Informe Vaciado de un tanque PDF

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Universidad de Antioquia, Departamento de ciencias exactas.Leyes de conservación en el vaciado de un tanqueKeren Casia Valencia Escobar1115084894Juan Esteban Osorio Correa1036682496Sede central Universidad de Antoquia, Medellín, Antioquia, Colombia13 de Agosto del 2021Resumen En el siguiente informe...

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Universidad de Antioquia, Departamento de ciencias exactas.

Leyes de conservación en el vaciado de un tanque Keren Casia Valencia Escobar 1115084894 Juan Esteban Osorio Correa 1036682496 Sede central Universidad de Antoquia, Medellín, Antioquia, Colombia 13 de Agosto del 2021

Resumen En el siguiente informe se busca hacer un experimento donde se permita visualizar y entender la ley de la conservación de energía y volumen. Todo esto mediante un circuito que consta de dos botellas, un grifo y agua, quienes nos ayudaran a tomar los datos de las siguientes mediciones: tiempo de llenado, masa - volumen inican y masa - volumen final. Palabras claves: Differential equation, Torricelli principle, Bernoulli equation, conservation, energy, volume, mass.Abstract The following report seeks to carry out an experiment where it is possible to visualize and understand the law of conservation of energy and volume. All this through a circuit consisting of two bottles, a tap and water, who will help us take the data from the following measurements: filling time, initial mass - volume, and final mass - volume. Keywords: conservation, energy, volume, mass. © 2021 Universidad de Antioquia. Departamento de Ciencias Exactas.

1. Introducción

comparar ambos datos y sacar conclusiones de que tan eficiente es el montaje.

El comportamiento que tiene un liquido que sale atravez de un orificio hubicado el en fondo de un tanque dependerá de la geometria del mismo. Eso lo explica el principio de Torricelli, quien a su vez es una aplicación del principio de Bernoulli.

Objetivos: fortalecer el conocimiento de mediciones con error, mínimos cuadrados, etc. Investiga, comprender e implementar las leyes de Bernoulli y Torricelli. Fomentar el pensamiento científico realizando un experimiento donde se apliquen las leyes ya investigadas.

1.1 Problema y objetivos Problema: Realizar un circuito de vaciado de un tanque donde se determine la velocidad de salida del liquido y el tiempo que tarda en vaciarse de forma directa e indirecta, 1

Universidad de Antioquia. Departamento de ciencias exactas

1.2 Ecuaciones Diferenciales Es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas, se implementará en el siguiente experimento ya que el volumen del liquido irá disminuyendo con el paso del tiempo. 1.3 Ecuación Velocidad de Salida Para ello se utilizará la ecuación de Bernoulli.

Donde:

Fig. 2. Diseño de vaciado.

Sabemos que la ecuación de Bernoulli es la siguiente: 𝑷𝟏 + 𝝆𝒈𝒉𝟏 +

𝟏 𝟏 𝝆(𝒗𝟏)𝟐 = 𝑷𝟐 + 𝝆𝒈𝒉𝟐 + 𝝆(𝒗𝟐)𝟐 𝟐 𝟐

Ahora tanto P1 como P2 son iguales y que amboas son la presión atmosférica, por lo tanto + 𝝆𝒈𝒉𝟏 + 𝝆𝒈𝒉𝟏 +

𝟏 𝝆(𝒗𝟏)𝟐 = 𝟐

+ 𝝆𝒈𝒉𝟐 +

𝟏 𝝆(𝒗𝟐)𝟐 𝟐

𝟏 𝟏 𝝆(𝒗𝟏)𝟐 = 𝝆𝒈𝒉𝟐 + 𝝆(𝒗𝟐)𝟐 𝟐 𝟐

También sabemos que h2= 0 por lo tanto:

Fig. 1. Principio de Bernoulli

𝟏 𝟏 𝝆(𝒗𝟏)𝟐 = ) + 𝝆(𝒗𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝝆𝒈𝒉𝟏 + 𝝆(𝒗𝟏)𝟐 = 𝝆(𝒗𝟐)𝟐 𝟐 𝟐

𝝆𝒈𝒉𝟏 +

Tenemos una tubería que inica con una presión, altura y velocidad tal y como se puede observar en la imagen 1. Si la altura y presión cambian por consecuencia la velocidad también lo hará. En otras palabras, el principio de Bernoulli explica muchos de los comportamientos que ocurren en los fluidos apartir de la idea de que en ellos la energía se conserva, lo que significa que dicho valor es una constante proporcional al producto de la presión y la velocidad.

A pesar de que hay 2 velocidades, puede suponerse que v1=0 ya que la velocidad que tiene v1 en comparación a la de v2 es despreciable, por ello:

𝐸 =𝑉×𝑃

𝝆𝒈𝒉𝟏 +

“a mayor velocidad menor presión y a mayor presión menor velocidad”

𝟏

𝝆𝒈𝒉𝟏 =

Supongamos que el líquido fluye a través de un orificio , el cual está ubicado en la base del tanque.

𝟐

𝟏 = 𝝆(𝒗𝟐)𝟐 𝟐

𝟏 𝝆(𝒗𝟐)𝟐 𝟐

Como solo queda un termino de v y de h, para mas comodicadad quitaremos el subnumero que llevan quedando h1=h y v2=v 2

𝝆𝒈𝒉 =

𝟏 𝝆(𝒗)𝟐 𝟐

Se divide en ambos lados por ∆t 𝒗(𝒕 + ∆𝒕) − 𝒗(𝒕) −𝒂√𝟐𝒈𝒉∆𝒕 ≈ ∆ ∆𝒕

Dividimos en ambas partes de la ecuación por la densidad 𝝆

Se pone el limite para poder igual las ecuaciones

𝝆 𝟏 𝒉 = (𝒗) 𝟐 𝒈𝒉 =

𝐥𝐢𝐦

∆𝒕=𝟎

𝟏 (𝒗)𝟐 𝟐

𝒗(𝒕 + ∆𝒕) − 𝒗(𝒕) = −𝒂√𝟐𝒈𝒉 ∆𝒕

La ecuación de la izquierda es la definición de la derivada de una función 𝑑𝑉 = −𝒂√𝟐𝒈𝒉 𝑑𝑡

Despejando a V (quien es la velocidad de salida del sistema, nos queda que:

Esta ya es una ecuación diferencial, pero aun no se puede resolver ya que v y h dependen de t, por ello se encontrar una relación entre ambas variables.

𝟏 𝟐𝒈𝒉 = 𝟐 (𝒗)𝟐 𝟐 𝟐𝒈𝒉 = (𝒗)𝟐

Si se sabe cual es el área transversal en cada altura podemos conocer el volumen integrando de la siguiente manera:

El valor que se tomará de la raíz es positivo por comodidad.

𝑣(𝑦) = ∫ 𝐴(𝑢)𝑑𝑢

𝑣 = √2𝑔ℎ

𝑦

0

La expresión a la que se llego es el principio de Torricelli y se interpreta de la siguiente manera: “La velocidad con la que sale el liquido es igual a la velocidad que abquiriria una particula en caída libre soltada desde la altura h.”

Derivando en ambos lados se obtiene que: 𝑑𝑣 = 𝐴(𝑦) 𝑑𝑦

También se debe tener en cuanta la viscosidad del fluido en nuestro caso es uno por se el agua, pero para que la ecuacio quede mas completa se multiplica por la constante de viscosidad

Y de esa forma ya encontramos una relación entre el volumen y el área, pero la deribada esta en función de la altura y no del tiempo, por ello implementamos la regla de la cadena. 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑦 × = 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑣 = 𝑪√2𝑔ℎ

Reemplazando queda:

Donde 0 < C < 1; si C = 0 entonces es un solido.

1.4 Tiempo que toma en vaciarse el tanque

Reemplazando queda:

Para ello se debe encontrar una ecuación diferencial que relacione el cambio de volumen del tanque con la altura y la velocidad de salida.

𝐴(𝑦)

𝑑𝑦 𝑑𝑣 = 𝐴(𝑦) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑦 = −𝒂√𝟐𝒈𝒉 𝑑𝑡

Y es esta la ecuación diferencial que describe la situación de nuestro tanque, así que para conocer cuanto tarda el tanque en vaciarse se reemplaza en la ecuación 3, donde:

El volumen de liquido que sale por unidad de tiempo = 𝑎 × 𝑣 h = variable, ya que cambia durante el vaciado a = tamaño del orificio de salida velocidad = variable ya que depende de la altura. Pero v puede tomarse como constante en un intervalo pequeo de tiempo (∆t), lo cual nos permite:

A(y) = área transversal a la altura y a = área del orificio g = aceleración de la gravedad

𝒗(𝒕 + ∆𝒕) ≈ 𝒗(𝒕) − 𝒂𝒗∆𝒕 Se reemplaza v y se despeja 𝒗(𝒕 + ∆𝒕) − 𝒗(𝒕) ≈ −𝒂√𝟐𝒈𝒉∆𝒕 3

Universidad de Antioquia. Departamento de ciencias exactas

2. Procedimiento 2.1 Materiales: • Recipiente (tanque o botella vacía de refresco o de otra clase).

2.3 Toma de datos

• Un líquido a vaciar de baja viscosidad (agua).

Iniciaremos con la llave en posición cero (cerrada), con el cronometro en mano, para activar ambos a la vez, se tomará el tiempo que tarda en vaciarse el tanque de manera manual, este proceso se realizará unas 6 veces para poder establecer el error que hay en el momento de activar el frijo y el cronometro.

• Regla, cinta métrica o flexómetro de referencia. • Cronómetro o reloj para registrar el tiempo de vaciado. • Cámara • Marcador permanente, o cinta de enmascarar.

Número de intentos

Segundos

1

10.34

2

11.40

3

10.59

4

11.20

5

10.53

6

11.35

2.4 Incertidumbre S=√

(𝑥𝑖 −𝑥)2 𝑛−1

Promedio: 10.90 seg S= √

2.2 Diagrama del montaje El montaje realizado para este proyecto consta de 2 botellas de 500mL quienes se unieron por medio de una llave la cual se encarga de controlar el paso del agua, con la ayuda de una regla se hacen las marcas para las mediciones sobre las botellas.

(10.34−10.90)2+(11.40−10.90)2+(10.59−10.90)2+(11.20−10.90)2+(10.53−10.90)2+(1 5

S=√

0.31+0.25+0.1+0.09+0.14+0.2

S=√

1.09 5

5

S = 0.4669047012 S ≈ 0.5 seg

2.4 area del orificio Radio = 0.45 Area = 𝜋𝑅2

Área = (3.14)*(0.45)2 Área = o.6 cm

4

La expresión da en negativo ya que indica el tiempo que tarda en vaciarce el tanque.

2.5. Hipotesis • A mayor área del orificio de salida menos tardara en vaciarse el tanque • Saldrá la misma cantidad de agua en cada momento de vaciado siempre y cuando la geometría transversal sea constante en todo el tanque. • El tanque se vaceara mas rápido si se influye en el movimiento del agua, por ejemplo, hacer que se vacie en forma de remorino.

Medicion con error:

2.6 Datos 2.6.1 Dato experimentale El tanque tenia una altura de 8cm y con un oricio de área de 6.16cm tardo en vaciarce un total de 10.90 seg

Entonces:

𝑜. 1 0.1 + ] 47.78 0.6

79.6 ∗ [ ≈ 13.43

79.6 ∗ 2.83 [ = 45.9669

13.43 0.1 + ] 79.6 2.83

≈ 46 2.6.2 Dato teórico

Por lo tanto:

Área transversal (Ay) = (47.78±0.1) cm

El tanque se vacea en (10.2±46) seg

Area del orificio (a) = (0.6±0.1) cm Altura (h) = (8±0.1) cm

2.6.3 hipotesis 1

Gravedad = 9.81m/𝑠 2 = 981cm/𝑠 2

Área transversal (Ay) = (47.78±0.1) cm Area del orificio (a) = (1±0.1) cm

𝑑𝑦 = −𝒂√𝟐𝒈𝒉 𝐴(𝑦) 𝑑𝑡

Altura (h) = (8±0.1) cm Gravedad = 9.81m/𝑠 2 = 981cm/𝑠 2

𝐴(𝑦) ∗ 𝒅𝒚 = −𝒂√𝟐𝒈𝒉 * dt 𝒅𝒚

𝑨 −𝒂√𝟐𝒈

∫ √𝒉 = ∫ 𝒅𝒕

−𝒂√𝟐𝒈

2√𝒉 = t + k

𝑨

𝟒𝟕.𝟕𝟖

𝐴(𝑦)

𝑑𝑦 = −𝒂√𝟐𝒈𝒉 𝑑𝑡

𝐴(𝑦) ∗ 𝒅𝒚 = −𝒂√𝟐𝒈𝒉 * dt

𝑨 −𝒂√𝟐𝒈

*2 *2√𝟖 = t

−𝟎.𝟔√𝟐∗𝟗𝟖𝟏

T = -10.169986 seg 5

∫

𝒅𝒚

√𝒉

= ∫ 𝒅𝒕

Universidad de Antioquia. Departamento de ciencias exactas 𝑨

−𝒂√𝟐𝒈

Δ: 0.5 + 0.5 = 1

2√𝒉 = t + k

Entonces de 8cm a 6cm se vacia en (2.11±0.2) seg

𝟒𝟕.𝟕𝟖

*2 *2√𝟖 = t 𝟐∗𝟗𝟖𝟏

−𝟏√

La hipótesis 2 es incorrecta ya que en todos los instantes de tiempo no se vacia de igual manera

T = -6.10199988 seg 47.78 ∗ [ ≈ 4.88

𝑜. 1 0.1 + ] 47.78 1

Velocidad de Vaciado

10 ALTURA(CM)

Medicion con error:

4.9 0.1 47.78 ∗ 2.83 [ + ] 47.78 2.83 = 18.645

8 6 4 2 0

≈ 18.6

0

Por lo tanto:

=t

𝒄𝒐𝒏 𝒉 = {𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖} (Tiempo de vaciado±0.5) seg

8

10.16

6

8.80

4

7.19

2

5.08

10

15

Como la grafica 1 nos muestra la veloidad con la que el tamque se vacea no es constante, si se toman valores muy cercanos entre si, dará la impresión de que es constante, pero al tomar valores muy alejados entre si nos damos cuenta de lo contrario.

2.6.4 hipotesis 2

(Altura±0.1) cm

TIEMPO(SEGS)

Grafica 1. Velocidad de vaciado

El tanque se vacea en (6.1±18.6) seg

𝟒𝟕.𝟕𝟖 *2 *2√𝒉 −𝟏√𝟐∗𝟗𝟖𝟏

5

4. Conclusiones • Bernoulli explico muchos fenómenos que ocurren en los fluidos apartir de la idea de que en dichos fluidos la energía se conserva . • Podemos observar como, aunque el área del orificio de salida si afecta la velocidad de vaciado, el tanque no se vacia a la misma velocidad en todo momento y se puede observar como entre menos altura mas tarda en vaciarce • El proceso de vaciado de un tanque no es estacionario porque mientras el tanque se vacía, las magnitudes que caracterizan al fluido varían en el tiempo. Se demuestra que, al disminuir la altura del fluido en el tanque, también disminuye su velocidad y, consecuentemente, la velocidad del flujo a la salida.

• El tiempo que tarda en vaciarce de 8cm a 6cm: 10.16seg – 8.80 seg Δ: 0.5 + 0.5 = 1 Entonces de 8cm a 6cm se vacia en (1.36±0.2) seg

Referencias bibliograficas

• El tiempo que tarda en vaciarce de 6cm a 4cm:

[1] S. C. Chapra, R. P. Canale, Métodos numéricos para Ingenieros, Mc Graw Hill, 3 a edición, México D.F., (2000).

8.80– 7.19 seg

[2] R. E. Walpole, R.H. Myers, S.L. Myers, Probabilidad y Estadística para ingenieros, Editorial Pearson Educación, 6ª Edición, México D.F., p. 362. (1998).

Δ: 0.5 + 0.5 = 1 Entonces de 8cm a 6cm se vacia en (1.61 ±0.2) seg

[3] D. G. Zill, Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, Thomson Learning, 5a edición, México D.F., p. 16, (2002)

• El tiempo que tarda en vaciarce de 4cm a 2cm: 7.19– 5.08 seg 6

Referencias web https://www.youtube.com/watch?v=rdIbcmTk-_k https://es.slideshare.net/paopedroza/aplicaciones-de-lasecuaciones-diferenciales-a-problemas-vaciado-de-tanques-autoguardado http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/vaciado/vaciado.htm https://wikimat.es/ecuaciones-diferenciales/vaciado-detanques/

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