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Anhang AWichtige ResultateWichtige Gleichungen und UngleichungenDreiecksungleichung: F ̈ur jede Norm‖·‖gilt‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖ (siehe Seite 8)Umgekehrte Dreiecksungleichung: F ̈ur jede Norm‖·‖gilt∣∣ ‖x‖−‖y‖∣∣≤‖x−y‖ (siehe Seite 12)Orthogonalentwicklung: F ̈ur jede Orthonormalbasis{q 1 , q 2 ,... , qn}gilt...

Description

Anhang A

Wichtige Resultate Wichtige Gleichungen und Ungleichungen Dreiecksungleichung: F¨ur jede Norm k · k gilt kx + yk ≤ kxk + kyk

(siehe Seite 8)

Umgekehrte Dreiecksungleichung: F¨ur jede Norm k · k gilt   kxk − kyk ≤ kx − yk

(siehe Seite 12)

x = hx , q1 iq1 + hx , q2 iq2 + · · · + hx , qn iqn

(siehe Seite 22)

Orthogonalentwicklung: F¨ur jede Orthonormalbasis {q1 , q2 , . . . , qn } gilt

Konvergenzverhalten wichtiger Folgen α = 0, α, β ∈ R n+β n+α lim = 1, α, β ∈ R n→∞ n + β √ lim n n = 1 n→∞ √ n lim n! = ∞ n→∞   x n lim 1 + = ex , x ∈ R n→∞ n   =0 falls |q| < 1,    = 1 falls q = 1, lim q n n→∞  =∞ falls q > 1,    existiert nicht falls q ≤ −1

(siehe Seite 47)

lim

n→∞

(siehe Seite 48) (siehe Seite 48) (siehe Seite 94) (siehe Seite 73)

(siehe Seite 48)

193

Konvergenzverhalten wichtiger Reihen ( ∞ X 1 1 1 1 konvergiert falls α > 1, = 1 + α + α + α +··· α 2 3 n 4 =∞ falls α ≤ 1 n=1 ∞ X 1 1 1 1 =1+ + + +··· = e 1! 2! 3! n!

(siehe Seite 82) (siehe Seite 76)

n=0

Harmonische Reihe: ∞ X 1

n n=1

=1+

1 1 1 + + +··· = ∞ 2 3 4

(siehe Seite 79)

Alternierende harmonische Reihe: ∞ X (−1)n+1

n

n=1

=1−

1 1 1 + − ± · · · = ln(2) 2 3 4

(siehe Seite 76)

Geometrische Reihe:  1   ∞ = 1 − q X qn = 1 + q + q2 + q3 + · · · = ∞   n=0  divergiert

falls |q| < 1, falls q ≥ 1, falls q ≤ −1

(siehe Seite 77)

Wichtige Potenzreihen ∞ X xn

ex =

n=0

sin(x) = cos(x) =

n!

=1+x+

x2 x3 +··· + 3! 2!

(siehe Seite 94)

∞ X

x3 x5 x7 (−1)n 2n+1 x =x− + − ±··· (2n + 1)! 3! 5! 7! n=0 ∞ X x2 x4 x6 (−1)n 2n x =1− + − ±··· (2n)! 2! 4! 6! n=0

(siehe Seite 96) (siehe Seite 96)

Wichtige Funktionsgrenzwerte lim

x→0

sin(x) = 1, x

lim xn e−x = 0,

x→∞

(siehe Seite 101) n ∈ N0

(siehe Seite 104)

lim x ln(x) = 0

(siehe Seite 128)

x→0+

lim

x→0+

ln(x) = −∞ x

(siehe Seite 129)

194

Wichtige Aussagen u ¨ber stetige Funktionen f ist an der Stelle x0 stetig ⇐⇒ f (x0 ) = lim f (x).

(siehe Seite 105)

Zwischenwertsatz

(siehe Seite 111)

Nullstellensatz von Bolzano

(siehe Seite 112)

Satz vom Minimum und Maximum

(siehe Seite 114)

D ∈ L(Rn ) und f ∈ C(D) =⇒ f ist Lebesgue–messbar.

(siehe Seite 171)

x→x0

Wichtige Aussagen u ¨ber differenzierbare Funktionen f ist an der Stelle x0 differenzierbar =⇒ f ist an der Stelle x0 stetig.

(siehe Seite 122)

Satz von Rolle

(siehe Seite 127)

Mittelwertsatz

(siehe Seite 127)

Wichtige Ableitungen f (x) = xα,

f ′ (x) = αxα−1 ,

α∈R

(siehe Seite 125)

f (x) = αx ,

f ′ (x) = ln(α)αx ,

α>0

(siehe Seite 125)

f (x) = ln(x),

f ′ (x) =

f (x) = sin(x),

f ′ (x) = cos(x),

(siehe Seite 125)

f (x) = cos(x),

f ′ (x) = − sin(x),

(siehe Seite 125)

1 , x

(siehe Seite 125)

Ableitungsregeln Summenregel: (f + g)′ = f ′ + g ′

(siehe Seite 123)

Regel des konstanten Faktors: (αf )′ = αf ′ ,

α∈R

Produktregel: (f g)′ = f ′ g + f g ′  ′ f f ′g − f g ′ Quotientenregel: = g2 g

(siehe Seite 123) (siehe Seite 123) (siehe Seite 123)

195

Kettenregel: (f ◦ g)′ = (f ′ ◦ g)g ′

(siehe Seite 124)

Wichtige Stammfunktionen xα+1 + c, α+1 αx F (x) = + c, ln(α)

α ∈ R \ {−1}, c ∈ R

(siehe Seite 178)

α > 0, c ∈ R

(siehe Seite 179)

f (x) = ln(x),

F (x) = x(ln(x) − 1) + c,

c∈R

(siehe Seite 181)

f (x) = sin(x),

F (x) = − cos(x) + c,

c∈R

(siehe Seite 179)

f (x) = cos(x),

F (x) = sin(x) + c,

c∈R

(siehe Seite 179)

F (x) = arctan(x) + c,

c∈R

(siehe Seite 190)

F (x) = ln(|g(x)|) + c,

c∈R

(siehe Seite 179)

f (x) = xα, f (x) = αx ,

1 , 1 + x2 g ′ (x) , f (x) = g(x)

f (x) =

F (x) =

Integrationsregeln Summenregel: Z Z Z g(x) dx f (x) dx + f (x) + g(x) dx = Ω

Regel des konstanten Faktors: Z Z αf (x) dx = α f (x) dx,

α∈R

Ω

Ω

Additivit¨at: Z Z Z f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx A∪B

B

A

(siehe Seite 174)

Ω

Ω

(siehe Seite 174)

falls A ∩ B = ∅

Integrale u ¨ber Nullmengen: Z f (x) dx = 0 falls meas(N ) = 0

(siehe Seite 174)

(siehe Seite 174)

N

Vertauschen der Integrationsgrenzen: Z

b

a

f (x) dx = −

Z

b

f (x) dx,

(siehe Seite 175)

a

196

Methode der partiellen Integration: Z

b

h ib u′ (x)v(x) dx = u(x)v(x)

x=a

a

−

Z

b

u(x)v ′ (x) dx

(siehe Seite 180)

a

Satz von Fubini: Z

f (x, y) d(x, y) =

[a,b]×[c,d]

Z

b a

Z

d

f (x, y) dy dx = c

Z

d c

Z

b

f (x, y) dxdy

(siehe Seite 183)

a

ur jeden Diffeomorphismus g : D → E gilt Transformationssatz: F¨ Z

f (x) dx =

Z

D

E

(f ◦ g)(x)|det g ′ (x)|dx

(siehe Seite 187)

Substitutionsregel: F¨ur jeden Diffeomorphismus g : I → [a, b] gilt Z

a

b

f (x) dx =

Z

g −1 (b) g −1 (a)

(f ◦ g)(x)g ′ (x)dx

(siehe Seite 187)

Weitere wichtige Resultate Satz des Pythagoras

(siehe Seite 20)

Satz von Heine–Borel

(siehe Seite 63)

Satz von Taylor Satz von Schwarz

(siehe Seite 136) (siehe Seite 145)

197...