Zusammenfassung-Mathe für Wiwis PDF

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Sehr gute Zusammenfassung der Vorlesungsinhalte

...

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Zusammenfassung Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1. Lineare Gleichungssysteme 1.1 Grundlagen  Aufbau eines Gleichungssystems mit den Unbekannten x1,…,xn

 



Homogenes LGS: wenn alle b1=…=bm=0 (rechte Seite ist ein Nullvektor) Lösungsmengen: genau eine Lösung: (z.B. n=m) Unendlich viele Lösungen ( z.B. n>m) Keine Lösung (bei Widersprüchen) Matrizendarstellung: Variablen: Spalten Gleichungen: Zeilen

Gleichungsmatrix [A I b]

Koeffizientenmatrix A

1.2 Das Gauß`sche Eliminationsverfahren Durch folgende Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht:  Vertauschungsregel (Zwei Gleichungen dürfen vertauscht werden)  Multiplikationsregel (Jede Gleichung darf mit einer Konstanten a0 multipliziert werden)  Additionsregel (Zu jeder Gleichung darf ein Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden) Schritte des Eliminationsverfahrens: 1 4 5 3 1. Staffelform (0 1 8| 9) 0 0 1 3 1 0 0 6 2. Zeilenstufenform: (0 1 0| 17) 0 0 1 5 Pivotspalten bzw. Basisspalten 1: Pivotstellen / Basisvariablen 3. Pivot-Variablen freistellen, falls keine eindeutige Lösung −1 1 0 0 1 𝑥 + 𝑥4 = −1 𝑥1 = −1 − 𝑥4 (0 1 0 2 | 2)  1 𝑥2 + 2𝑥4 = 2  𝑥2 = 2 − 2𝑥4 −1 1 0 0 1 𝑥3 − 𝑥4 = 1 𝑥3 = 1 + 𝑥4

𝕃 = {(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 ) = 𝑥𝑖 𝑅 x4 mit *

*

und ∗ gilt} d.h. x4 kann frei variieren. 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 berechnen sich aus

 Spezialfall: Basislösung: x4=0, alle anderen Lösungen lassen sich direkt ablesen

1.3 LGS in der linearen Optimierung

2 3 4 5 300 1. Matrix: (1 1 2 4 | 130 ) (auf Montagestifte kann an dieser Stelle verzichtet werden) 5 10 15 20 1000 30 1 0 0 1 2. Zeilenstufenform: (0 1 0 −3| 40) 3 30 0 0 1 𝑥1 = 30 − 𝑥4 3. Freistellen: 𝑥2 = 40 + 3𝑥4 Basislösung: x4=0  x1=30, x2=40, x3=30 𝑥3 = 30 − 3𝑥4

4. Maximaler Deckungsbeitrag: 65(30 − 𝑥4 ) + 120(40 + 3𝑥4 ) + 170(30 − 3𝑥4 ) + 230𝑥4 = 𝟏𝟓𝒙𝟒 + 𝟏𝟏𝟖𝟓𝟎 Je Bausatz Bill 4 erhöht sich der Deckungsbeitrag um 15€

5. Engpässe beachten (es kann keine negative Anzahl an Regalen hergestellt werden )  𝑥4 ≤ 10, da sonst x3 negativ wird

6. Lösung: 15𝑥4 + 11850 für 0 ≤ 𝑥4 ≤ 10 ergibt sich ein maximaler Deckungsbeitrag (ertragsreichste Lösung) von: 15 ∙ 10 + 11850 = 12000  x4=10  x1=20, x2=70, x3=0 2. Vektoren 2.1 Grundlagen  Transposition eines Vektors 200  ( 30 )  𝑅 3 und (20 7 10

29) 𝑅3

2 6  Vektoraddition: ( ) + (4) = ( ) 6 10 4 10 2  Skalarmultiplikation: 5 ∙ ( ) = ( ) 20 4  Rechenregeln: Assoziativgesetz: Kommutativgesetz: Distributivgesetz: Neutrales Element: Inverses Element:

𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 𝑥+𝑦 =𝑦+𝑥 𝑎(𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 Nullvektor 0 = (0 … 0)𝑇 (−𝑥) = (−1)𝑥 und 𝑥 + (−𝑥 ) = 0

 Einheitsvektor: 𝑒 (𝑗)sich =( 0 … 1von…Einheitsvektoren 0)𝑇 (Jeder Vektor lässt mithilfe du Skalaren schreiben, z.B.: (3

5

1 0) ) ) = 3 ∙ () + 5 ∙ (1 0

2.2 Linearkombinationen und Untervektorräume  Ein Vektor 𝑥  𝑅 𝑛 heißt Linearkombination (LK) von 𝑎(1) + ⋯ + 𝑎 (𝑚), wenn es reelle Zahlen 1 , … , 𝑚 gibt, so dass 𝑥 = 1 𝑎 (1) + ⋯ +𝑚 𝑎(𝑚)  Menge L aller LK von 𝑎(1) + ⋯ + 𝑎 (𝑚) heißt Lineare Hülle (𝕃 = 𝑆𝑝𝑎𝑛(𝑎(1) + ⋯ + 𝑎 (𝑚) ) 𝑆𝑝𝑎𝑛(𝑎(1) + ⋯ + 𝑎 (𝑚) ) heißt auch Untervektorraum (UVR) des 𝑅 𝑛  Typische Beispiele: Lagerräumungen 2 1 1 16 Bestimme (18 ) als LK von (2), (−1), ( 3 ) 1 1 1 −1 16 1 1 2  Ansatz:  1 ∙ (2)+ 2 ∙ (−1)+3 ∙ ( 3 ) = (18) −1 1 1 1 1 0 0 3 1 1 2 16  Als Matrix: (2 −1 3 3) 18) ZSF: (0 1 0 0 0 1 1 1 1 −1 5 Beispiel 1:

 Lösung: 1=3, 2=3, 3=5



16 2 1 1 3 (2)+3 (−1 )+5 (3 ) = (18) −1 1 1 1

1 1 Welche Vektoren sind als LK von (2) , ( 1 ) darstellbar? 1 −1 1 1 𝑥1 1 0 −𝑥1 + 𝑥2 2𝑥1 − 𝑥2 ) LGS: (2 1 𝑥2 ) ZSF: ( 0 1 1 −1 𝑥3 0 0 3𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 Beispiel 2:

wenn 3𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0, so gibt es genau eine Lösung: 𝑥1 1 1 (𝑥2 ) = (−𝑥1 + 𝑥2 ) ∙ 2() + (2𝑥1 − 𝑥2 ) ∙ ( 1) 𝑥3 1 −1

2.3 Lineare (Un-)abhängigkeit Eigenschaften:  Keiner der Vektoren lässt sich als LK der anderen schreiben  0 lässt sich eindeutig als LK der Vektoren a1…an schreiben (0 ∙ 𝑎1 +. . +0 ∙ 𝑎𝑛 )

Überprüfung:  Matrix aufstellen und in ZSF bringen nur Pivotspalten: linear unabhängig, auch Nicht-Pivotspalten: linear unabhängig  Sonderfall: Ein System vom mehr als n Vektoren des Rn ist linear abhängig

Beispiel 1: 21 −1 1 0) sind linear unabhängig, denn 1 ( ), ( ), (2 1 110 11 −1 0 1 0 2 1 0 0 ) ( ) ZSF: ( 0 0 1 1 1 2 Alles Pivotspalte Beispiel 2: 3 0 −3 ( 2 ), (−4 ), (−10 ) sind linear abhängig, denn 1 −5 7

−3 0 3 1 0 −1 ( 2 −4 −10) ZSF: ( 0 1 2 ) 0 0 0 −5 1 7

Nicht Basisspalte/Pivotspalte

3 0 −3 z.B. -1 ∙ ( 2 ) + 2 (−4 ) = (−10) 1 −5 7

2.4 Basis und Dimension eines UVR  UVR des Rn: 𝑆𝑝𝑎𝑛(𝑎(1) + ⋯ + 𝑎 (𝑚) )  Zu jedem UVR gibt es linear unabhängige Vektoren a(1)…a(m) mit 𝕃 = 𝑆𝑝𝑎𝑛(𝑎(1) + ⋯ + 𝑎 (𝑚) ) im Rn kann es höchstens n unabhängige Vektoren geben  Die Zahl m heißt Dimension von 𝕃 (𝑑𝑖𝑚𝕃 = 𝑚) Es gilt stets 𝑑𝑖𝑚𝕃 ≤ 𝑛 . Falls 𝑑𝑖𝑚𝕃 = 𝑛 so ist schon 𝕃 = 𝑅𝑛  𝑎(1) , … , 𝑎 (𝑚) heißt Basis von 𝕃. Die Basis ist nicht eindeutig bestimmt. Jeder vektor lässt sich auf genau eine Art linear aus 𝑎 (1) , … , 𝑎 (𝑚) kombinieren

Vorgehen ein linear unabhängiges System zu erzeugen 1. Aus Spaltenvektoren eine Matrix A bilden 2. ZSF 3. Die Anzahl der Pivotspalten bilden die Basis von 𝕃. Daher ist 𝑑𝑖𝑚𝕃 = Anzahl Pivotspalten 1 1 2 3 𝕃 = 𝑆𝑝𝑎𝑛((0) , ( 1 ) , (−1) , (5)) 1 −2 1 4

Beispiel:

Garantiert l.a, da in R3 höchstens 3 Vektoren l.u.

1 0 0 5,5 3 2 1 1 )  ZSF: ( 1. (0 1 −1 −3,5) 0 1 0 5 0 0 1 4 1 −2 1 −8,5 Basisspalten

𝑑𝑖𝑚𝕃 = 3 ; 𝕃 = 𝑅 3 Eine mögliche Basis lautet also: 2 1 3 (0) , ( 1 ) , (−1) 1 −2 1

2.5 Geometrie mit Vektoren ‖ ‖

1. Länge bzw. Norm eines Vektors:

√

2

2

‖ ‖

√〈

〉

√

2

2

2 𝑥1 1 𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥 − 𝑦 ‖ = √(𝑥1 − 𝑦1 ) + (𝑥2 − 𝑦2 2. (euklid.) Abstand zwischen 𝑥 = ( ) und 𝑦 = ( 𝑦2𝑦) 𝑥2 3. Skalarprodukt (inneres Produkt): 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑥1 ∙ 𝑦1 + ⋯ + 𝑥𝑛 ∙ 𝑦𝑛

-

x,y heißen orthogonal, wenn 〈𝑥, 𝑦〉 = 0 x,y heißen orthonormal, wenn 〈𝑥, 𝑦〉 = 0 und ‖𝑥‖ = 1 ; ‖𝑦‖ = 1

cos  =

4. Winkel zwischen Vektoren:

〈𝑥,𝑦〉

‖𝑥‖∙‖𝑦‖

Beispiel: 6 3 2 𝑥 = (6) , 𝑦 = ( 2 ) , 𝑧 = (−3) −6 3 2

1. paarweise orthogonal: 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑦, 𝑧〉 = 〈𝑥, 𝑧〉 = 0 2. Norm der Vektoren: ‖𝑥‖ = ‖𝑦‖ = ‖𝑧‖ = 7

3. paarweise orthonormal, wenn: ‖ 7 𝑥‖ = ‖ 7 𝑦‖ = ‖ 𝑧‖ = 1 7 1

1

1

Rechenregeln 1. Skalarprodukt  Positivität: 〈𝑥, 𝑥 〉 ≥ 0, sowie 〈𝑥, 𝑥 〉 = 0  𝑥 = 0  Symmetrie: 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑦, 𝑥 〉

 Linearität: 〈𝑥, 𝑦 + 𝑧〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 + 〈𝑥, 𝑧〉 und 〈𝑥,  𝑦〉 =  〈𝑥, 𝑦〉 = 〈 𝑥, 𝑦〉

2. (euklidische) Norm  Positivität: ‖𝑥‖ ≥ 0 sowie ‖𝑥‖ = 0  𝑥 = 0

 Verhalten bei Skalierung: ‖  𝑥‖ = |  | ∙ ‖𝑥 ‖

 Dreiecksungleichung: ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖

 Cauchy-Schwarz-Ungleichung: 〈𝑥, 𝑦〉 ≤ ‖𝑥‖ ∙ ‖𝑦‖ 

3. Orthogonalität

〈𝑥,𝑦〉

‖𝑥‖∙‖𝑦‖

≤1

 Wenn Vektoren paarweise orthogonal, so sind sie linear unabhängig im Rn können höchstens n Vektoren orthogonal sein

 LK aus paarweise orthonormalen Vektoren a(1)…a(n): 𝑥 = 〈𝑎 (1), 𝑥 〉𝑎(1) + ⋯ + 〈𝑎(𝑛), 𝑥 〉𝑎(𝑛)

6 3 2 −1 1 1 1 Beispiel: Stelle 𝑥 = (−4 ) als LK von 𝑎(1) =7 (6), 𝑎(2) =7 ( 2 ) , 𝑎 (3) =7 (−3) dar 2 −6 3 4 (1) (2) (3) 1 = 〈𝑥, 𝑎 〉 = −2, 2 = 〈𝑥, 𝑎 〉 = −5, 3 = 〈𝑥, 𝑎 〉 = 2 −1  (−4

)

)

6 ( −3 7

3 ( 2 7

2 ( 6 7

(

)

)

)

4. Euklidischer Abstand 𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥 − 𝑦‖ Allgemeine Abstandsmaße heißen Metriken  𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0, wenn 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 𝑥 = 𝑦  𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥)  𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧)  𝑑 (𝑥, 𝑧) ≥ |𝑑 (𝑥, 𝑦) − 𝑑(𝑦, 𝑧)|

2.6 Vektor-Projektion

- Oft ist ein gegebener Vektor x keine LK von einem UVR 𝕃 = 𝑆𝑝𝑎𝑛(𝑎(1) + ⋯ + 𝑎 (𝑚) ) gesucht ist eine LK, die möglichst nah an x liegt - 𝑧 ∗ = 1 𝑎(1) + ⋯ +𝑚 𝑎(𝑚)  𝕃 heißt Projektion von x auf 𝕃, wenn ‖𝑥 − 𝑧‖2 minimal ist 𝑥 − 𝑧 ∗ ┴ 𝑎 (𝑗) - Eindeutige Lösung, wenn 𝑎(1) … 𝑎 (𝑚) l.u. - Einfache Lösung, wenn 𝑎(1) … 𝑎 (𝑚) paarweise orthogonal (orthonormal) Beispiel 1: Mit Gerade 1 3 𝑥 = ( ), 𝑎(1) = (), 𝕃 = 𝑆𝑝𝑎𝑛(𝑎(1) ), 𝑧 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝕃 (𝑥)1=𝑎(1) 4 −2

1. quadrierten Abstand zwischen x und z ermitteln ‖𝑥 − 𝑧‖2 : 2 1 3 2 3 )2 + (−2 −  ‖𝑥 −  ∙ 𝑎 (1)‖ = ‖( ) − ∙ ( )‖ = (1 −  4 )2 = 252 + 10 + 5 4 −2 25  2 + 10 + 5 wird minimal für  = − 2. Abstand minimieren

3. z bestimmen 𝑧 = 1 𝑎 ∗

(1)

− 3 = − ∙ ( ) = ( 45) 5 4 − 1

3

4. Lösung: 𝑥 − 𝑧 ┴ 𝑎 1 3 〈( 1 ) − (− ) ∙ () , 4 −2 5 ∗

(𝑗)

1

5

(Tiefpunkt bestimmt)

5

3 () 〉 = 0 4

Beispiel 2: Mit Ebene 1 2 1 (2) = ( ) , 𝑎 𝑥 = (4), 𝑎(1) = ( ) =(1) + 2 𝑎(2) 1 𝑎 0 , 𝕃 = 𝑆𝑝𝑎𝑛(𝑎(1) , 𝑎(2) ), 𝑧 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝕃 (𝑥) −1 0 3 1 1. Normalgleichungen aufstellen 〈𝑎(1), 𝑎 (1)〉 … 〈𝑎(1), 𝑎 (𝑚)〉 〈𝑎 (1), 𝑥〉 5 2−2 ( ) ) ( | |⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 2 2 4 〈𝑎(𝑚) , 𝑎 (1)〉 … 〈𝑎(𝑚) , 𝑎 (𝑚) 〉 , 𝑥〉 〈𝑎(𝑚) 1 0 2 1 0 ( |−2 )  𝑧∗ = 1 𝑎(1) +2 𝑎(2) = −2 ∙ ( −1 ) + 4 ∙ (0) = (2) 0 1 4 0 1 4 2. ZSF und z bestimmen

3. Lösung 𝑥 − 𝑧 ∗ ┴ 𝑎(𝑗)

41 2 −1 4 2 0 0 2 (1) (n) 1 0 1) 〉 〈(  Spezialfall: wenn a ..a orthonormal, so lassen sich 1 … n direkt aus den Normalgleichungen ) − ( ) , ( ) 〉 und 〈( ) − ( ) , (1 ablesen. 3 4 0 3 4 3. Matrizen 3.1 Matrix-Vektor-Verflechtung

𝑥1 𝑦1 𝑦 ⋮ z.B. Regal Bill: herzustellende Regale 𝑥 = ( ), Bauteile dafür: 𝑦 = ( 2 ) 𝑦3 𝑥4 𝑦1 2𝑥 3𝑥 4𝑥3 5𝑥4 2 3 4 5 1 2 𝑦 𝑥2 2𝑥3 4𝑥4 ) ( 2 ) = 𝑥1 ∙ (1) + 𝑥2 ∙ (1 ) + 𝑥3 ∙ ( 2 ) + 𝑥4 ∙ ( 4 ) = ( 𝑥1 𝑦3 5𝑥1 10𝑥2 15𝑥3 20𝑥4 5 15 20 10

1. Materialverflechtung

2. Übergangsmatrix und stationäre Verteilung Von 𝑎 𝑏 Nach ( ) 𝑐 𝑑 Für ein spezielles Produkt gibt es zwei Anbieter A1 und A2. Von A2 zu A1 wechselt innerhalb eines Monats jeder dritte Kunde. Von A1 zu A2 hingegen jeder 5. Anteile: x1, x2 Übergangsmatrix:

4 5 (1 5

1

3 2) 3

(Verteilung nach 1 Monat) 4

Verteilung nach 1 Monaten: (51 5

1 3 2) ∙ 3

4

𝑥1 (𝑥 ), nach 2 Monaten: (51 2 5

2 1 3 2) 3

𝑥1 ∙ (𝑥 ) usw. 2

𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 Stationäre Verteilung: M∙ ( ) = ( ) 𝑐 𝑐 4 1 1 1 1 𝑥 + 𝑥2 = 𝑥1 − 5 𝑥1 + 3 𝑥2 = 0 4 1 5 3 𝑥1 𝑥1 3 5 (51 23) ∙ (𝑥 ) = (𝑥 )  |1 𝑥 + 2 𝑥 = 𝑥| | 1 𝑥 − 1 𝑥 = 0|𝑥1 = , 𝑥2 = 8 8 1 2 2 1 2 2 2 5 3 5 3 5 3 𝑥1 + 𝑥2 = 1 𝑥1 + 𝑥2 = 1

Rechenregeln und Besonderheiten  𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 𝑑. ℎ. 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) 𝑑. ℎ. 𝑓(  𝐴( 𝑥) = (𝐴𝑥 )  𝑥) = 𝑓(𝑥) wenn beide Bedingungen erfüllt, ist die Abbildung 𝑓: 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚 linear  Ein LGS mit der Gleichungsmatrix [A I b] lässt sich mit 𝑥 = (𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛 )𝑇 so darstellen: Ax=b  Homogenses LGS: 𝐴𝑥 = 0 . Seine Lösungsmenge 𝕃 heißt Kern von A: 𝕃 = 𝐾𝑒𝑟𝑛(𝐴) = {𝑥𝑅 𝑛 : 𝐴𝑥 = 0 } 𝐾𝑒𝑟𝑛(𝐴) ist ein UVR und lässt sich also als lineare Hülle mit geeigneten Vektoren schreiben

3.2 Basis und UVR

 Ein LGS mit der Gleichungsmatrix [A I b] lässt sich mit 𝑥 = (𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛 )𝑇 so darstellen: Ax=b

 Homogenes LGS: 𝐴𝑥 = 0. Seine Lösungsmenge 𝕃 heißt Kern von A: 𝕃 = 𝐾𝑒𝑟𝑛(𝐴) = {𝑥𝑅 𝑛 : 𝐴𝑥 = 0 } 𝐾𝑒𝑟𝑛(𝐴) ist ein UVR und lässt sich also als lineare Hülle mit geeigneten Vektoren schreiben Basisbestimmung bei UVR (Kern(A)): 1 3 1 5 0 𝐴 = (1 3 2 4 9 ) 2 6 9 12 27

1 3 0 0 15 1. A in ZSF Z überführen: 𝑍 = (0 0 1 0 5 ) (3 Pivotspalten) 0 0 0 1 −4

2. Dimension berechnen: dim(𝕃) = 5 − 3 = 2

dim(𝕃) = 𝑛 − 𝑘mit n=Spaltenanzahl, k=Anzahl Pivotspalten

3. Lösungsmenge 𝑙2 = (−3 1 0 0 0)𝑇 𝑙5 = (−15 0 −5 4 1)𝑇

Ergeben sich aus den Nicht-Pivot-Spalten. Die gegebenen Einträge werden übernommen mit

𝕃 = 𝐾𝑒𝑟𝑛(𝐴) = 𝑆𝑝𝑎𝑛( 𝑙2, 𝑙5 ) 3.3 Matrix-Matrix-Verflechtungen

1. Materialverflechtung In einem Möbelhaus stehen 2 Musterzimmer, ausgestattet mit Bill-Regalen. Zimmer 1: 1x Bill 1, 3x Bill 4, Zimmer 2: 2x Bill 2, 2x Bill 3 2 3 4 Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix: 𝐴 = (1 1 2 5 10 15 1 0 0 Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix: 𝐵 = ( 2 ) 0 2 3 0

17 14 Rohstoff-Endproduktmatrix: 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 = (13 6 ) 65 50 2. Übergangsmatrizen - Migration gegeben durch Übergangsmatrix: 𝐴 = - Nach einem Monat: 𝑦 = 𝐴𝑥 =

𝑥1 + ( 51 𝑥 5 1 4

1 𝑥 3 2 ) 2 𝑥2 3

4

( 51 5

5 4) 20

1 3 2) 3

Nach 2 Monaten: 𝐴2

3.4 Matrix-Rechenregeln -𝐴∙𝐵=𝐶

(C ist das Matrix-Produkt aus A und B) 2 1 3 2) = (5 3 ) - Addition und Subtraktion: ( )+( 7 5 4 1 32 41 8 4) - Skalarmultiplikationen 4∙( ) = (12 16 𝑇 3 4 1 - Transposition ( ) = (1 2) 2 - Distributivgesetz (𝐴 + 𝐵 )𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 - Assoziativgesetz (𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) - Regeln für Transposition (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 , (𝐴)𝑇 = (𝐴𝑇 ), (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 𝐵𝑇

Quadratische Matrizen 1. Quadratische Matrizen: Gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl n=m 2. Symmetrische Matrizen: 𝐴 = 𝐴𝑇 3. Diagonalmatrix: falls eine Diagonale nur Nullen enthält 4. Einheitsmatrix In 1 4 ) 2. ( 4 9

3 4 1. ( ) 5 9

4 0 3. ( ) 0 5

1 0 4. ( ) 0 1

Potenzen quadratischer Matrizen

- 𝐴0 = 𝐼𝑛 - 𝐴𝑘 = 𝐴 ∙ 𝐴 ∙ … ∙ 𝐴 (k Faktoren) Anwendungen: 1. Übergangsmatrizen 2. Adjazenzmatrix Beispiel: Wege in einem Straßensystem 2 3 1 4

0 1 0 1 0 1 0 0 0) 𝐴 = (1 0 1 0)  𝐴3 = (1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0

3.5 Inverse Matrizen  B mit 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐼𝑛 heißt inverse Matrix zu A (Symbol:𝐴−1)  Falls 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐼𝑛 dann auch 𝐵 ∙ 𝐴 = 𝐼𝑛 , d.h. 𝐵−1 = 𝐴  Nicht jede Matrix A ist invertierbar

Inverse bestimmen: 1. Matrix der Form [𝐴 𝐼𝑛 ] bilden 2. ZSF 3. Wenn die ZSF die Form [𝐼𝑛 B ] annimmt, so ist A invertierbar

1 1 1.Beispiel: 𝐴 = ( ) 1 2

1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 −1 1. und 2. ( )( | ) ( | | ) 0 1 −1 1 0 1 −1 1 1 2 0 1

2 −1) 3. 𝐴−1 = ( −1 1

Es gibt 2 Möglichkeiten in 3 Schritten von 2 zu 3 zu kommen (2-1-2-3 und 2-3-4-3)

2. Beispiel: LGS lösen mithilfe von Matrizen 26 21 11 32 −1 5 52 𝑥 𝑦) = ( 2 𝑦𝑥) = ( ) 𝑦𝑥) = ( ) ∙ ( )  (𝑧 −3 )∙( 𝑧 )  (𝑧 3.6 Determinanten 1 −1 −1 1 −1 −1 7 7 Eigenschaften:  Inverse Matrix: det(𝐴) ≠ 0 𝐴 ist invertierbar  Berechnung von Eigenwerten  Analysis (Funktionskrümmung) 21 11 (

32

Determinanten kleiner Matrizen: (Regel von Sarrus) det(𝑎) = 𝑎

1 2 𝑎 𝑏 𝑑𝑒𝑡 ( ) = 𝑎 ∙ 𝑑 − 𝑐 ∙ 𝑏  z.B 𝑑𝑒𝑡 ( ) = 1 ∙ 5 − 2 ∙ 2 = 1 𝑐 𝑑 2 5 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝑎∙𝑒∙𝑖+𝑏∙𝑓∙𝑔+𝑐∙𝑑∙ℎ−𝑔∙𝑒∙𝑓−ℎ∙𝑓∙𝑎−𝑗∙𝑑∙𝑏 𝑑𝑒𝑡 (𝑑 𝑒 𝑓) 𝑔 ℎ 𝑖

3 1 0 𝑑𝑒𝑡 (2 1 2) = 3 ∙ 1 ∙ 3 + 1 ∙ 2 ∙ 1 + 0 ∙ 2 ∙ 5 − 1 ∙ 1 ∙ 0 − 5 ∙ 2 ∙ 3 − 3 ∙ 2 ∙ 1 = −25 1 5 3

Determinanten großer Matrizen Regeln zur Zeilenumformung  Zeilenvertauschung: Vorzeichen der Determinante ändert sich det(𝐵) = −det(𝐴)  Mulitplikation einer Zeile mit einer Konstanten: det(𝐵) = ∙ det(𝐴)  Addition von Vielfachen einer Zeile zu anderen Zeilen: Es geschieht nichts. det(𝐵) = det(𝐴) Beispiel 3 1 0 (2 1 2) 𝐼 ↔ 𝐼𝐼𝐼 1 5 3

1

5

3

1 5 3 1 𝐼𝐼 − 2𝐼  (0 −9 −4) 𝐼𝐼 ∙ (− 9)  𝐼𝐼𝐼 − 3𝐼 0 0 −14 −9

 (2 1 2)

1 5 3 (0 1 4 9) ⁄ 𝐼𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 0 −14 −9

3

1

1 5 ( 0 1

3 1 5 3 1 0 0 4⁄ 9 9 ) 𝐼𝐼𝐼 ∙ (−25)  (0 1 4 9⁄) (….)  ( 0 1 0) 0 0 1 0 0 − 25 9⁄ 0 0 1

(…)Es folgen nur noch Additionsschritte Determinante berechnen: det(𝐴) = det(𝐴) =

= -25

(−1)1 ∙1 9

1 (−9 ∙ −15)

(−1)𝑘 ∙det (𝑍 𝑐

k = Anzahl Vertauschungsschritte c = das Produkt der Faktoren aus den Multiplikationsschritten

Determinanten quadratischer Matrizen 0 𝑓 𝑔 𝑎 0 𝑏 𝑐 𝑀=(

𝑗 𝑘 10 2𝑛 3 𝑜 4 1 0 𝐶 = (2 3 1 1 −1 Beispiel:

𝑓 𝑔 𝑎𝑒 0 0 𝑖 ℎ 𝑗 𝑘 𝑑𝑙 ) oder 𝑀 = ( 𝑚 𝑛 𝑝 0 −7 −12 1 2 3 −5 01 −1 24 )  (0 −3

ℎ 𝐵 ∗ 𝐵 0 ] = det(𝐵) ∙ det(𝐶) 𝑙 )  𝑑𝑒𝑡 [ ] = 𝑑𝑒𝑡 [ ∗ 𝐶 0𝑝 0 𝐶

𝑜 −15 4 )  1 ∙ (−41) = −41 −6 −1

1 4 3 Entwicklungsformeln für Determinanten  Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte Beispiel: 3 1 2 det (1 4 −1 ) Entwickeln nach der 1. Spalte: 2 −1 2

+3 −1 +2 1. „Schachbrettmuster“ über Matrix legen aus „+ und –„: (−1 +4 − − 1) +2 − − 1 +2 2. Determinante berechnen: 4 −1 1 2 1 2 3 ∙ 𝑑𝑒𝑡 ( ) + 2 ∙ 𝑑𝑒𝑡 ( ) − 1 ∙ 𝑑𝑒𝑡 ( ) = 3 ∙ 7 − 1 ∙ 4 + 2 ∙ (−9) = −1 −1 2 −1 2 4 −1

Die + und – spielen nur eine Rolle für die Zeile/Spalte, nach der entwickelt wird Wenn möglich, nach einer Zeile/Spalte entwickeln mit vielen Nullen!

Zusammenfassung Determinanten-Berechnung: 1. Für Matrizen 𝑛 ≤ 3: explizite Formeln nach Sarrus 2. Für Matrizen 𝑛 ≥ 3: Prüfen ob viele Nulleinträge in Zeilen/Spalten vorliegen  Falls ja: Nach einer dieser Zeilen/Spalten entwickeln  Falls nein: Zeilenumformungen um möglichst viele Nullen zu erzeugen. Dann entweder fortfahren oder Entwicklungsformeln verwenden LGS und Determinanten  

det(𝐴) ≠ 0 A ist invertierbar

Falls A invertierbar: - Entweder: 𝑥 = 𝐴−1 ∙ 𝑏 (siehe weiter oben)

- Oder: Cramer`sche Regel: 𝑥𝑗 =

𝑥1 2 1 1 2 Beispiel: (2 1 3) ∙ ( 𝑥2 ) = (5) 𝑥3 1 −1 −1 7

det(

… 𝑎1,𝑛 𝑎1,1 … 𝑏1 … ⋮ ) ⋮ … ⋮ … 𝑎𝑛,𝑛 𝑎𝑛,1 … 𝑏𝑛 det(𝐴)

det(𝐴) = 1

𝑥1 1 1 2 −1 6 2 𝑥 ) = ( ) ∙ ( ) = ( 1. Entweder: ( 2 2 ) 5 2 1 3 𝑥3 7 1 −1 −1 −3

2. Oder: Cramer`sche Regel 𝑥1 =

5 1 3 2 1 2) det( 7 −1 −1 det(𝐴)

=

6

1

=6

𝑥2 =

2

5 3

11 27 −1 2 det( det(𝐴)

)

=

2

1

=2

𝑥3 =

2 1 5

) 11 −1 1 27 det( det(𝐴)

= 1 = −3 −3

𝑥𝑥21 26 )  ( ) = (−3 𝑥3 3.7 Eigenwerte und Eigenvektoren  Ein Vektor 𝑥 ≠ 0 heißt Eigenvektor der Matrix A, wenn x und Ax linear abhängig sind: 𝐴∙𝑥 =  ∙𝑥

  ist ein Eigenwert von A  x ist dann der Eigenvektor von A zum Eigenwert  Besonderheiten - Nur sinnvoll bei quadratischen Matrizen - Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind stets linear unabhängig (sogar orthogonal. Falls A symmetrisch) - Nicht jede Matrix hat (reelle) Eigenwerte - Eine symmetrische n x n Matrix hat (ausschließlich) reelle Eigenwerte Beispiel 1: 2 1 1 𝐴 = ( ) , 𝑥 = ( ) mit 2 4 2

2 1 1 1 ( ) ∙ ( ) =  ∙ ( ) 2 2 4 2

𝐴 ∙ 𝑥 = ∙ 𝑥

4  ( ) =  ∙ (1) 2 8

Beispiel 2: 6 −2 0 𝐴=( ) , 𝑥 = (𝑦) , = −2 2 4 6 6 −2 0 ( ) ∙ ( ) = −2 ∙ ( ) 𝑦 𝑦 2 4

𝐴∙𝑥 =  ∙𝑥

−12 −12 ) = ( ) 12 + 4𝑦 = −2𝑦  𝑦 = −2  ( −2𝑦 12 + 4𝑦

Beispiel 3: 𝑎 𝑏 𝑐 1 𝐴 = (𝑑 𝑒 𝑓 ) , 𝑥 = ( 2 ) ,  = 1 −2 𝑔 ℎ 𝑖 Beispiel 4:

mit

 = 4

𝑎 𝑏 𝑐 1 0 0 1 1 (𝑑 𝑒 𝑓 ) ∙ ( 2 ) = (2 )  𝐴 = (0 1 0) −2 −2 𝑔 ℎ 𝑖 0 0 1

0 1 1 𝐴 = (5 0 1) sonst weiter nichts gegeben det(𝐴 − 𝐸) = 0 mit E=Einheitsmatrix 0 1 1 1 − 1 0 1 1 1 0 0 1  1. 𝑑𝑒𝑡 = (𝐶 − 𝐸) = ( 5 0 1) − ( 2 ) ∙ (0 1 0) = ( 5 −  1 ) 0 0 1 3 0 1 1 0 1 1−  2. Nach erster Spalte entwickeln: 1 ) − 5 ∙ 𝑑𝑒𝑡 (1 1 ) − ∙ 𝑑𝑒𝑡 (− 1 1−  1 1−  2 = −  ∙ (− ∙  − 1) − 5 ∙ (1 − − 1) = 2 − 3 +  + 5  = − 3 +  2 + 6 PQ-Formel:  1 = 0,  2 = −2,  3 = 3 Eigenwerte

3. Einen Eigenwert auswählen und ZSF damit berechnen (hier:  5

50 0 11 1 0 1 11 1 0 𝐴 − 0𝐸 = ( ) ) → 𝑍𝑆𝐹: (⁄ 1 0 0 0 −−1 0 1 1 5) Eigenvektor Basis vom Kern: ist z.B.: ( 1

1

= 0)

4. Folgen und Reihen 4.1 Folgen  Nichtabbrechend  Man spricht von einer Folge (𝑎𝑖 ) mit Folgenindex 𝑖 und i-tem Folgeglied 𝑎𝑖  Folgenarten:  Arithmetische Folge: 𝑎𝑛 = 𝑎 0 + 𝑑 ∙ 𝑛  Geometrische Folge: 𝑎𝑛 = 𝐾0 ∙ 𝑝 𝑛 explizit  Geometrische Summe: 𝑎𝑛 =

1−𝑝𝑛+1 1−𝑝

 Ar...