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METODO DE LAS ARANDELAS

1

VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Consideremos dos funciones f (x ) y g (x ) continúas en el intervalo cerrado  a, b  , de la región del plano limitada por tal manera que f ( x)  g ( x ) para todo x   a , b  . Sea las curvas con ecuaciones y  f (x ) ; y  g (x ) y las rectas con ecuaciones x a , x b .

Se requiere determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región comprendida entre las dos curvas, alrededor del eje (note que en este caso no giramos la región alrededor de una de sus fronteras). El sólido generado se muestra en la siguiente figura:

Sea Pn una partición del intervalo  a, b  determinada por el conjunto de números  x 0 , x 1 , x 2 ,...., xn  con xi  xi  xi  1 para i 1,2,3...., n , En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares.

METODO DE LAS ARANDELAS

2

Se muestra a continuación el i  esimo rectángulo y el i  esimo anillo circular generado al rotar aquel alrededor del eje .

Luego, el área del anillo circular es: Areabajo

f (x)

 Area bajo

g (x)

2 2 A   f ( x i )    g ( x )

por lo que el volumen del i  esimo elemento sólido será:





Vi   f ( xi )   g ( x) xi 2

2

Entonces, la suma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es: n

n





V  V    f ( x i )    g ( x )  x i i 1

2

2

i1

i

Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Por lo tanto si hacemos que n tienda al infinito el volumen del sólido generado es:



n



V Lim    f (x i )  2  g (x )  2 x i n 

i 1





2 2 V   f ( xi )   g ( x ) dx b

a

Al igual que para el área entre dos curvas, es bueno recordar la expresión en la forma:

METODO DE LAS ARANDELAS

3

2 2

b Curva  Curva   V     dx a superio inferio Para evaluar el sólido generado al hacer girar una región del plano comprendida entre dos curvas , se recomienda.

1. Dibujar las curvas para identificar la región que se hace girar y determinar en el intervalo que curva se encuentra en la parte superior y cual en la inferior. 2. Determinar los límites de integración los cuales corresponden a las rectas x  a, x b si las curvas no se intersecan, o los puntos de intersección cuando estas se cruzan. 3. Aplicar la expresión para determinar el volumen, es decir





V   f ( xi )   g ( x ) dx b

a

2

2

Ejemplos UNO. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje x , la superficie comprendida entre las parábolas con ecuaciones g ( x)  x 2 , f ( x )  x . Solución La representación gráfica de la región y del i  esimo rectángulo es la siguiente:

METODO DE LAS ARANDELAS

4

y 1.2 1

f(x)=√x

0.8 0.6 0.4

g(x)=x2

0.2 x -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2

En la grafica observamos que la función que se encuentra en la parte superior es f ( x )  x . Ahora los límites de integración corresponden a los puntos de corte de las dos curvas, es decir: g( x)  f ( x)

x2  x x4  x x4  x 0





x x3  1 0 x 0 x 1

Luego, el volumen del sólido de revolución está dado por: b V   f ( xi ) 2   g ( x)  2 dx



a

b V   a  b





 x    x   dx 2

2 2



V   x  x 4 dx a

1

 x2 x5   V    5  0  2 3  1 1  V       2 5  10

METODO DE LAS ARANDELAS

5

EJEMPLO DOS. Determine el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar en torno al eje de las equis la región del plano comprendida entre las curvas f ( x) x 2 , g ( x) 2 x  1 .

y 6

5

4

g(x)=2 x+1

3

f(x)=x2

2

1

x -3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

Buscamos los puntos de intersección f ( x)  g( x) x2  2 x  1 x2  2 x  1 0

Resolviendo la cuadrática encontramos x  0.43 x 2.38

En la grafica observamos que la función que se encuentra en la parte superior de la región es g ( x) 2 x  1 , Luego, el volumen del sólido de revolución está dado por:

METODO DE LAS ARANDELAS



6

V    g ( xi )2  b

a

2.38

V  

 f ( x )2  dx

  2 x  1

2

  x 2  dx

  2 x  1

2

 x4 dx

 0.43 2.38

V   

0.43

2

  2 x  1 3 x 5  V   6 5 





2.38

     0.43

  2 * 2. 38 1 3 2.385    2 *   0. 43. 1 3   0.43 5        V     6 5  6 5    V   31.85 15.27   0.023  0.000486 V 16.58  0.023486 V 16.556514

EJEMPLO TRES : La región del plano comprendida entre las curvas f ( x) x  4 , g ( x ) x  2 y las rectas x 2 , x 5 se hace girar en torno al eje de las equis. Determine el volumen del sólido de revolución generado.

y 8

f(x)=x+4 7

6

5

4

3

2

g(x)=x-2 1 x -0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

-1

De acuerdo a la región mostrada en la figura, el volumen del sólido es:

METODO DE LAS ARANDELAS

 V   x  4

7

 dx

V   f ( xi ) 2   g ( x)  2 dx b

a

5

2

2

2   x  2

  x  4  3  x  2 3   V     3  3  2 5

  5  4 3 5  2 3    2  4 3  2  2  3       V     3  6 5   3  V   243 9   72  0  V 162

EJEMPLO CUATRO: Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje y , la superficie comprendida entre las parábolas con ecuaciones g ( x) x 2 , f ( x )  x . Solución La representación gráfica de la región es la siguiente:

y 1.2 1 0.8

f(x)=√x

0.6 0.4

g(x)=x2

0.2 x -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2

El anillo circular tiene como radio máximo g (x ) , y como radio mínimo f (x ) . En este caso tomamos sólido está dado por:

como la variable dependiente, y se tiene que el volumen del

METODO DE LAS ARANDELAS

8



2 V    g ( y)  d

c

1 V   0 



2

 y  y  2

 y2 y5  V   5  2  1 1 V      2 5 3 V   5



f ( y) dy 2 2

 dy 

1

  0

EJEMPLO CINCO: Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor del eje y, la parte de la parábola y 2 4 ax, a  0 , que intercepta la recta x a Solución: La representación gráfica de la región y del i-ésimo rectángulo es la siguiente:

El anillo circular tiene como radio máximo x  a , y como radio interior x 

y2 . Tomamos 4a

x como la variable

dependiente.

El volumen del sólido está dado por:

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9

 Curva  2  Curva  2       dy V     c derecha izquierda       d

 2  y 2  2 V     a     dy 2a   4 a   2a

 V    a 2   2a  2a

 y 4   2  dy 16a  1

 2 y5  V  a y  2   80a  0  3 2 a3   3 2a 3  V  2a       2 a   5  5  16 V  a 3 5

ACTIVIDAD. 1. Determinar el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y  x 2 , y 4 , gira alrededor de:

1. 2. 3. 4. 5.

el la el la la

eje y recta con ecuación y=4 eje x recta con ecuación y=-1 recta con ecuación x=2

2. Calcule EL volumen del sólido de revolución cuando se hace girar el área comprendida 2 2 entre g ( x) x y g ( x) 4 x  x alrededor a) del eje x b) del eje y. 3. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor del eje de las x la región acotada por la parábola f ( x) x 2  1 y la recta g ( x) x  3. 4. Calcule el volumen cuando la región acotada por las parábolas x  y  y 2 y x  y 2  3 se hace girar alrededor de la recta x  4 . 5. Se tiene la región acotada por las curvas f ( x) x 3 , g ( x )  x . Determine el sólido de revolución que se genera al hacer rotar la región entorno a: el eje x , el eje y , la reta x= 2 , la recta y= 4.

METODO DE LAS ARANDELAS

10

6. determine el volumen cuando la region indicada se hace girar entorno a: y 4

3

2

1

g(x)=x 2 -2x x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

3

3.5

4

-1

f(x)=x 3 -3x 2 +1 -2

-3

alrededor de la recta y= -4.

a)

y

3

2

y=2

1

x -1.5

-1

-0.5

3

3.5

4

-1

f(x)=x 3 -3x 2 -2

-3

-4

b)

alrededor de la reta y = 2

METODO DE LAS ARANDELAS

2.5

11

y

2

f(x)=√x

1.5

1

f(x)=2 1-x

0.5

x -0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

-0.5

c)

al eje x y 2.5

f(x)=1+√x 2

(0.28,1.5) 1.5

1

0.5

f(x)=2e -x x -0.2

0.2

0.4

0.6

d) en torno al eje y.

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.

entorno al eje x ,...