05 División DE Polinomios Horner Ruffini Y Teorema DEL Resto PDF

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RTHRTHTRDHRDTHDFGH...

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División de polinomios: Horner

División de polinomios Es aquella operación algebraica que tiene como objetivo encontrar dos únicos polinomios llamados cociente entero q(x) y residuo R(x) a partir de otros dos polinomios llamado s dividendo D(x) y divisor d(x). la Identidad fundamental

Propiedades

es D(x)  d(x).q(x) + R(x) d(x)  0

1 El grado del dividendo es mayor o por lo menos igual al grado del divisor: D°  d°

para: x = 1 D(1)  d(1).q(1) + R(1) Suma de coeficientes del dividendo

2 El grado del c ociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor: q° = D° - d°

para: x = 0 D(0)  d(0).q(0) + R(0) Término independiente del dividendo

D(x)

d(x)

R(x)

q(x)

Clases de división exacta R(x)  0 inexacta R(x)  0

3 El grado máximo del resto es igual al grado del divisor disminuido en 1: R°max. = d° - 1

Para todos los métodos es necesario que el dividendo y divisor estén ordenados y completos en forma descendente, 1. Se distrib uyen los coeficientes del dividendo en forma si falta algún término completar con el cero. horizontal. 2. Se distribuyen los coeficientes del divisor en forma Por ejemplo, así en la división: vertical donde el primero de ellos lleva signo propio y los restantes se colocan con signo cambi ado. 5 2 2x  3x - 1 3. La línea que separa el cociente del resto se traza de 2x 3 - x 2  6 acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de com pletando con ceros se tiene: derecha a izquierda tantos lugares cómo lo indica el 4 3 2 5 número que representa el grado del divisor. 2x  0x  0x  3x  0x - 1 4. Se dividen los primeros coeficientes del dividendo y 2x 3 - x 2  0x  6 divisor, siendo este el primer coeficiente del cociente. 5. Se multiplica el primer coeficiente del cociente por los Método de Horner términos que cambiaron de signo y los resultados se escriben en fila a partir de la segunda columna; se reduce Para este método sólo se utilizarán coeficientes empleando los coeficientes de la segun da columna dividiendo este el siguiente esquema: resultado entre el primer coeficiente del divisor, el resultado es el segundocoeficiente del cociente. Con su 6. Se continua rá hasta completar los coeficientes del D I V I D E N D O mismo signo D cociente y residuo. I V Con signo cambiado

I S O R

COC IE N TE R E S I D U O 4 AÑO

Solución: Utilizando el esquema de Horner:

 Problemas resueltos 1. Dividir: 5

4

3

1 0 2

2

4x - 12x  13x  12x - x  1 2x 2 - 3x  1

-

d

e

b 2 2 4 0 c +a 0 0

d ... (1) b - e + c2 + a4 = 0 ... (2) Reemplazando (1) en (2): -

d + b2 = 0  2 = -

2   d   d  e + c - b  + a -  = 0    b 

El divisor: 2x2 - 3x + 1 es de grado: d° = 2, entonces separamos dos columnas pa ra el re siduo.

-

D  5 d   2  q° = 5 - 2 = 3; R°  1

-

Finalmente:

q(x) = 2x3 - 3x 2 + x + 9 R(x) = 25x - 8

eTransformando:

2

ad cd + b b2

=0

eb2 - cbd + ad2 = 0  ad2 + b2e = cdb

4. Determinar “ ” pa ra que el polinomio: x4 + y4 + z4 - (x2 y2 + y2z2 + x2z2) sea divisible por (x + y + z).

2. La siguiente división: ax5  bx 4  1 ; x  IR - {1} 2 (x - 1) es exacta. Ha llar “a” y “b”. Solución: En toda división exacta se establ ece que es posible invertir los coeficientes del dividendo y divisor y ésta seguirá siendo exacta. Ordenando y com pletando se tiene: ax 5  bx 4  0x 3  0x 2  0x  1

Solución: Calculando el residuo de la división: - Se iguala el divisor a cero: x+y+z=0 - Con la anterior, se cumple: x4 + y4 + z4 = 2(x2y2 + y2z2 + x2 z2 ) - Reemplazando en el dividendo: R = 2(x2y2 + y2z2 + x2 z2 ) - (x2 y2 + y2z2 + x2 z2 ) - Como es divisible entonces: R  0 2(x2y2 + y2z2 + x 2 z2 )  (x2 y2 + y2z2 + x2z2) Finalmente:  = 2

x 2 - 2x  1 Utilizando el esquema de Horner:

1 2

c 2 a 0

En el residuo:

4 -12 13 12 -1 1 6 -2 -9 3 3 -1 27 -9 2 -3 1 9 25 -8

1 1 0 0 0 2 2 -1 -1 4 -2 6

b 0

a b c+a 2

Solución: Utilizando el esquema de Horner: 2 3 -1

a

Problemas para la clase b

a

-3 8 -4 3 4 (b + 5) (a - 4)

En la columna del resid uo: b+5=0  b=-5 a-4=0  a=4 3. La siguiente división: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ÷ (x2 - 2 ) es exacta. Calcular el valor de: ad2 + b2e

1. Dividir: 4 3 2 10x  6x - 37x  36x - 12

5x 2 - 7x  3 e indicar el resto. a) 2x + 1 d) 3x - 1

b) 2x - 1 e) 3x - 3

c) 3x + 1

2. Dividir: 4 3 2 12x - 14x  15x - 6x  4

4x 2 - 2x  1 e indicar la suma de coeficientes del cociente. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

3. Calcular “m.n”, en la siguiente división exacta.

7. En la siguiente división exacta:

4 3 2 8x  6x - 23x  mx - n

6x

4

 11x 3  Bx 2 - 7x - 3B

2

3x 2  4x  5

4x - 3x  1 a) 15 d) 48

b) 19 e) 60

c) 11

4. Calcular “m + n + p”, si la división: 3 2 8x 5  4x  mx  nx  p

Hallar el valor de “B”. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

8. Calcular “A - B” si la división es exacta: x 7  Ax  B

2x3  x 2  3 deja como resto: a) 32 d) 15

x2  x  1

2

R(x) = 5x - 3x + 7

b) 23 e) 12

c) 21

a) 3 d) 1

b) - 2 e) - 1

3

x 5  3x 4 - 3x 3 - 4x 2  Ax  B

2

6x - 12x  3ax  a 2

3x  3 el re siduo toma la forma “mx + m”. Calcular “m + a”. b) - 21 e) 9

c) 30

x 2  2x - 2 deja por resto: 2x - 1, calcular “A + B”. a) 7 d) 23

b) 8 e) 24

3

2

ax  bx - 4x  19x  14 2

3x - x  7 a) 13 d) - 7

c) 9

10.En la división:

6. Calcular “a - b” en la siguiente división exacta. 4

c) 2

9. Si la división:

5. En la división:

a) 21 d) - 30

c) 3

b) - 13 e) 3

c) 7

4 3 2x  5x  Ax  A

x2 - x  1 el residuo es un término constante, indique dicho resto. a) -1 d) -8

b) -4 e) -3

c) -2

Comparación cuantitativa A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas : A. B. C. D. E.

La cantidad en A es mayor que en B. La cantidad en B es mayor que en A. La cantidad en A es igual a B. No se puede determinar. ¡NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN! Preg.

Información

Columna A

Columna B

q(2)

R(-1)

Al dividir: 4 3 2 6x  13x  6x - 3x  5

2x 2  3x  2

11 se obtiene: q(x) = cociente R(x) = residuo

Preg.

Información

Columna A

Columna B

4 2 4x  3x  8x - 5

Suma de coeficientes del cociente

Término independiente del residuo

AB A - B - 25

B2

m- n m

n -m n

A-C

B-D

Dividir: 12

2x 2  x - 1 La división: 13

x 5  3x4 - 3x 3 - 4x 2  Ax  B x 2  2x - 2 deja como resto “2x - 1”. Dada la división exacta: 8x4 - 2x 3  7x 2  mx  n 4x 2  x  2

14

Al dividir: 4 3 2 6x  Ax  Bx  Cx  D

15

3x 2  2x - 1 se obtiene un cociente cuyos coeficientes son números enteros consecutivos y un resto igual a “2x + 7”.

I. D(x) = d(x) q(x) + R(x) II. q(x) = x2 - 5x + 2

Suficiencia de Datos

En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe 18.Si: P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + 3x + 1 determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a se divide por: x2 - x + 1. estas alternativas: Calcule “a + b + c”. A. El da to I es suficiente y el da to II no lo es. B. El dato II es suficiente y el da to I no lo es. I. Suma de coeficientes del cociente es 22. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. II. Suma de coeficientes del resid uo es 9. D. Ca da uno de los datos por separado, es suficiente. E. Se necesitan más datos. 19.Si la siguiente división: 16.En la división: 4 2 2x  3x  (A  1)x  (B - 3) 5 4 2 6x - 2ax  5bx  cx 2x 2  2x  3 3x 2 - x  3

Hallar:

3

3

a b c 3

3

I. Los coeficientes del cociente disminuyen de 2 en 2. II. El residuo es un polinomio de grado 0.

deja como re siduo: R(x) = x + 3. Hallar “A.B” a) 9 d) 11

b) - 9 e) 21

20.En la división indicada: x 6 - 25x 2  x - 4

17. El resid uo en la siguiente división: ax 5  bx 4  cx 3  2x 2 - 5x - 3 2x 3  x 2 - x - 2 2 es: 7x + 8x - 3. Calcular “a + b + c”.

c) 0

3

x - 5x Hallar el re siduo. a) 4 - x d) x + 4

b) 4x e) x - 4

c) x

21.Si: {m; n}  ZZ y al efectuarse la división: x3 - x x 2  mx  n se obtiene como resto 6. Calcular “m + n”. a) 0 d) 5

b) 1 e) 4

c) 2

22.Cal cula r: (m + p)n, si la siguiente división: 4

3

2

mx  nx  px  17x - 5 2

2x - x  2 tiene residuo:

R(x) = 6x - 3 y un cociente cuya suma de coeficientes es 4. a) 10 d) 100

b) 70 e) - 7

c) - 70

el resto obtenido e s: 6ab + b 2. Calcular: 3a2  b 2 a2 a) 6 d) 12

b) 8 e) 14

27. Si la división: 4 3 2 Ax - 7x  Bx  15x - 9

4x 2 - 3x  2 deja como residuo: 2x - 3 Hallar “A - B”. a) 12 d) - 12

b) - 14 e) 14

1

3x 2 - x  7 se obtiene como resto “2x - 3”.

4

3

x 3  3x 2 - 4x  K se obtiene un residuo de primer grado. Calcular dicho resto. b) 14x + 3 e) 12x + 3

c) 12x + 4

4 3 2 6x 5 - x  ax - 3x  4

3x 3 - 2x 2 - x - 2 se obtiene como resto: bx + c. Indique “a + b + c”. b) - 4 e) 2

d

b

-2

c

f

p

g

h

4

-3

Determinar: a) 12 d) 17

b) 18 e) N.A.

29.Si el polinomio:

mx5 + nx4 + px3 - x - 1 calcular el valor de “ab + mn + p”. b) 3 e) 7

3

A1

K1 K2

3 2 2 2 9x  6ax  (a  3b)x  abx  9a 2 3x  ax - b

A2 4

2

4

c) 4

30.En el esquema de Horner mostrado:

c) - 2

26.En la división:

c) 14

ax7 + bx5 - 1

es divisible por:

a) 1 d) 5

25.En la división:

a) 3 d) - 1

1

9

(m +n + p) - (a + b + c)

2x  7x - 3x  5x  1

a) 13x + 4 d) 13x + 3

a

e n

c) 6

24.Al efectuar: 5

3

m 2

4 3 ax  bx  13x  18

b) 4 e) N.A.

c) 28

28.En el esquema de Horner mostrado:

23.Calcular “b - a ” si al dividir:

a) 10 d) 3

c) 10

3

A3

A4

A5

-12 6 -18 -7

-14 42 6 8

se pide encontrar el mayor coeficiente del dividendo. a) 10 d) 6

b) 8 e) N.A.

c) 4

Autoevaluación 1. Dividir: 4 3 2 x  4x  6x - 7x  2

x 2  2x  1

b) 1 + 11x e) 4x - 1

b) 25 e) 0

c) 24

4. Calcular “ab” si la división:

Indicar el resto. a) 1 - 10x d) 10 x - 2

a) - 25 d) 21

ax4  bx 3  7x 2  10x  3

c) 1 - 11x

3x 2  x  3 es exacta.

2. Calcular “a + b” si la siguiente división: 4 3 2 5x  4x - 13x  ax  (b  1)

a) 1 d) 4

b) 27 e) 2

c) 16

2

x  2x - 1 deja como residuo a: -12. a) 2 d) - 2

b) 3 e) 1

5. Si: c) - 3

3. Calcular (mn)2 si la siguiente división: 4 3 6x  5x  2mx - 3n

2x 2  x  3 es exacta.

x 5  3x 4 - 3x 3 - 4x 2  (A - 1)x  (B  1) 2

x  2x - 2 deja como resto 4x - 10, cal cular “A + B”. a) 4 d) 1

b) 3 e) 0

c) 2

División de polinomios: Ruffini - Teorema del Resto Solución: Por Ruffini: 3x - 1 = 0 1 x= 3

Método de Ruffini Se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la forma: ax + b ; a  0 Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes cumpliendo el siguiente esquema:

3 

5 -17 1 2

8 -5

7 1

3  1

6 -15   2 -5

3 8  1

Coeficientes del cociente

D I V

I D

E N

Como: q° = 4 - 1 = 3 q = x3 + 2x2 - 5x + 1 R=8

D O

ax + b = 0 x=-

b a C O C I E N T E

R E S T O

Teorema del Resto Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la forma: ax + b, y en algunos casos especiales.

 Problemas resueltos 1. Dividir:

Sea P(x) un polinomio no constante. El resto de dividir P(x) 4 3 2 3x 5 - 2x  7x - 11x  5x  1 x-2

Solución: Por Ruffini: x - 2 = 0 3 -2 7 -11 5 1 x = 2  6 8 30 38 86 3 4 15 19 43 87 resto

Como: q° = 5 - 1 = 4 q(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43 R(x) = 87 Observación: Si el divisor: ax + b; a  1, luego de dividir por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto. 2. Dividir:

b  por (ax + b) donde: a  0, viene dado por P -    a  Demostración: Sea la división: P(x) ÷ (ax + b), de residuo “R”. De la identidad fundamental, se tiene: P(x)  (ax + b)q(x) + R En esta identidad “R” se obtiene cuando: x = -

b a

   b  - b     b   b  =  a-   b  q  -  + R  P -  = 0 + R P  a      a a    a      0

Finalmente:

 -  b     R =P a  

Regla para calcular el Resto 4

3

2

3x  5x - 17x  8x  7 3x - 1

-

Se iguala el divisor a cero. Se calcula el va lor de la variable que aparece con frecuencia en el dividendo. El valor obtenido se reem plaza en el dividendo.

4 AÑO

Solución: Por Ruffini, ordenando y completando:

 Problemas resueltos 1. Hallar el resto de dividir:

x- 2+1=0 1

2x 2  5x  3 2x - 1

-

x=

1 2

1

2 - 1 (1 + 2)

(2 2 + 7)

2-1

3-2 2

2-1

10

resto

Finalmente: R(x) = 10

  2 1 1    Resto = 2   + 5   + 3  2   2 

(x - 4) 4  (x - 2) 5

2. Calcular el residuo en la división: (x  1)(x - 2)(x  4)(x - 5)(x  7)(x - 8)  1 (x  9)(x - 10) Solución: Multiplica ndo convenientemente se tiene: 2 2 2 (x - x - 2)(x - x - 20)(x - x - 56)  1 2 x - x - 90 Hacemos el cam bio: x2 - x = y

x 2 - 6x  8 Solución: Aplicando la identidad fundamental: D(x)  d(x).q(x) + R(x) Donde: R°máx. = d° - 1 Reem plazando datos: 2 (x - 4)4 + (x - 2)5 (x - 6x  8) q(x) + 2do grado

y - 90 = 0  y = 90 Resto = (90 - 2)(90 - 20)(90 - 56) + 1 Resto = (88)(70)(34) + 1 = 210 441

* 1er grado  R(x) = ax + b (x - 4)4 + (x - 2)5  (x2 - 6x + 8)q(x) + ax + b

2 - 6(4)  q(4) + 4a + b (4 - 4)4 + (4 - 2)5 = (4   8)   0

0

 32 = 4a + b ...... (1) Para: x = 2 2 5  8) - 6(2) (2 - 4)4 + (2 - 2)   q(2) + 2a + b     = (2 0

3. Calcular el resto en: 13

- 21y

10

De (1) y (2): 8

7

4

 y - y  3y  2y  1 2

y -2 Solución: Aplicando la regla: - y2 - 2 = 0  y2 = 2 Dando forma al dividendo: 2(y2 )6 y - 21(y2)5 + (y2)4 - (y2)3y + 3(y2)2 + 2y + 1 Reemplazando: y2 = 2 - Resto = 2(2)6 y - 21(2)5 + (2)4 - (2)3 y + 3(2)2 + 2y + 1 Resto = 128y - 672 + 16 - 8y + 12 + 2y + 1 Resto = 122y - 643 4. Hallar el re siduo en: x 5  (3 2 - 2)x 3  2 2  7 x - 2 1

R(x )

1er grado

Para: x = 4

(y - 2)(y - 20)(y - 56)  1 y - 90

2y

1

0

5. Hallar el residuo en la siguiente división:

1 5 Resto = + + 3  Resto = 6 2 2

-

(3 2 - 2) 0

x = 2 - 1  2 - 1 (3 - 2 2) 1

Solución: Siguiendo la regla antes mencionada: - 2x - 1 = 0 -

0

0

 16 = 2a + b ...... (2)

4a   b  32 ......(1)  2a  b  16 ......(2) Restando: 2a = 16  a = 8; b = 0 Luego: R(x) = ax + b = 8x

Problemas para la clase 1. Dividir: 4 2 4x  x - 3x  4 2x - 1 e indicar el producto de coeficientes del cociente.

a) 2 d) - 4

b) - 2 e) 6

c) 4

2. Hallar el residuo en la siguiente división: 4 3 5x  16x - 8x  2 x3

a) 1 d) 4

b) - 2 e) 10

a) - 4 d) - 24

4 3 2 3 x - 2 2 x - (2 3 - 1)x - 6 x  m

c) - 1

x- 6 se obtuvo como resto: 3m - 4. Calcular “m”.

15x 4 - 8x 3 - 9x 2  7x  1 5x - 1 b) 2 e) 5

c) 3

a) 1 d) 4

c) - 5

c) 3

nx 4  (3 - n 2 - n)x3  (5n - 3)x 2 - 8nx - 8n 2 x - n -1

si el resto es 64.

x 3 - ax 2 - 2ax - a2 x-a-3 da re siduo: 7a + 2 b) 5 e) - 6

b) 2 e) 5

11.Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división: (n  IR)

4. Calcular el valor de “a”, si la división:

a) 8 d) 6

a) 50 d) 52

b) 53 e) 60

3x 7  2x 6  5x 4  x 3  x  4 x3 - 1

4

x x2 b) - 16 e) 1024

a) 9x + 1 d) 4x + 14 c) 0

x10  1 a) 8 d) 7

c) - 3

c) 10

3 2 x (x - 3) 3  5(x  1) - 15x  14

x 2 - 3x  1

4x 40  8x 39  1 x2 b) 2 e) 5

a) 14 d) 15

c) 3

b) 8 e) 13

c) 26

Comparación cuantitativa

8. Calcular el resto de: (x  1)(x  3)(x  5)(x  7)  4 2

x  8x  11 a) - 9 d) - 12

b) 9 e) 6

14.Hallar el resto en:

7. Calcular el resto en la siguiente división:

a) 1 d) 4

c) 7x + 2

40 20 x 70  x 60  x  x  7

(2x  3)5  (x  3) 4 - 6x x2 b) - 6 e) 40

b) 7x + 9 e) 9x + 7

13.Hallar el resto en:

6. Calcular el resto de la división:

a) 1 d) 12

c) 51

12.Hallar el resto en la división:

5. Hallar el resto en la división:

a) 16 d) 1

c) - 6

10.Al dividir:

3. Hallar el residuo en:

a) 1 d) 4

b) ...