1. Capítulo No 4 - Funciones Multivariable + PDF

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CAPÍTULO No 4

FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL (2) 1. DEFINICIÓN Una función vectorial de variable vectorial es una aplicación que se define según: 𝑓: 𝑆 ⊂ 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚

Donde 𝑅 𝑛 , 𝑅 𝑚 son espacios vectoriales.

Es una regla que asigna a cada elemento del dominio de definición (𝑆 ⊂ 𝑅 𝑛 ) un único elemento del contradominio o ámbito de la función (𝑅 𝑚 )

𝑓

Vectores de 𝑆 ⊂ 𝑅 𝑛 a la entrada

Vectores 𝑅 𝑚 a la salida

Ley de asociación

2. CLASIFICACIÓN 2.1 Funciones vectoriales de variable real Se define como: 𝑓: 𝐼 ⊂ 𝑅 → 𝑅 𝑚 . El dominio es un intervalo de la recta real y sus imágenes son vectores. Este tema fue estudiado en el capítulo III (Funciones Vectoriales de Variable Real). 𝑥(𝑡) = acos(𝑡) Ecuaciones paramétricas: { 𝑦(𝑡) = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑧(𝑡) = 𝑏𝑡 Forma vectorial: 𝑓(𝑡) = acos(𝑡) 𝑖 + 𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 𝑗 + 𝑏𝑡 󰇍𝑘 Ejemplo:

La geometría asociada corresponde a una hélice circular de paso constante. 2.2 Funciones vectoriales de variable vectorial Se define como: 𝑓: 𝑆 ⊂ 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚 El conjunto de partida y el conjunto de llegada corresponden a espacios vectoriales de dimensión 𝑛 y 𝑚, respectivamente. Para superficies en el espacio:

𝜱: 𝑆 ⊂ 𝑅 2 → 𝑅 3 Material preparado por Mario Delgadillo Zurita Facultad de Ingeniería UMSA

CAPÍTULO No 4 𝑥𝑦 = = 𝑥(𝑢, 𝑦(𝑢,𝑣) 𝑣) Ecuaciones paramétricas: { 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣) Forma vectorial: 𝜱 = 𝑥 (𝑢, 𝑣)𝑖 + 𝑦(𝑢, 𝑣) 𝑗 + 𝑧(𝑢, 𝑣)󰇍𝑘 Ejemplo:

Ecuaciones paramétricas:

𝑥 = 𝑥 (𝑢, 𝑣) = 𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣) 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) = 𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣) 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣 ) = 𝑢

En algunos casos es fácil eliminar los parámetros 𝑢 y 𝑣, a fin de obtener la forma escalar de la superficie. En el ejemplo, tomamos las dos primeras ecuaciones, los elevamos al cuadrado y los sumamos, obteniendo: 𝑥 2 + 𝑦2 = (𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣))2 + (𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣))2 = 𝑢 2 Tomando la tercera ecuación paramétrica y reemplazando en la ecuación anterior: 𝑥 2 + 𝑦2 = (𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣))2 + (𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣))2 = 𝑢 2 = 𝑧 2 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑧 2 >> [x, y]=meshgrid (linspace (-2,2,50)); >> z=sqrt (x.^2+y.^2); >> mesh (x, y, z), grid on

Finalmente:

Misma que corresponde a la ecuación de un cono circular.

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CAPÍTULO No 4 Volviendo a la forma paramétrica, su dominio de definición en el plano 𝑢𝑣, podría ser (para el manto superior del cono): 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋 0≤𝑢≤𝑎

Estas formas vectoriales son objeto de estudio de materias posteriores. 2.3 Funciones Reales de variable vectorial Este tipo de funciones serán estudiadas en el presente capítulo. Se definen como: 𝑓: 𝑆 ⊂ 𝑅 𝑛 → 𝑅

Son aplicaciones diferenciales donde el conjunto de partida son espacios vectoriales y el conjunto de llegada o rango de la función corresponde a la recta real o a un intervalo de ella. Ejemplos:

Para 𝑛 = 2: 𝑓: 𝑆 ⊂ 𝑅 2 → 𝑅 ,

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 3 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 2 + 3𝑥𝑦 − 2𝑥 − 8𝑦 − 9 Para 𝑛 = 3: 𝑓: 𝑆 ⊂ 𝑅 3 → 𝑅 ,

𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑒 𝑧

𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 3 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 2 𝑧 + 3𝑥𝑦𝑧 2 − 2𝑥𝑦 − 8𝑥𝑧 − 9𝑦𝑧 + 10

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CAPÍTULO No 4 Algunas ecuaciones conocidas que se representan mediante funciones reales de variable vectorial: 𝐴 = 𝑥𝑦, área de un rectángulo

𝑉 = 3 𝑅 2 𝐻, volumen de un cono 𝜋

𝑉 = 𝑥𝑦𝑧, volumen de un paralelepípedo

Estas funciones reales de variable vectorial, amplían los principios del cálculo diferencial ordinario a las funciones de varias variables. 3. FUNCIONES MULTIVARIABLE 3.1 Definición Una función multivariable es una regla de correspondencia que asigna a cada n-upla ordenada de números reales (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 … . , 𝑥𝑛 ), que pertenece a un subconjunto del espacio vectorial de dimensión 𝑛, uno y solo un número 𝑤 del conjunto de los números reales. El conjunto de partida o n-uplas se denomina dominio de la función y al conjunto de valores 𝑤 se llama contradominio (o ámbito) de la función. ▪

En estas funciones cuando una de las variables esta despejada, se denominan formas o FUNCIONES EXPLICITAS:

𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧 es la variable despejada y se llama variable dependiente. El vector (𝑥, 𝑦) es la variable independiente, en este caso corresponde a una variable vectorial

𝑤 = 𝑥𝑦𝑧(1 − 𝑥)(2 − 𝑦)(3 − 𝑧), 𝑤 es la variable despejada y corresponde a la variable dependiente. La variable independiente es el vector: (𝑥, 𝑦, 𝑧) ▪

Cuando ninguna de las variables se encuentra despejada, la función se denomina FUNCIÓN IMPLÍCITA, estas funciones están igualadas a una constante o, a cero:

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧2 = 𝑎2 , donde 𝑎 es una constante

𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 0

NOTA: Las funciones del tipo 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ó 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎, en general describen superficies en 𝑅 3

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CAPÍTULO No 4 4. GEOMETRÍA DE LAS FUNCIONES MULTIVARIABLE 4.1 Dominios de definición Al igual que en las funciones de una variable, se entiende que el dominio de definición de una función multivariable, es el conjunto más grande donde la función tiene sentido en el dominio real. Para la determinación de los campos de existencia o dominios de definición de una función escalar multivariable, en lo principal deben considerarse los siguientes criterios: a. Se deben evitar las divisiones por cero b. Se deben evitar los números complejos. c. Se deben evitar logaritmos de argumentos negativos o cero. Ejemplos: 1. El dominio de definición de una función polinómica de dos variables es todo el plano 𝑅 2 2. El dominio de definición de una función polinómica de tres variables es todo el espacio 𝑅 3 3. El dominio de definición de 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) = log (10 − 2𝑥 − 𝑦), está formado por los puntos (𝑥, 𝑦) del plano 𝑅 2 , tales que 10 − 2𝑥 − 𝑦 > 0 (1). El símbolo de orden es estricto, no permite la igualdad; es una región del plano 𝑧 = 0. La ecuación de frontera se halla igualando la inecuación (1) a cero: 10 − 2𝑥 − 𝑦 = 0

Graficando la recta en el plano 𝑥𝑦

El plano 𝑥𝑦 se divide en dos regiones, la que se encuentra por encima de la recta y la que se encuentra por debajo. Tomamos un punto cualquiera de Material preparado por Mario Delgadillo Zurita Facultad de Ingeniería UMSA

CAPÍTULO No 4 alguna de las regiones, por ejemplo 𝑃(5,5) perteneciente a la región superior, y remplazándolo en (1), tenemos: 10 − 2𝑥 − 𝑦 > 0 → 10 − 2(5) − 5 = −5 ≯ 0 → NO CUMPLE

Entonces el dominio de definición corresponde a la región inferior, es decir:

Notar que no se incluye la ecuación de frontera. La función logaritmo, no lo permite. 4. Hallar el dominio de definición de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 + cos (√𝑥 2 − 𝑦 2 ) Se deben evitar los números complejos, entonces: 𝑥 2 − 𝑦 2 ≥ 0 → (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) ≥ 0

(2)

Se toman los puntos de frontera igualando la anterior ecuación a cero: 𝑥−𝑦=0 (𝑥 − 𝑦)( 𝑥 + 𝑦) = 0 → { 𝑥+𝑦 =0 Que corresponden a dos rectas, mismas que se muestran a continuación:

▪

Tomando un punto de cada una de las cuatro regiones en las que se divide el plano 𝑥𝑦, y reemplazándolos en (2) 𝑅1: 𝑃(1,0) → (1 − 0)(1 + 0) ≥ 0 → 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜

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CAPÍTULO No 4 ▪ ▪ ▪

𝑅2: 𝑄(0,1) → (0 − 1)(0 + 1) ≥ 0 → 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜 𝑅3: 𝑃(−1,0) → (−1 − 0)(−1 + 0) ≥ 0 → 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑅4: 𝑃(0, −1) → (0 − (−1))(0 + (−1)) ≥ 0 → 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

Por tanto, el dominio de definición será la región sombreada que se muestra:

NOTA: Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦), su dominio de definición corresponde a la intersección de los dominios de definición de las funciones sumando.

Ejercicios propuestos Hallar los dominios de definición de: 1. 𝑧 =

1

√(𝑥2 +𝑦2 −4)(9−𝑥2 −𝑦2 )

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 − |𝑦|

+√

𝑥 2 −𝑦

𝑦−2

3. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 6√𝑦 2 (9 − 𝑥 2 ) + √16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑦 4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠( ) 𝑥

5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

𝑥

𝑥+𝑦

)

6. (𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑦 − 𝑥 )

7. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( ) 𝑥 𝑦

8. ℎ(𝑥, 𝑦) = √|𝑥 2 − 1| − 𝑦

9. 𝑔(𝑥, 𝑦) = √𝑠𝑒𝑛(2𝑥 2 + 𝑦 2 ) 10. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (𝑥𝑦)

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CAPÍTULO No 4 4.2 CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

DEFINICIÓN Sea 𝑓(𝑥) ∈ 𝑆 ⊂ 𝑅 𝑚 → 𝑅 , entonces al conjunto de puntos donde 𝑓(𝑥) toma el valor de una constante 𝐾 se denomina gráficas o conjuntos de nivel, es decir: {𝑥 ∈ 𝑆⧸𝑓(𝑥) = 𝐾 } ⊂ 𝑅 𝑚

Para el caso particular de: ▪ ▪

𝑚 = 2, el conjunto se denomina curva de nivel para 𝐾 𝑚 = 3, el conjunto se denomina superficie de nivel para 𝐾

NOTA: Los conjuntos de nivel se hallan igualando la variable despejada de una función explicita a una constante 𝐾 Ejemplos 1. Hallar las curvas de nivel para 𝑧 = 16 − 𝑥 2 − 𝑦 2

Igualando la variable independiente 𝑧 a una constante, tenemos: 16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 = 0 → 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16, 16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 = 7 → 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9, 16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 = 12 → 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, 16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 = 16 → 𝑥 2 + 𝑦 2 = 0,

𝑧 = 0: ec1 𝑧 = 7: ec2 𝑧 = 12: ec3 𝑧 = 16: ec4

Las ecuaciones que resultan de las operaciones anteriores corresponden a circunferencias sobre los planos 𝑧 = 0, 𝑧 = 7, 𝑧 = 12 y 𝑧 = 16 respectivamente. Si las proyectamos ortogonalmente sobre el plano 𝑥𝑦 estas curvas se denominan curvas de nivel, gráficamente: Material preparado por Mario Delgadillo Zurita Facultad de Ingeniería UMSA

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Notar que las curvas de nivel se obtienen intersectando el paraboloide con diferentes planos (planos osculadores), generando curvas de contorno, circunferencias en nuestro ejemplo, que luego se proyectan ortogonalmente sobre el plano 𝑥𝑦

2. Hallar las superficies de nivel para 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 En este caso, la superficie no puede ser graficada en el espacio 𝑅 3 , debido a que tiene cuatro variables, es decir: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 → 𝑤 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2

La variable dependiente es 𝑤. Sin embargo, su estructura puede ser estudiada por la forma de sus conjuntos de nivel, que en este caso se denominan superficies de nivel. Procediendo de la misma forma que la anterior, tenemos: 𝑤 = 1, que corresponde a un hiperboloide de un manto 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 = 1, 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 = 0, 𝑤 = 0, que corresponde a un cono asintótico 2 2 2 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1, 𝑤 = −1, que corresponde a un hiperboloide de dos mantos

Consecuentemente, las superficies de nivel de la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 , corresponde a una familia de hiperboloides en 𝑅 3 . NOTA: Las curvas y superficies de nivel permiten representar a las superficies en general, en una dimensión menor al desarrollo real de la función Material preparado por Mario Delgadillo Zurita Facultad de Ingeniería UMSA

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Ejercicio propuesto 1. Bosquejar la gráfica de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 4 − 𝑦 3 − 𝑦 2 − 𝑥 2 4 3 1

1

Sugerencia: hallar las trazas de intersección de la superficie con los planos coordenados. 5. EJERCICIOS SUPLEMENTARIOS (Composición de funciones) Si 𝑓(𝑥 + 1, 𝑦 − 1) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 . Hallar: a. 𝑓(2,3) b. 𝑓(𝑥, 𝑦) Solución: a. 𝑥+1=2→𝑥 =1 𝑦−1 = 3 →𝑦 =4 1.

Reemplazando en la función compuesta: 𝑓(2,3) = 12 + 42 − 1 = 16 b.

𝑥 +1 =𝑢 →𝑥 = 𝑢−1 𝑦−1 =𝑣 →𝑦 = 𝑣+1

Entonces: 𝑓(𝑢, 𝑣) = (𝑢 − 1)2 + (𝑣 + 1)2 − (𝑢 − 1)

Que puede ser expresada también volviendo a las variables 𝑥, 𝑦:

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1) 2 − (𝑥 − 1)

*-*-*-*-***-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-

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CAPÍTULO No 4 6. DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 6.1 DEFINICIÓN. Se dice que un punto 𝑃 es interior a un conjunto 𝑈 ⫅ 𝑅 𝑛 , si existe una n-esfera centrado en 𝑎 y de radio 𝑟 > 0 que está contenido en 𝑈. Se dice que 𝑃 está en la frontera de un conjunto 𝑈 ⫅ 𝑅 𝑛 si cualquier círculo centrado en 𝑃 contiene puntos de 𝑈 y puntos que no están en 𝑈. Los puntos de frontera, no necesariamente son puntos de 𝑈. Un conjunto se llama abierto si todos sus puntos son interiores y se llama cerrado si contiene a los puntos de su frontera.

Ejemplos de conjuntos abierto: 1. Esfera de dimensión uno: 𝐵(𝑎, 𝑟) = ]𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟[ Corresponde a un intervalo abierto en la recta real 𝑅

2. Esfera de dimensión dos: 𝐵(𝑎, 𝑟): ‖𝑥 − 𝑎‖ < 𝑟 Es decir: (𝑥 − 𝑎1 )2 + (𝑦 − 𝑎2 )2 < 𝑟 2 , corresponde a un disco en el espacio 𝑅2

3. Esfera de dimensión tres: 𝐵(𝑎, 𝑟): ‖𝑥 − 𝑎 ‖ < 𝑟 Es decir: (𝑥 − 𝑎1 )2 + (𝑦 − 𝑎2 )2 + (𝑧 − 𝑎3 )2 < 𝑟 2 , corresponde a una bola (un sólido) en el espacio 𝑅 3 NOTA: Usualmente a un conjunto abierto se le da el nombre de vecindad si contiene a 𝑎 entonces 𝐵(𝑎, 𝑟) es una vecindad de 𝑎 para cualquier valor del radio mayor que cero

6.2 LÍMITES Y CONTINUIDAD Sea 𝑓(𝑥, 𝑦): 𝑈 ∈ 𝑅 2 → 𝑅 una función escalar y 𝑥0, = (𝑥0, 𝑦0 ) ∈ 𝑅 2 un punto interior o de frontera de 𝑈. Se dice que un número real 𝐿 es el límite de 𝑓(𝑥, 𝑦) cuando 𝑥 = (𝑥, 𝑦) tiende a 𝑥0, = (𝑥0,𝑦0 ), sii ⩝ 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0, tal que: 0 < |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀, siempre que 0 < ‖𝑥 − 𝑥0 ‖ < 𝛿

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Entonces, se puede escribir:

lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿

𝑥→𝑥0

Esto significa que podemos obtener valores de 𝑓(𝑥, 𝑦) tan cercanos a 𝐿 como queramos en todos los puntos que están suficientemente próximos a (𝑥0,𝑦0 ) pero distintos de él. Las propiedades de los límites de funciones de una variable que conoces son aplicables al caso de más variables, por lo que no los repetiremos. Recordando las indeterminaciones:

𝟎 , 𝟎

∞ , ∞

∞ − ∞,

𝟎∞ ,

∞𝟎 ,

𝟏∞ ,

𝟎∙∞

NOTA: Para funciones de una variable 𝑓(𝑥), la variable independiente 𝑥 puede acercarse a 𝑥0 a través de aproximaciones laterales; para funciones multivariable, 𝑥 puede acercarse a 𝑥0 a través de infinitas aproximaciones. Para que el límite exista, se requiere que 𝑓(𝑥) tienda al mismo valor de 𝐿 en todos los casos (Teorema de la Unicidad del Límite). Si esto no es posible, entonces se dice que el límite no existe.

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6.2.1 CONTINUIDAD Sea 𝑓(𝑥) una función definida como 𝑓(𝑥, 𝑦): 𝑈 ∈ 𝑅 2 → 𝑅 y 𝑥0 un punto que pertenece a 𝑈, entonces 𝑓(𝑥) es continua cuando y solo cuando: ▪ ▪

lim 𝑓(𝑥) Existe

𝑥→𝑥0

lim 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑥0 )

𝑥→𝑥0

Esta definición implica tres condiciones: C1. El límite debe existir en 𝑥0 C2. La función debe estar definida en 𝑥0 C3. El Límite y la función evaluados en 𝑥0 deben ser iguales Esta definición se amplía funciones reales de variable vectorial de mayor dimensión. Ejemplos de aplicación 1. Calcular: lim

𝑥+𝑦+𝑧 𝑥→0 𝑥+𝑦−𝑧 𝑦→0 𝑧→0

La estrategia que utilizaremos será aproximarnos al punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (0,0,0) (origen de coordenadas) utilizando diferentes trayectorias: a. Usaremos la recta 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 (notar que pasa para el origen de coordenadas): lim 𝑥→0

𝑦→0 𝑧→0

3𝑥 𝑥+𝑥 +𝑥 𝑥+𝑦+𝑧 =3 = lim = lim 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 𝑥→0 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 𝑥→0 𝑥

b. Nos aproximaremos a (0,0,0) través del eje 𝑥 : 𝑥 = 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 lim 𝑥→0 𝑦→0 𝑧→0

𝑥 𝑥+𝑦+𝑧 = lim = 1 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 𝑥→0 𝑥

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CAPÍTULO No 4 Como ambos resultados son diferentes, entonces el límite no existe. No se cumple el teorema de la unidad del límite. OBSERVACIÓN: Pudimos utilizar una recta más general que pase por el origen de coordenadas y 󰇍 = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ): con cualquier vector direccional 𝑢 𝑥 = 𝑡𝑢1 𝑦 𝑧 𝑥 = 𝑡 → {𝑦 = 𝑡𝑢2 = = 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑧 = 𝑡𝑢 3

𝑥→0 Si 𝑡 → 0, entonces {𝑦 → 0: 𝑧→0 lim

𝑥→0 𝑦→0 𝑧→0

𝑡𝑢1 + 𝑡𝑢2 + 𝑡𝑢3 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 𝑥 +𝑦+𝑧 = = lim 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 𝑡→0 𝑡𝑢1 + 𝑡𝑢2 − 𝑡𝑢3 𝑢1 + 𝑢2 − 𝑢3

Prestar atención que el resultado depende del vector direccional. Obtendremos un resultado diferente para cada caso. Consecuentemente el límite NO existe. 2. Demostrar que el límite lim

𝑥3 𝑦

𝑥→0 𝑥 6 +𝑦2 𝑦→0

no existe

Usaremos una estrategia similar al anterior caso: a. Nos aproximaremos a través de la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 (son infinitas rectas, una para cada pendiente 𝑚 diferente) Si 𝑥 → 0, entonces en la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 , 𝑦 → 0

𝑚𝑥 2 𝑚𝑥 4 𝑥 3 (𝑚𝑥) = = lim = lim 𝑥→0 𝑥 4 + 𝑚2 𝑥→0 𝑥 2 (𝑥 4 + 𝑚2 ) 𝑥→0 𝑥 6 + (𝑚𝑥)2 𝑚 1 = lim 𝑥 2 lim 4 =0 ∙ = 0 2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 + 𝑚 𝑚 lim

b. Nos aproximaremos a través de una parábola 𝑦 = 𝑘𝑥 2 (son infinitas parábolas, una para cada valor de 𝑘 diferente) 𝑘𝑥 𝑘𝑥 5 𝑥 3 (𝑘𝑥 2 ) = = lim 2 = lim lim 6 4 2 2 2 2 𝑥→0 𝑥 + 𝑘 2 𝑥→0 𝑥 (𝑥 + 𝑘 ) 𝑥→0 𝑥 + (𝑘𝑥 ) 1 𝑘 =0 ∙ = 0 = lim𝑥 lim 2 2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 + 𝑘 𝑘

c. Nos aproximamos ahora a través de una parábola cúbica 𝑦 = 𝑐𝑥 3 (son infinitas parábolas, una para cada valor de 𝑐 diferente) Material preparado por Mario Delgadillo Zurita Facultad de Ingeniería UMSA

CAPÍTULO No 4 lim 𝑥 3 (𝑐𝑥 3 ) = lim 𝑥 6 + (𝑐𝑥 3 )2

𝑐𝑥 6 1 +𝑐 𝑐 2 = 𝑥→0 𝑥 6 (1 + 𝑐2 ) 𝑥→0 El resultado depende de 𝑐, consecuentemente el límite no existe.

3. Evaluar lim

𝑥𝑦

𝑥→0 √𝑥 2 +𝑦2 𝑦→0

Para este caso usaremos una estrategia diferente, haremos una aproximación única que cubra todas las curvas en 𝑅 2 que pasen por el origen de coordenadas. Utilizaremos un cambio de variable trigonométrico: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

Como (𝑥, 𝑦) → (0,0) entonces para que en el par de ecuaciones anteriores que dependen del radio y del ángulo tiendan a cero simultáneamente, es suficiente que el radio tienda a cero, es decir: 𝑥→0 , por tanto: Si 𝑟 → 0 entonces { 𝑦→0 lim

𝑟 2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑟→0 √𝑟 2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃

+ 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃)

= 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 lim

𝑟→0

𝑟2

√𝑟 2

= 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 lim 𝑟 = 0 𝑟→0

Notar que el resultado no depende del ángulo 𝜃. Con este procedimiento, que se usa cuando es posible, no es necesario hacer más aproximaciones; por tanto, el límite vale cero. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥3 +3𝑦3 )

4. Analizar la continuidad de: 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 0

𝑥 3 +𝑦3

⩝ (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

(𝑥, 𝑦) = (0,0)

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CAPÍTULO No 4 Calculando el límite: lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(3𝑥3 +3𝑦 3 ) ∙ 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(3𝑥3 +3𝑦 3 ) ∙ 3 = lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(3𝑥3 +3𝑦 3 ) = lim 3𝑥3 +3𝑦3 3𝑥3 +3𝑦3 𝑥 3 +𝑦3 lim

𝑥→0 3 𝑦→0

= (1)(3) = 3

𝑦→0

𝑦→0

𝑦→0

Notar que, para resolver el primer límite, utilizamos un límite fundamental 𝑠𝑒𝑛𝑥 conocido: lim 𝑥 = 1 𝑥→0

Por tanto, como lim 𝑓(𝑥 ) ≠ 𝑓(𝑥0 ), concluimos que la función no es continua en 𝑥→𝑥0

(0,0). Observar que la función está definida como 𝑓(𝑥0 ) = 0, y nosotros obtuvimos 3 NOTA: Los límites de funciones multivariable, también pueden ser calculados utilizando límites conocidos y/o levantando la indeterminación utilizando procedimientos algebraicos, cuando es posible. Ejercicios propuestos 1. lim

𝑥4 𝑦

𝑥→0 𝑥 4 +𝑦4 𝑦→0 𝑥𝑦𝑧

2. lim

𝑥→0 𝑥 3 +𝑦3 +𝑧 3 𝑦→0 𝑧→0 𝑥𝑦𝑧

3. lim 4.

𝑥→0 𝑥 2 +𝑦2 +𝑧 2 𝑦→0 𝑧→0 𝑦−1 𝑥 2 −1 lim [ 𝑥−1 + 𝑦2 −1] 𝑥→1 𝑦→1 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥)arctan (3𝑦)

5. lim 𝑥→0 𝑦→0

6. lim 𝑥→1 𝑦→0 𝑧→1

𝑥𝑦

𝑥𝑦(𝑥+𝑦)−𝑦𝑧(𝑦+𝑧)+𝑥𝑧(𝑥−𝑧) 𝑥𝑦−𝑦𝑧+𝑥𝑧−𝑧 2

Material p...