002 ET IT 18 Traegh 37 Physikalisches Praktikum für Elektrotechnik 2 PDF

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Physikalisches Praktikum für Elektrotechnik2...

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Universität Rostock * Institut für Physik * Praktikum für ET + IT

2018

2 Messung von Trägheitsmomenten mittels Drehschwingungen Ziel

Kennenlernen von Methoden zur experimentellen Ermittlung des Trägheitsmomentes und des Direktionsmomentes eines Systems. Überprüfung des STEINERSCHEN Satzes.

Aufgaben

1. Statische Messung das Direktionsmoments D des Drehtisches. 2. Berechnung des Trägheitsmomentes J T des Drehtisches aus seiner Schwingungsdauer T . 3. Ermittlung des Trägheitsmomentes J Z eines Zusatzkörpers, der ein vergleichbar großes und leicht errechenbares Trägheitsmoment hat. 4. Überprüfung des STEINERSCHEN Satzes durch Messung der Schwingungsdauer bei einer exzentrischen Einspannung.

Physikalische Grundlagen 

Ein Körper sei um eine starr mit ihm verbundene Schwerpunktachse S drehbar. Greift eine Kraft F  im Abstand r von der Drehachse an diesem Körper an, so kann sich der Körper drehen (wann kann   er es nicht?). Liegen r und F in einer Ebene senkrecht zur Drehachse, entsteht ein Drehmoment    M rF (1) parallel zur Drehachse mit dem Betrag      | M |  M  | r |  | F |  sin(180   )  | r |  | F | sin  . Dabei ist β   der in Abb. 1 gezeichnete Winkel.1) Steht r senkrecht auf F , gilt: M rF . (2)

Befestigt man den Körper auf einem Drehtisch (s. Abb. 2), dessen Drehachse lotrecht steht, und lenkt diesen aus, so wirkt ein rücktreibendes Moment M  D  ,

(3)

Abb. 1 Zur Definition des Drehmoments und zum STEINERSCHEN Satz

wobei D – Direktionsmoment (auch Richtmoment, Winkelrichtgröße, Einheit: [ D ] = Nm / rad). Wird der Körper nach einer Auslenkung φ sich selbst überlassen (d.h. F = 0), führt er Drehschwingungen aus. Die Differentialgleichung für ungedämpfte Drehschwingungen lautet M  J  J

d 2 D . d t2

(4)

Hierbei sind J das Trägheitsmoment, α die Winkelbeschleunigung und φ der Auslenkwinkel. Die Lösung dieser Bewegungsgleichung ist eine harmonische Drehschwingung

 (t )   0 cos t

(5)

mit der Anfangsauslenkung φ 0 und der Kreisfrequenz



D 2  . J T

(6)

Die Schwingungsdauer T hängt hierbei – im Gegensatz zum mathematischen Pendel – nicht von der Anfangsauslenkung  0 ab! 1)

Das ist nicht der Winkel zwischen den Vektoren!

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Aus der Schwingungsdauer T folgt bei bekanntem Direktionsmoment D das Trägheitsmoment J zu 2

T  J D  2 π 

t , mit T  N

 t  J D   2πN 

ist

2

,

(7)

wobei t – Zeit für N Schwingungen. In der Rotationsdynamik reicht die Masse alleine zur Beschreibung des Trägheitsverhaltens nicht aus, es muss ihre Verteilung bezüglich der Drehachse berücksichtigt werden. Zur Veranschaulichung betrachten wir die kinetische Energie eines Systems von zwei Massenpunkten mit den Massen m 1 und m 2 , die in den Abständen r 1 und r 2 mit den (Bahn-) Geschwindigkeiten v 1 und v 2 um eine gemeinsame Rotationsachse rotieren (s. Abb. rechts). Die Massen ändern dabei ihre Position zueinander nicht, bilden also ein starres System, das mit der Winkelgeschwindigkeit  = v i / r i rotiert. Die kinetischen Energien der Massen sind wie bei reinen Translationsbewegungen Ei  m i vi 2 / 2 . Da die Bahngeschwindigkeiten der einzelnen Massen in einem starren System proportional zum Abstand von der Drehachse sind, vi =  r i , sind sie zur Beschreibung der kinetischen Gesamtenergie nicht gut geeignet. Es liegt also nahe, für die gesamte kinetische Rotationsenergie E G von n Massen m i zu schreiben n

EG

1

n

 E  2 m v i

1

i

2 i



1

1 2

n

m  i

2

ri2 

1

1 2 

n

m r i

1

2 i

 2 1 2   2 J  . 

n

Als neue Größe wird das Trägheitsmoment

J

m

i

ri 2

eines Systems von n Punktmassen definiert.

1

Der Ausdruck für die kinetische Energie hat damit dieselbe Struktur wie im Falle der Translationsbewegung einer einzelnen Masse, für die Masse m erscheint das Massenträgheitsmoment J, die Translationsgeschwindigkeit v wird durch die Winkelgeschwindigkeit  ersetzt. Systeme von Punktmassen sind selten. Lässt man die m i sehr klein werden, m i  d m , so hat man davon sehr viele, n   , und erhält damit einen festen Körper. Der Grenzübergang ersetzt die Summe durch ein Integral. Damit kann das Trägheitsmoment J eines starren Körpers definiert werden: J

r

2

dm

.

(8)

(K)

Hierbei ist d m ein Massenelement, r sein senkrechter Abstand von der Drehachse, die Integration hat über den ganzen Körper K zu erfolgen. HINWEIS:

Das Trägheitsmoment eines Körpers, vergleichbar mit der Größe Masse eines Körpers, gibt es nicht. Ein Trägheitsmoment bezieht sich immer auf eine konkrete Drehachse!

Das Trägheitsmoment J in Gl. ( 7 ) ist dabei entweder das Trägheitsmoment J T des Drehtisches alleine oder bei Verwendung eines Zusatzkörpers mit dem Trägheitsmoment J Z die Summe beider Trägheitsmomente: J = J T + J Z . Für den Zusatzkörper, einen angenommenen Zylinder (Kreisscheibe) mit dem Radius R und der Masse m K (Höhe h beliebig), gilt bei Rotation um seine Längsachse durch den Massenmittelpunkt 2

J Z  J S  12 m K R .

(9)

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Verläuft eine Drehachse A nicht durch den Massenmittelpunkt S, sondern im Abstand s parallel zur Drehachse durch den Massenmittelpunkt, s. Abb. 1, so gilt der STEINERSCHE Satz J A  J S m K s2 ,

( 10 )

wobei m K – Masse des Körpers, J S – Trägheitsmoment für die betrachtete Achse durch den Schwerpunkt (Massenmittelpunkt). Damit kann das Trägheitsmoment für jede andere, zur Schwerpunktachse parallele Drehachse berechnet werden! Das kleinste Trägheitsmoment J S hat ein Körper also immer bei Rotation um eine Schwerpunktachse, seine Größe hängt aber von der Richtung der Achse zum Körper ab. 1. Statische Messung des Direktionsmoments D der Drehfeder der Versuchsanordnung

Den Aufbau der Versuchsanordnung zeigt Abb. 2: Auf einer Grundplatte ist starr eine Winkelskale befestigt, über der sich der Drehtisch DT („Schnurscheibe“) gegen eine Torsionsfeder drehen kann. Der am Drehtisch befestigte Zeiger ist verstellbar. Der Tisch kann statisch über einen Faden mit daran befestigter Masse m ausgelenkt werden. Auf dem Drehtisch können geeignete Körper mittels Rändelmutter befestigt werden. Durchführung

Zur Messung des Direktionsmomentes D wird der Stift St an dem Faden in die Bohrung auf dem Umfang des Drehtisches DT gesteckt und der Faden über die Umlenkrolle gelegt.

Abb. 2 Aufbau der Versuchsanordnung

Durch ein äußeres Drehmoment M = r G = r m g, wobei m - Masse am Faden, r - Radius der Kreisscheibe, g - Erdbeschleunigung, kann die Scheibe aus der Ruhelage ausgelenkt werden. Der Drehwinkel φ ist in Abhängigkeit vom Drehmoment (durch Wirkung verschiedener Massen im Bereich von 10 g bis 50 g in 5-g-Schritten) zu messen. Dabei ist der verfügbare Winkelbereich möglichst auszunutzen, der Ausgangspunkt der Messung muss nicht zwingend bei 0 ° liegen (warum nicht? Siehe Gl. ( 11 ))! Der Drehtisch kann dazu in geeigneter Position (eine von 8 möglichen) auf seiner Halterung befestigt werden, der Zeiger kann verdreht werden. ACHTUNG: Beachten Sie bei der Durchführung, dass sich der „Kraftarm“ des wirkenden Drehmomentes während der Messungen nicht ändert! Wodurch kann das passieren? Der Radius r des Drehtisches kann nicht direkt mit der gewünschten Genauigkeit gemessen werden, denn er hat eine Zentrumsbohrung und eine Nut für den Faden. Geben Sie also genau an, wie Sie den Radius mit dem gegebenen Stahllineal ermittelt haben (Skizze)! Machen Sie sich vorher mit dem gegebenen Stahllineal (Abb. 3) vertraut, um grobe Ablesefehler zu vermeiden!

Abb. 3 Das Stahllineal zur Vermessung des Drehtisches (Im Papierformat A4 etwa M 1:1)

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Universität Rostock * Institut für Physik * Praktikum für ET + IT Auswertung

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Aus Gl. ( 4 ) und Gl. ( 2 ) ergibt sich mit M = r G = r m g folgende Funktion

 ( m)  Das ist eine Geradengleichung

gr m  0 D

( 11 )

.

y (x) = A x + B mit y = φ, x = m, A = g r / D, und B = φ0 .

( 12 )

Mit Hilfe einer linearen Ausgleichsrechnung kann hieraus der Anstieg A und dann gemäß Gl. ( 12 ) das Direktionsmoment D berechnet werden (s. GRUNDLAGEN 3.3.5 und A 3). Die Theorie der linearen Ausgleichsrechnung setzt Fehlerfreiheit der unabhängigen Größe (hier die Masse m) voraus, das ist bei Wägestücken in sehr guter Näherung erfüllt (Reibung wird vernachlässigt). Beachten Sie, dass der Winkel φ im Gradmaß in das Auswerteprogramm eingegeben wird (das ist einfacher und vor allem genauer). Damit folgt für die Maßeinheit des Direktionsmoments [ D ] = Nm / °. Das Direktionsmoment ist jedoch bezogen auf den Winkel im Bogenmaß anzugeben (sonst kann J nicht berechnet werden), das Ergebnis muss also umgerechnet werden: Es gilt

Winkel im Bogenmaß 

die Einheit ist

  

Bogenlänge  b ,  , B ogenradius r

m  rad  1 . m

Die Umrechnung zum üblichen Winkelmaß (Altgrad, der Vollkreis mit dem Umfang U wird durch Radien in 360 gleiche Teile geteilt) erfolgt nach

   b r  gemäß    U r  2π rad 2π rad 360

Einfacher gesagt: 360  2π rad , also 1  





 180 

π rad .

π rad . 180

Vor dem Ausdruck der Ergebnisse aktivieren Sie den Differenzplot! Drucken Sie das Ergebnis aus. Diskussion

Die Messergebnisse sind sorgfältig zu diskutieren: (1) (2) (3) (4)

Inwieweit wird der erwartete Zusammenhang nach Gl. ( 11 ) bestätigt (s. Fehler des Geradenanstiegs)? Wie groß ist die maximale absolute Abweichung der Messwerte von der Ausgleichsgeraden (s. Differenzplot)? Was sind die Ursachen dieser Abweichungen? Wie kann man sie abstellen? Liegt der Startwert φ 0 im erhaltenen Messunsicherheitsintervall für den Ordinatenabschnitt?

Fehlerrechnung

Aus Gl. ( 12 ) folgt D = g r /A. Damit kann bei linearer Fehlerfortpflanzung nach den GRUNDLAGEN, 3.3.4.1 ( Gl. ( 15 )), für den relativen Fehler sofort aufgeschrieben werden uD uA ug ur    . D A g r

( 13 )

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Der Anstiegsfehler kann direkt aus dem Programm „Ausgleichsrechnungs.exe“ entnommen werden: uA / A = t * Sa / a. Die Erdbeschleunigung 2) g = 9,814263 m s-2 sei fehlerfrei, ug = 0. Für die Messunsicherheit der Radiusmessung gilt (GRUNDLAGEN, Anhang A 1) u r =  r S +  r Z = 0,05 mm + 5 . 10 - 4 r +  r Z . Der zufällige Fehler  r Z ist begründet zu schätzen! Geben Sie relativen und absoluten Fehler des Direktionsmoments für die weitere Verwendung im Versuch mit jeweils zwei zählenden Ziffern mehr an, als es die Rundung nach DIN 1333 verlangt.

2. Ermittlung des Trägheitsmomentes J T des Drehtisches Durchführung

Der Drehtisch kann durch Auslenken auf Grund des rücktreibenden Direktionsmomentes in Drehschwingungen versetzt werden. Die Anfangsauslenkung soll etwa 90 ° betragen.

Messung

Messen Sie 6-mal die Zeit t für N = 10 Schwingungen mit einer digitalen Quarz-Stoppuhr beim Nulldurchgang des Pendels! Warum ist dies prinzipiell genauer als die Messung im Umkehrpunkt?

Berechnen Sie daraus die mittlere Messzeit t und aus der Standardabweichung der Stichprobe st mit n = 6 ihre Messunsicherheit ut gemäß ut 

  st n



2,571  st  1,04961 st , 6

( 14 )

( s. GRUNDLAGEN, 3.3.1.3, Tab. 3 ). Der systematische Fehler der Stoppuhr kann hier vernachlässigt werden. Auswertung

Aus Gl. ( 7 ) rechts folgt mit dem Direktionsmoment aus Aufgabe 1 das gesuchte Trägheitsmoment des Drehtisches J T = J.

HINWEIS: Es ist sinnvoll, alle hier gefundenen Trägheitsmomente in g . m² anzugeben (die Verwendung der Basiseinheiten des SI-Systems ist nicht zwingend vorgeschrieben). Das ergibt übersichtlichere und leichter zu vergleichende Ergebnisse. Fehlerrechnung

Analog zu Aufgabe 1 folgt mit linearer Fehlerfortpflanzung für den relativen Fehler des Trägheitsmomentes J T aus Gl. ( 7 ) rechts unter Berücksichtigung aller Fehlerquellen uJ T u D u u  2 t 2 N , JT D t N

( 15 )

Der Fehler der Zeitmessung wurde bereits nach Gl. ( 14 ) berechnet. Gl. ( 15 ) zeigt, dass ein Zählfehler von N ( s. GRUNDLAGEN, S. 17 ) zu einer dramatischen Vergrößerung des Fehlers des Trägheitsmomentes von mindestens 10 % führen würde.

2)

Wert nach Dr. Andreas von Czarnowski (November 2017)

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3. Messung des Trägheitsmomentes J Z eines Zusatzkörpers Durchführung, Messung, Auswertung

Der Zusatzkörpers – eine zylindrische Kreisscheibe MaB X , X = 1, 2,…, mit dem Radius R (auf der Scheibe angegeben) und zwei Bohrungen (s. Abb. A1 im Anhang) – wird zentrisch auf dem Drehtisch befestigt. Die Schwingungsdauer wird wie unter 2. gemessen, damit folgt aus Gl. ( 7 ) das Trägheitsmoment J, wobei J = J T + J Z , also ist 2

 t  JZ  D    JT .  2π N  Fehlerrechnung

( 16 )

Zur Vereinfachung wird Gl. ( 16 ) umgeschrieben JZ 

1 D t2  JT . 4π2 N2

( 17 )

Für fehlerfreie Zählung der Schwingungen erhalten wir nach den GRUNDLAGEN, 3.3.4.1 (Gl. ( 9 )) nach Bildung der Beträge und kleiner Umformung uJ Z 

t 2

4π N 2

 t u D  2D u t   u J

T

.

( 18 )

Der Fehler der Zeitmessung ut wird wieder nach Gl. ( 14 ) berechnet, uD ist aus Aufgabe 1 bekannt. Damit kann dann auch der relative Fehler von J Z angegeben werden. Das experimentelle Ergebnis ist durch Berechnung des (theoretischen) Trägheitsmoments – es heiße jetzt J Z* – nach Gl. ( 9 ) zu überprüfen: Die Bohrungen in der Kreisscheibe werden dabei vernachlässigt. Zur Überprüfung der Berechtigung dieser Vernachlässigung s. Anhang! Die dazu notwendige Masse m K = m X wird durch einmalige Messung mit einer Präzisionswaage Kern & Sohn Modell EW 3000-2M (Höchstlast 3000 g, systematischer Fehler  mS = 0,03 g) ermittelt. Beachten Sie dabei die Einschwingzeit der Waage von mindestens 2 s. Im Anhang wird die relative Unsicherheit des theoretischen Vergleichswertes zu u J*

Z

J Z*  0,16 %

abgeschätzt.

4. Überprüfung des STEINERSCHEN Satzes

Der STEINERSCHE Satz soll mit einem Einzel-Experiment überprüft werden. Durchführung, Messung, Auswertung

Der Zusatzkörper wird im Abstand s  R / Drehtisch befestigt.

2 , R – Radius der Kreisscheibe, exzentrisch auf dem

Die Schwingungsdauer wird wie unter 2. gemessen, damit folgt aus Gl. ( 7 ) das Trägheitsmoment J, wobei J = J T + J A , also ist J A = J - J T :

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2

 t  JA  D    JT .  2 πN  Fehlerrechnung

( 19 )

Analog zu Aufgabe 3 folgt jetzt ( s. Gl. ( 17 ) und ( 18 )) uJ A 

t  t uD  2D ut   u J T . 4π N 2

( 20 )

2

Vergleichen Sie mit dem theoretischen Wert gemäß Gl. ( 10 ), er heiße jetzt J*A . Der absolute Fehler dieses Wertes kann nach dem Anhang mit uJ *  0,0016 J Z* angesetzt werden: A

Die exzentrische Bohrung wurde auf einer hochpräzisen CNC-Fräsmaschine hergestellt, der Abstand s von der Drehachse kann als fehlerfrei angenommen werden. Berechnen Sie den Quotienten J A / J Z , und diskutieren Sie ihn! Stellen Sie die Ergebnisse für die Trägheitsmomente mit ihren absoluten und relativen Messunsicherheiten nach DIN gerundet in einer Tabelle zusammen und vergleichen Sie sie.

Fragen:

1. Erläutern Sie die Analogien zwischen den Größen der Translation und der Rotation! Stellen Sie den Bezug zum Versuch 1 „…/ Mathematisches Pendel“ her. 2. Was ist das Trägheitsmoment, wie ist es definiert, und was sagt der STEINERSCHE Satz? 3. Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Rohres mit unendlich dünner Wandung für Rotation um seine Längsachse (Radius R, Masse m ). 4. Leiten Sie Gl. ( 9 ) (Trägheitsmomentes einer Scheibe / eines Zylinders) her! 5. Eine Kreisscheibe habe die Masse m, den Radius R, damit das Trägheitsmoment J für Rotation um die Schwerpunktachse senkrecht zur Scheibe. In welcher Entfernung X vom Mittelpunkt der Scheibe muß gebohrt werden, damit die Kreisscheibe bei Einspannung in X das doppelte Trägheitsmoment hat? 6. Leiten Sie die Formel für die Schwingungsdauer einer Drehschwingung her! 7. Auf S. 1 ist von einer lotrecht stehenden Drehachse des Drehtisches die Rede. Bei welchen Experimenten würden Abweichungen vom Lot stören?

Literatur:

/1/ Geschke (Ilberg): Physikalisches Praktikum /2/ Walcher: Praktikum der Physik /3/ Schaefer / Bergmann / Kliefoth: Grundaufgaben des Physikalischen Praktikums

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