4 - Derivada de Funciones Inversas PDF

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4 - Derivada de Funciones Inversas...

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LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN Si ( ) es una función biyectiva considerada como el conjunto de pares 1 ordenados ( ; ) , entonces existe una función , llamada inversa de ( ) , que es el conjunto de pares ordenados ( ; ) definida por: 1

( ) si y solo si

( )

Ejemplo: 1 2 3 3 El lector puede observar que en la primera función, es la variable independiente e es la variable dependiente, mientras que en su inversa es la variable independiente y es la variable dependiente. También se puede notar que si se realiza una tabla de valores para ambas funciones, la primera contendrá los pares ; mientras que la segunda estará compuesta por los pares ; .

Sea

3

2 , su inversa es

DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS ( ) una función continua en el intervalo Sea ; . Si ( ) es que pertenece al intervalo diferenciable en ; y `( ) 0 para todo entonces se puede demostrar que:

1 ,

; ,

[ 1] qu e es l a fó rm u l a q u e

no s p e r m i t e d e r i va r u na f u n ció n a t r a vé s d e su i nve r sa . Pa r a d e r i va r u na fu nci ó n

( ) a p a r t i r de su f u nci ó n i nve r sa , se

p u e d e n se g u i r l o s si gu i e nt e s p a so s: 1 ) O b t e ne m o s l a f u nci ó n i nve r sa d e forma

( ) , qu e e scr i b i r e m o s d e l a

( ).

2 ) Ca l cu l a m o s l a d e r i va d a

=

`( ) .

3 ) Re e m p l a za m o s e n [1 ] l a d e r i va d a o b t e ni d a e n e l p a so 2 ) . 4 ) Re a l i za m o s l a s o p e ra cio ne s qu e se p r e sent en y p o ne m o s

en

f u nci ó n d e

.

Eje m p l o s 1 º .- D e r i ve l a s si g u i e nt e s f u nci o ne s, u sa nd o l a d e ri va d a d e l a f u nci ó n i nve rsa : a)

b)

c)

So l u ci ó n: a) 1 ) d e sp e ja nd o

r esu lt a :

2 ) d e r i va nd o r e sp e ct o d e

se o b t i e ne :

cos 1 cos

3 ) r e e m p l a za nd o e n l a f ó r m u la [1 ] se o b t ie ne :

4 ) Co m o sa b e m o s p o r t r i g o no m e t rí a cos

1

[3]

2

a d e m á s se g ú n l a r e l a ci ó n o b t e ni d a e n e l pa so 1 ) r e e m p l a za nd o [4 ] e n [3 ] re su l t a :

cos

1

[4 ] [5 ]

2

1

su st i t u ye nd o [5 ] e n [2 ] se o b t ie ne : 1

2

b) 1 ) d e sp e ja nd o

se o b t i e ne :

2 ) d e r i va nd o r e sp e ct o d e

2

r e su l t a :

2 1 2

3 ) r e e m p l a za nd o e n l a f ó r m u la [1 ] se o b t ie ne :

4) co m o

reemplazando se obtiene:

1 2

[2 ]

c) 1 ) d e sp e ja nd o

se o b t i e ne

2 ) d e r i va nd o r e sp e ct o d e

r e su l t a :

1

3 ) r e e m p l a za nd o e n l a f ó r m u la se o b t i e ne :

4 ) co m o

2

1 1

2

r e e m p l a za n d o e n e l p a so a nt e r i o r se o bt ie ne : 1 1

2

Este trabajo fue redactado y tipiado por Lic. Luís Alfredo Salas para ayudar el desarrollo de la Guía de Trabajos Prácticos correspondiente a “Derivadas”...