, 20 y 15 mL. 8) Con los valores obtenidos, rellenar la tabla siguiente. V (mL) 50 45 40 35 30 25 20 15

h (cm)

t1 (s)

t2 (s)

t3 (s)

t (s)

√ h √ ( cm)

Estudio del vaciado de un dep´ osito cil´ındrico

5.2.

P´ agina 3

Tratamiento de datos y obtenci´ on de resultados 1

1) A partir de los datos obtenidos, representar gr´ aficamente h 2 frente al tiempo medio tmedio 2) Con los datos obtenidos, ajuste por m´ınimos cuadrados la recta y = a + bx 3) Exprese correctamente los par´ ametros del ajuste: R(P earson) ; a ± σa; b ± σb ; ǫa( %) y ǫb ( %) ametros del ajuste. La pendiente del ajuste viene 4) De acuerdo con la ecuaci´on (3) identifique los par´ dada por la expresi´ on: b =



r2 R2

  1 g 2 · 2

5) A partir del valor obtenido para la pendiente, calc´ ulese el radio del orificio de salida (r), expresando correctamente el resultado con sus incertidumbres respectivas, σr y ǫn (r). r2 = b · R2 ·

σr

6.

r = · 2

s

 σ 2 m

m

+

 g − 1



2

2

2σR R

2

+



σg 2g

2

Cuestiones 1. ¿Por qu´e comenzamos enrasando el nivel de l´ıquido unos cent´ımetros por encima del nivel donde se empieza a medir el tiempo, en lugar de hacerlo sobre la marca del nivel elegido? ¿Tiene alguna ventaja real? Razone la respuesta

2. ¿Depender´ a la velocidad de vaciado del dep´osito de la viscosidad del l´ıquido usado? Razone la respuesta

3. En el caso de que la respuesta a la cuesti´on anterior fuera afirmativa, ¿ser´ıa posible determinar la viscosidad de un l´ıquido por este procedimiento? ¿Qu´e har´ıa falta para ello? Razone la respuesta

Estudio del vaciado de un dep´ osito cil´ındrico

7.

P´ agina 4

Anexo I. Ejemplos de an´ alisis de resultados

Despu´es de realizar el experimento, con los valores obtenidos, rellenamos la tabla siguiente. Hemos obviado las tres medidas de tiempo para cada altura, usando directamente los tiempos medios. V (mL) 50 45 40 35 30 25 20 15

h (cm) 72.5 69.4 63.6 57.8 52.0 46.2 40.4 34.6

√ t h √ (s) ( cm) 33.76 8.51 30.88 8.33 27.88 7.97 24.86 7.60 21.53 7.21 17.98 6.80 14.02 6.36 9.92 5.88

Con los √ datos de la tabla, ajustamos por m´ınimos cuadrados los valores de las ra´ıces cuadradas de las alturas hi frente a sus tiempos ti , y la representamos gr´ aficamente.

Los valores obtenidos para los coeficientes de la recta son los siguientes: a = 4,767

σa = 0,05

b = 0,114

σb = 0,002

2 R(P earson) = 0,998

Y, a partir de R(Radio) = 0,50 ± 0,01 cm

y

g = 9,1 ± 0,1 m/s2

Obtenemos que rsalida = 0,358 ± 0,001 mm...