04. Módulo N° 01 - Pares Ordenados PDF

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Calculo Diferencial-introducción...

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CÁLCULO DIFERENC DIFERENCIAL IAL

RELACIO RELACIONES NES Y FUNCIONES

• Tradicionalmente, la matemática era una herramienta para formular problemas de manera precisa y solucionarlos. • Ahora se está convirtiendo en parte integral de ella y se están creando nuevos métodos de resolución a problemas de tipo ingenieril. • Tanto así que algunas universidades ofertan la carrera de ingeniería de las matemáticas • En la ingeniería es frecuente el uso de la modelización la cual requiere la creación de nuevas estructuras matemáticas.

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La relación de la matemática con la ingeniería está cambiando.

• Por ejemplo, los métodos de Monte Carlo proporcionan una forma de recrear la realidad mediante una abstracción matemática. • La genómica no se podría entender sin considerar el modelo combinatorio del ADN. • La simulación por computadora de los fenómenos ha pasado a operar como un experimento de laboratorio: sus resultados son luego objeto de estudio y de inferencia matemática. • La realización de simulaciones acertadas desemboca a veces en una más profunda comprensión de fenómenos físicos y biológicos fundamentales. Esa comprensión luego se contrasta con datos reales, lo cual crea una interacción dinámica entre la matemática y las otras ciencias. • La existencia de computadoras poderosas y baratas ha permitido que los matemáticos dispongan de una amplia gama de herramientas, como Matlab, Maple, Mathematica y otras. • El acceso a esos instrumentos se está generalizando y resulta esencial en la comunidad internacional de todas las ramas de la matemática. • Se advierte en estos momentos que están emergiendo nuevas e interesantes áreas matemáticas como la biomatemática, de las que podrían derivar técnicas de modelado de aspectos complejos del mundo físico o del comportamiento social. ¿Quiero ser ingeniero? ¿Qué debo saber en el área de matemáticas? Para tener un buen desempeño en tus estudios superiores se requiere tener conocimientos acerca de los siguientes cursos: Álgebra, Trigonometría y Geometría • El álgebra es básica para la solución de cualquier problema, y la utilizas a lo largo de toda la carrera. Operaciones Algebraicas Teoría de exponentes Factorización y Racionalización Logaritmos Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolución de Inecuaciones

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Fracciones

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• La trigonometría es indispensable para los que quieran estudiar las carreras de ingeniería y necesitas los conocimientos mínimos de: Teorema de Pitágoras Funciones trigonométricas • La geometría es materia básica para los futuros ingenieros y necesitas los conocimientos mínimos de: Cálculo de perímetros

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Ángulos

Cálculo de áreas Cálculo de volúmenes Relaciones entre ángulos Trazos geométricos Cursos de pre grado: Cálculo Diferencial e Integral, Estadística, Geometría Analítica, Álgebra Lineal • La geometría analítica es materia indispensable para las carreras de Ingeniería Civil e Ingeniería Mecánica Eléctrica, el resto de las carreras la utilizan, pero en menor escala. Conocimientos mínimos de: Distancia entre dos puntos. Pendiente Ecuación de la recta, circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. • El cálculo diferencial e integral es indispensable para todas las carreras de ingeniería, junto con el álgebra es una de las materias de mayor uso. Conocimientos mínimos de: Funciones Limites Derivadas Integrales • La estadística es una materia indispensable para las disciplinas que utilizan constantemente la experimentación, como: la Ing. Química y la Ing. Ambiental. Conocimientos mínimos de: Estadística descriptiva Estadística Inferencial

• La matemática experimental se está convirtiendo en una actividad importante, especialmente en teoría de números, geometría diferencial, mecánica de fluidos y dinámica de partículas, incluyendo la teoría de reticulados (lattice gauge theory) y los sistemas dinámicos.

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Probabilidad

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para las matemáticas, de ahí que hayan escogido estudiar una carrera profesional de ingeniería y/o de ciencias exactas. La asignatura de Cálculo Diferencial pertenece al área de Matemáticas y probablemente el nombre es nuevo para ti, así que quizás creas que todo el contenido de esta asignatura también lo es. Tienes razón en parte, porque seguramente aprenderás cosas nuevas y adquirirás nuevas destrezas matemáticas, pero conforme avances en su estudio podrás darte cuenta que gran parte de los conceptos básicos te han acompañado durante toda tu vida. El Cálculo Diferencial se ocupa de estudiar los fenómenos

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La gran mayoría de ustedes, los estudiantes, por no decir todos seguramente se enorgullecerán de tener cierta facilidad

del cambio y la variación, usa las herramientas que has aprendido en tus cursos anteriores, en la EBR, para analizar con números, diferencias, cocientes, tablas y gráficas, las cantidades que cambian. Enfrentarás un reto en la comprensión y el uso de una operación nueva: el límite, que te brindará la oportunidad de reflexionar sobre los procesos infinitos. Además, en este curso vas a adquirir el lenguaje con el que están escritos los principales avances científicos y tecnológicos que tenemos hoy en día. Por supuesto que este tipo de aprendizaje es más difícil. Así como el espacio de nuestra experiencia básica tiene varias dimensiones, una longitud, una anchura, una profundidad y un tiempo, el aprendizaje que queremos lograr tiene varias dimensiones: los conocimientos, las habilidades, las actitudes y la transferencia. Necesitamos aprender a identificar y lograr objetivos en varias dimensiones, a vivir este aprendizaje multidimensional en la escuela, particularmente en nuestras clases de matemáticas. Según lo estipula tu programa, el objetivo general de la asignatura de Cálculo Diferencial dice: El curso permitirá al estudiante introducirse a: • el estudio de las funciones, sus gráficas, comportamiento, propiedades y aplicaciones; • la apropiación de los procedimientos y técnicas del cálculo diferencial y • la aplicación de estos procedimientos y técnicas a la solución de problemas muy diversos, favoreciendo el uso y la integración de los conocimientos adquiridos en aritmética, álgebra, geometría, trigonometría y geometría analítica • y, al mismo tiempo, propiciará en el estudiante: • el desarrollo de sus habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde la perspectiva del Cálculo y, a su vez, faciliten en el futuro la asimilación de aprendizajes más complejos y la resolución de problemas en el área tecnológica. El método de trabajo se basa en la problematización continua, la formulación de conjeturas y la revisión sistemática de los conocimientos adquiridos, utilizando técnicas grupales para el análisis y la discusión, así como técnicas expositivas y de entre el alumno y el objeto sea constructiva. Durante todo el desarrollo del curso, se promoverán el análisis, la solución y la discusión de problemas en clase, en un ambiente que favorezca en los alumnos la apreciación de su propio trabajo personal, el de sus compañeros y el de su profesor. Deberá tenerse presente que la resolución de problemas es lo que permite generar e integrar conocimientos, favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos importante. En este proceso el docente es el organizador de las

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indagación, apoyadas con recursos audiovisuales y tecnológicos (computadora, calculadora, etc.), procurando que la relación

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experiencias de aprendizaje del estudiante, que problematiza, proporciona información y crea códigos de instrucción, de manera que sus alumnos puedan interactuar con los problemas planteados y, mediante esta interacción, avanzar hacia nuevos pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural, simbólico y gráfico, así como al uso de tablas y diagramas. En términos generales, la enseñanza de los temas no debe seguir la exposición magistral, sino fomentar el trabajo en equipos y la exposición de las experiencias logradas por parte de sus integrantes a través de una adecuada planeación de las actividades de aprendizaje. Las matemáticas que aquí estudiaremos deben ser algo más que la manipulación de expresiones simbólicas y la

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conocimientos. Es importante que, a lo largo de las actividades, los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su

realización de operaciones desvinculadas de un contexto que les dé sentido a las preguntas que debemos responder. Se deben convertir en una herramienta de modelación en el estudio de situaciones reales, generalmente con el objeto de predecir y de controlar, cuando es éticamente aceptable, algunas de sus características, pero, primordialmente, con el objeto de contribuir a explicarnos mejor los fenómenos del mundo en que vivimos. ¿QUÉ SE PRETENDE CON LA ENSEÑANZA DEL CÁLCULO DIFERENCIAL Con esta asignatura se pretende que el estudiante sea capaz de emplear las funciones para modelar fenómenos de Química, Biología, Física y otros relacionados con su actividad profesional, así como emplear la derivada para analizar crecimientos y decrecimientos, resolver problemas de optimización y de razón instantánea de cambio. Con esta asignatura no se pretende distraer al estudiante de su campo principal de actividad y convertirlo en un competente matemático. Se pretende por el contrario que llegue a estar preparado para entender las operaciones matemáticas básicas y pueda encontrar métodos apropiados a sus problemas de investigación, así como capacitarle para comunicarse con éxito con un matemático, en caso de que necesite ayuda. PROPÓSITOS DE LA ENSEÑANZA DEL CÁLCULO DIFERENCIAL Esta asignatura servirá para tres propósitos de gran utilidad: • Contribuir al desarrollo del intelecto y de la capacidad analítica del estudiante, potenciando facultades cognitivas de

orden superior y abstracción. • Facilitar la comprensión de las leyes de la naturaleza y los conceptos fundamentales en los que se basan los métodos

para el análisis y el diseño de sistemas de ingeniería. • Formar en el estudiante las reglas de la demostración o refutación rigurosa y de la explicación válida. • Establecer un lenguaje común, básico, para comunicarse con otros profesionales y para adelantar estudios e

La naturaleza del curso plantea las matemáticas desde el punto de vista de su aplicación, lo que hace que el estudiante vea esta importante faceta, sintiendo interés y alcanzando así el dominio de tan importantes cuestiones. Esa costumbre de estudiar las matemáticas con sus problemas típicos, hace que más tarde, los estudiantes encuentren grandes dificultades en aplicarlas a las ciencias y en particular a su carrera.

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investigaciones avanzadas.

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con el cambio y el movimiento. El Cálculo Diferencial proporciona un vehículo único para expresar las leyes físicas en términos matemáticos precisos y disfrutar su empleo en campos tales como la Química, la Biología, la Física, la Economía y otras ramas de la ciencia. Su éxito con el Cálculo Diferencial dependerá obviamente de sus métodos personales de estudio.

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Con esta asignatura se está iniciando un estudio de aquella rama de las matemáticas que trata

Para obtener lo óptimo de este curso, se debe estar preparado a entenderlo, en vez de leerlo pasivamente. La brecha entre el saber y el entender será más fácilmente sorteada si se involucra activamente con el contenido del curso. Esto quiere decir que se recomienda se trabaje con los ejemplos y problemas tantas veces como sea necesario para entender, y entonces, crear y resolver problemas de diseño propio. Es posible que se encuentren conceptos o técnicas que se han olvidado o que nunca se han aprendido, en tal caso, debe hacerse una revisión, o el estudio necesario, para estar al día. En cualquier evento debe de cuestionarse todo y nunca estar satisfecho hasta que todo sea contestado a entera satisfacción. No olvides estos tres pensamientos que señalan los aspectos que debemos considerar en nuestro aprendizaje: Oigo y olvido,

Hacer... y reflexionar acerca de lo

veo y recuerdo,

que se hace.

hago y comprendo.

Seymour Papert

Un proverbio chino

No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo Así decían los griegos

La Triada: “Hacer - Reflexionar – Comunicar” Es decir, aprenderás, oyendo, viendo, haciendo... pero además reflexionando y comunicando. Así podemos sintetizar, de manera esquemática, en la tríada:

contar con una nueva actitud del estudiante, que también se responsabiliza y se compromete con su aprendizaje. Juntos podrán discutir y definir las distintas maneras de desarrollar las actividades de aprendizaje, con sus razones, sus ventajas, sus desventajas y sus riesgos.

¡Les deseo mucho éxito! UNIVERSIDAD NAC NACIONAL IONAL TORIBIO RODR RODRÍGUEZ ÍGUEZ DE MEN MENDOZA DOZA - UNTRM

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El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor, sino que debe

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PRELIMINARES

Recordemos que el orden de los elementos en un conjunto no se distingue, por ejemplo: los conjuntos

y

 , representan el mismo conjunto; o sea que para ser iguales lo único que importa

es que los conjuntos contengan los mismos elementos, sin importar el orden en que éstos se enumeren. DEFINICIÓN

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PAR ORDENADO

Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, en donde se distingue el orden que ocupa cada uno de ellos. Entonces un par ordenado está definido como:

 a ;  a, b  NOTACIÓN

Al conjunto

 a ;  a, b  denominado “par ordenado” y sus elementos llamados componentes del par

ordenado, van encerrados entre paréntesis separados por un punto y coma ( ; ) o simplemente una coma ( , ), así tenemos que para denotar el par ordenado cuyos elementos son

"a " y "b " usamos la

notación ( a, b) ó ( a ; b) y se lee “el par ordenado de componentes "a " y "b " . Esto es:

(a , b) = (a ;b) =  a ; a, b 

Como puede apreciarse un par ordenado es un conjunto cuyos elementos son a la vez conjuntos, donde

a  determina que

"a " es la primera componente o coordenada del par ordenado y

 a, b  determina

que "b " es la segunda componente o coordenada del par ordenado.

EJEMPLO

(2; 3) el par ordenado cuya 1ª componente es 2 y 2ª componente es 3. (3; 2) el par ordenado cuya 1ª componente es 3 y 2ª componente es 2.

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Elementos del par ordenado

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caso terna ordenada y se denota por (a ; b ; c ) donde "a " es la primera componente de la terna, "b " la segunda y "c " la tercera. Así tenemos:

(a ; b ; c ) =

 a  ;  a ; b  ;  a ; b ; c 

- Un par ordenado representa un punto en el plano y una terna ordenada representa un punto en el espacio.

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- El concepto de par ordenado se puede extender para el caso de tres componentes llamándose en este

- En general se puede extender el concepto para n - componentes ( n - uplas ordenadas). AXIOMA

Dos pares ordenados ( a ; b ) y (c ; d ) son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, es decir, las primeras componentes iguales entre sí y las segundas componentes iguales entre sí. Así tenemos:

a = c  ( a ; b) = ( c; d )    b = d 

Como una consecuencia del axioma anterior tenemos que: Es evidente que si a  b entonces (a; b)  (b; a ) . En efecto (a; b ) =

  a  ;  a; b  

 (b; a ) =   b ; b; a



y obviamente  a    b  .

EJEMPLO

Dado ( y − 2;2 x +1) = (10; y − x) determinar el valor de " x − y " : RESOLUCIÓN

Para que se cumpla la igualdad de pares ordenados las componentes correspondientes deben ser iguales. Igualando las dos primeras componentes tenemos: y − 2 = 10

Igualando las dos segundas componentes tenemos: 2 x + 1 = y − x Reemplazando el valor de y = 12 y reduciendo términos semejantes obtenemos: 3x + 1 = 12 De donde obtenemos: x = 11/ 3 Por lo tanto: y − x = 25 / 3

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De donde obtenemos: y = 12

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EJEMPLO

Dado ( x + 2; 5) = (3; y + 3) determinar el valor de " x + y " :

Para que se cumpla la igualdad de pares ordenados las componentes correspondientes deben ser iguales. Igualando las dos primeras componentes tenemos: x + 2 = 3 De donde obtenemos: x = 1 Igualando las dos segundas componentes tenemos: y + 3 = 5 De donde obtenemos: x = 2

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RESOLUCIÓN

Por lo tanto: x + y = 3

EJEMPLO

Dado (2 x − y; x + y + 3) = (x + y +1; 2 x + y ) determinar el valor de " x − y ": RESOLUCIÓN

Para que se cumpla la igualdad de pares ordenados las componentes correspondientes deben ser iguales. Igualando las dos primeras componentes tenemos: 2x − y = x + y + 1 Trasponiendo términos: 2 x − x − y − y = 1 Reduciendo términos semejantes: x − 2 y = 1 Igualando las dos segundas componentes tenemos: x + y + 3 = 2 x + y ……….. (*) Trasponiendo términos semejantes y aplicando la propiedad reflexiva: 2 x − x + y − y = 3 Reduciendo términos semejantes obtenemos: x = 3 Reemplazando el valor de x = 3 en (*) obtenemos: y = 1

x = 3 Por lo tanto:  y = 1 EJEMPLO

Dado la igualdad (3x − 8y , 4x + 3y ) = ( 4 y − 2x − 11, 2x + 4 y + 7 ) Determinar el valor de " x " e " y " . RESOLUCIÓN

Igualando las primeras componentes: 3x − 8 y = 4 y − 2x − 11

Reduciendo términos semejantes: 5x − 12 y = −11 Igualando las segundas componentes: 4 x + 3 y = 2 x + 4 y + 7 Trasponiendo términos: 4 x − 2 x + 3 y − 4 y = 7 Reduciendo términos semejantes: 2x − y = 7

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Trasponiendo términos: 3 x + 2 x − 8 y − 4 y = − 11

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5x − 12y = −11 ........... (1) .......... .( 2) 2 x − y = 7

Formamos el sistema: 

Sumando ambas ecuaciones, miembro a miembro obtenemos: − 19x = −95



x =5

Reemplazando x = 5 en 2 x − y = 7 ob...