Derivada DE Funciones Compuestas - II Unidad - Clase numero 5 PDF

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Derivada de funciones compuestas - II Unidad - Semana 6 - Clase 5...

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Rosario Diómedes Delgado Vásquez

LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

Marilyn Delgado Bernuí

Objetivos

SESIÓN 6: DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS

1. 2.

Demostrar los teoremas de la función compuesta. Aplicar los teoremas de la función compuesta en el cálculo de la derivada

En las primeras secciones se aprendió a calcular derivadas de funciones relativamente sencillas. En adelante desarrollaremos la técnica que nos ayudará a derivar funciones más complejas. Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son derivables, ¿ (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) seguirá siendo interrogante será despejada en esta sección.

derivable?

Esta

Si tratáramos de encontrar la derivada de 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 3𝑥 + 2)35, con los resultados que tenemos hasta el momento, seguro que primero tendríamos que desarrollar el trinomio y después derivar el polinomio resultante. Lo que nos conduciría a un procedimiento largo y aburrido. Felizmente existe una técnica que permitirá encontrar su derivada sin necesidad de pasar por ese penoso trámite. Me estoy refiriendo al uso de la regla de la cadena, la cual siempre es requerida cuando se trata de derivar cualquier función.

Lema Fundamental de la derivad Si 𝐹 tiene derivada en 𝑢, entonces

𝐹(𝑢 + ℎ) − 𝐹(𝑢) = 𝐹 ′ (𝑢) + (𝑢𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜) ℎ

Demostración De la definición de la derivada tenemos que 𝐹(𝑢 + ℎ) − 𝐹(𝑢) ℎ→0 ℎ

𝐹 ′ (𝑢) = lim Si definimos, para ℎ ≠ 0, 𝐺(ℎ) =

𝐹(𝑢 + ℎ) − 𝐹(𝑢) − 𝐹 ′ (𝑢) ℎ

Entonces 𝐺(ℎ) es el término que tiende a cero cuando ℎ tiende a cero.

Corolario 1 1) Si definimos 𝐺(0) = 0, entonces 𝐺(ℎ) es continua en ℎ = 0.

2) Si 𝐹 y 𝐺 se define como en el lema

y el corolario 1, entonces

𝐹(𝑢 + ℎ) − 𝐹(𝑢) = [𝐹 ′ (𝑢) + 𝐺(ℎ)]ℎ

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2.4.1 Regla de la cadena Teorema Sea 𝑔: 𝐼 ℝ  ℝ derivable en 𝑥 ∈ 𝐼, y sea

𝑓: 𝐽 ℝ  ℝ derivable en 𝑦 = 𝑔(𝑥).

Entonces la función compuesta 𝑓𝑜𝑔: 𝐼 ℝ ℝ, derivable en 𝑥 ∈ 𝐼 xI,

y

(𝑓𝑜𝑔)′ = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥 )). 𝑔′ (𝑥) Esta fórmula es conocida como Regla de la Cadena para la derivación. Esquemáticamente podemos ver esta situación de la siguiente manera: b

a

La derivada de f en x es g(x) es f´(g(x))

La derivada de g en x es g´(x)

I

g

x

f

g(x)

g(f(x))

J

fog

la derivada de la composición 𝑓𝑜𝑔 en 𝑥 es el producto de (a) y (b).

Demostración(Teorema 1) 𝐿(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)]

𝐿(𝑥 + ℎ) = 𝑓[𝑔(𝑥 + ℎ)] = 𝑓[𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑔 + ∆𝑔) 𝐿(𝑥 + ℎ) − 𝐿(𝑥) = 𝑓(𝑔 + ∆𝑔) − 𝑓(𝑔(𝑥))

Aplicando el corolario 2, 𝐿(𝑥 + ℎ) − 𝐿(𝑥) = 𝑓(𝑔 + ∆𝑔) − 𝑓 (𝑔(𝑥)) = [𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) + 𝐺(∆𝑔)]∆𝑔 𝐿′ (𝑥) = lim ℎ→0



𝐿(𝑥 + ℎ) − 𝐿(𝑥) ℎ

= ℎ→0 lim

[𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) + 𝐺(∆𝑔)]∆𝑔 = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)). 𝑔′ (𝑥) ℎ

Para recordar y utilizar la regla de cadena puede proceder de la siguiente manera: La derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior evaluada en la función interna por la derivada de la función interna.

Ejemplo 1 Si 𝐹(𝑥 ) = 𝑓 (3𝑓(4𝑓(𝑥 ))), donde 𝑓(0) = 0, 𝑓´(0) = 2, hallar 𝐹´(0). Solución 𝐹´(0) = 𝑓´(3𝑓(4𝑓(0))). 3. 𝑓´(4(𝑓(0)). 4. 𝑓´(0) = 2(3)(2). 4(2) = 96 138

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Teorema 1. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = [𝑢(𝑥)]𝑛 ⇒ 𝑓 ′(𝑥) = 𝑛𝑢𝑛−1𝑢′ (𝑥)

2. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛[𝑢(𝑥)] ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠[𝑢(𝑥)]𝑢′(𝑥)

3. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠[𝑢(𝑥)] ⇒ 𝑓 ′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛[𝑢(𝑥)]𝑢′ (𝑥)

4. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑢(𝑥) ⇒ 𝑓 ′(𝑥) = 𝑎𝑢(𝑥) . 𝑙𝑛𝑎. 𝑢′ (𝑥) 1

5. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛[𝑢(𝑥)] ⇒ 𝑓 ′(𝑥) =𝑢(𝑥) 𝑢′ (𝑥)

Ejemplo 2 Hallar

𝑓 ′ (𝑥) de 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 𝑥 + 1)100

Solución 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑥 + 1, entonces

Haciendo

𝑓 ′ (𝑥) = 100(𝑥 2 + 𝑥 + 1)99 (𝑥 2 + 𝑥 + 1)′ 𝑓 ′ (𝑥) = 100(𝑥 2 + 𝑥 + 1)99 (2𝑥 + 1)

Ejemplo 3 Hallar

𝑓 ′ (𝑥) de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)

Solución 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥

Haciendo

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥). (𝑙𝑛𝑥 )′ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥).

Ejemplo 4 Hallar

𝑓 ′ (𝑥) de 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)

1 𝑥

Solución Haciendo

𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑓 ′ (𝑥) =

−𝑠𝑒𝑛𝑥 1 (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = = −𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

3 Ejemplo 5 Hallar la derivada de 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − √𝑥 + 5

Solución Haciendo

𝑢 = 𝑥 2 − √𝑥 + 5 𝑓 ′ (𝑥) =

𝑣 = 𝑥 + 5,

y

3 ( √𝑥 2 3

1

− √𝑥 + 5 )

139

2

(2𝑥 −

1 ) 2√𝑥 + 5

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Ejemplo 6 Hallar la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)) Solución Aplicando la regla de la cadena tres veces: 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥 )). (𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥))′

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥 )). 𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑜𝑠𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥)′

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)). 𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑜𝑠𝑥)(−𝑠𝑒𝑛𝑥)

𝑓 ′ (𝑥) = −𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥 )). 𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑜𝑠𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥)

Ejemplo 7 Hallar la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛[𝑙𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥]. Solución Aplicando la regla de la cadena: 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) =

1 [𝑙𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥]′ 𝑙𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 1 [ − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛𝑥] 𝑙𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥

Ejemplo 8. Hallar la derivada de 𝑓(𝑥 ) = |𝑥 |, 𝑥 ≠ 0. Solución Como |𝒙| = √𝒙𝟐 y haciendo

𝒖 = 𝒙𝟐, entonces 𝒖′ (𝒙) = 𝟐𝒙.

Aplicando Corolario 2 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) =

1

2√𝑢

1

2√𝑥 2

. 𝑢′ (𝑥)

. (2𝑥 ) =

𝑥 |𝑥|

2.4.2 Teorema de la función inversa Teorema (Teorema de la función inversa)(T.F.I) Sean 𝐼, 𝐽 intervalos abiertos y 𝑓: 𝐼ℝ ℝ función inyectiva y derivable en 𝑥𝑜 ∈ 𝐼. Si 𝑓 ′ (𝑥𝑜 ) ≠ 0, entonces

𝑓(𝑥𝑜 ) es

𝑓 −1 : 𝐽ℝ ℝ es derivable y su derivada en 𝑦0 = (𝑓 −1 )′ (𝑦0 ) =

1

𝑓 ′ (𝑥0 )

Ejemplo 9. Verificar el teorema de la función inversa en 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 1, 𝑥0 = 2.

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Solución Primeramente 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2, de donde 𝑓 ′ (2) = 12. Como 𝑓(𝑥) es inyectiva entonces tiene inversa. Aplicando el Teorema 2: (𝑓 −1 )′ (7) = En general (𝑓 −1 )′ (𝑦) =

1

𝑓 ′ (2)

=

1 12

1 1 1 = = 𝑓 ′ (𝑥) 3𝑥 2 3 3√(𝑦 − 1)2

Ejemplo 10. Hallar 𝑓 ′ (𝑥) de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥; 𝑥 ∈ 〈−1, 1〉. Solución

Como 𝑓(𝑥) es inyectiva en , entonces tiene inversa. Aplicando el Teorema 2: 1 (𝑓 −1 )′ (𝑦) = ′ 𝑓 (𝑥) y haciendo: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 se obtiene que: 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑥 1

x

y

Entonces (𝑓 −1 )′ (𝑦) =

1 1 1 ⟺ 𝑐𝑜𝑠𝑦 = ′ ⟺ (𝑠𝑒𝑛𝑦)′ = ′ 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥)

Según el triángulo rectángulo,

(∗)

𝑐𝑜𝑠𝑦 = √1 − 𝑥 2

y reemplazándolo en la ecuación (*) obtenemos que 𝑓 ′ (𝑥) =

1 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑦 √1 − 𝑥 2

Ejemplo 11. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥, hallar 𝑓 ′ (𝑥). Solución Si

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥, entonces

√1 − 𝑥 2

𝑐𝑜𝑠(𝑓(𝑥)) = 𝑥

f(x) x

Derivando implícitamente, obtenemos −𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑥)). 𝑓 ′ (𝑥) = 1 𝑓 ′ (𝑥) =

−1 𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑥))

𝑓 ′ (𝑥) =

−1

√1 − 𝑥 2

141

1

𝑠𝑒𝑛𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥 2

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Ejemplo 12. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥, hallar 𝑓 ′ (𝑥). Solución Si

x

𝑡𝑎𝑛(𝑓(𝑥)) = 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥, entonces

Marilyn Delgado Bernuí

√1 + 𝑥 2 f(x) 1

Derivando implícitamente, obtenemos 𝑠𝑒𝑐 (𝑓(𝑥)). 𝑓 2

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) =

′ (𝑥)

𝑡𝑎𝑛𝑓(𝑥) =

=1

1 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑓(𝑥)) 1

√1 + 𝑥 2

=

2

Ejemplo 13. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥, hallar 𝑓 ′ (𝑥).

1 1 + 𝑥2

Solución Si

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥, entonces

1

𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑓(𝑥)) = 𝑥

√1 + 𝑥 2 f(x) x

Derivando implícitamente, obtenemos

𝑐𝑡𝑎𝑛𝑓(𝑥) =

−𝑐𝑠𝑐 2 (𝑓(𝑥)). 𝑓 ′ (𝑥) = 1 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) =

1

−√1 + 𝑥 2

2

=−

Solución

1 1 + 𝑥2

x

√𝑥 2 − 1

𝑠𝑒𝑐(𝑓(𝑥)) = 𝑥

f(x) 1

Derivando implícitamente, obtenemos 𝑠𝑒𝑐(𝑓(𝑥)). 𝑡𝑎𝑛(𝑓(𝑥)). 𝑓 ′ (𝑥) = 1 𝑓 ′ (𝑥) =

𝑥 1

1

−𝑐𝑠𝑐 2 (𝑓(𝑥))

Ejemplo 14. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥 , hallar 𝑓 ′ (𝑥). Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥, entonces

𝑥

1

𝑠𝑒𝑐𝑓(𝑥) =

𝑥 1

1

𝑠𝑒𝑐(𝑓(𝑥)). 𝑡𝑎𝑛(𝑓(𝑥)). 𝑓 ′ (𝑥) =

Ejemplo 15. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐𝑥 , hallar 𝑓 ′ (𝑥).

1

𝑥√𝑥 2 − 1

Solución En forma similar a lo realizado con las funciones anteriores, resulta que 1 𝑓 ′ (𝑥) = − 2 𝑥√𝑥 − 1 142

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Teorema

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(derivada de funciones trigonométricas inversas)

1. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛[𝑢(𝑥)]

⇒ 𝑓 ′ (𝑥) =

2. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠[𝑢(𝑥)]

⇒ 𝑓 ′ (𝑥) =

3. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛[𝑢(𝑥)]

⇒ 𝑓 ′ (𝑥) =

4. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑎𝑛[𝑢(𝑥)]

1

√1 − 𝑢2 −1

√1 − 𝑢2

⇒ 𝑓′ (𝑥) =

6. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐[𝑢(𝑥)]

⇒ 𝑓 ′ (𝑥) =

. 𝑢′ (𝑥)

1 . 𝑢′ (𝑥) 1 + 𝑢2

⇒ 𝑓 ′ (𝑥) =

5. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐[𝑢(𝑥)]

. 𝑢′ (𝑥)

−1 . 𝑢′ (𝑥) 1 + 𝑢2 1

𝑢√𝑢2 − 1 −1

𝑢√𝑢2 − 1

. 𝑢′ (𝑥)

. 𝑢 ′ (𝑥)

Ejemplo 16. Hallar 𝑓 ′ (𝑥) de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥 2 − 𝑥 + 4) Solución Haciendo

𝒖 = 𝒙𝟐 − 𝒙, entonces 𝒖′ = 𝟐𝒙 − 𝟏

Aplicando teorema 4 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) =

1

√1 − 𝑢2 1

√1 − 𝑢2

. 𝑢′ (𝑥)

. (2𝑥 − 1)

Ejemplo 17. Hallar 𝑓 ′ (𝑥) de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥) Solución Haciendo 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏𝒙, entonces 𝒖′ (𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒙. teorema 4 1 . 𝑢′ (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 1 + 𝑢2 𝑓 ′ (𝑥) =

1 . (𝑐𝑜𝑠𝑥) 1 + (𝑠𝑒𝑛𝑥 )2

Ejemplo 18. Hallar 𝑓 ′ (𝑥) de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(√𝑥) Solución 𝟏

Haciendo 𝒖 = √𝒙, entonces 𝒖′ (𝒙) = . 𝟐√𝒙 Aplicando el teorema 4

1 . 𝑢′ (𝑥) 1 + 𝑢2 1 1 ).( 𝑓 ′ (𝑥) = ( ) 1+𝑥 2√𝑥 𝑓 ′ (𝑥) =

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Ejemplo 19. Hallar 𝑓 ′ (𝑥) de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 (𝑥𝑥+1 2+1) Solución Haciendo

𝒖=

𝒙+𝟏

𝒙𝟐 +𝟏

, entonces 𝒖′ (𝒙) =

Aplicando el teorema 4

−𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏 (𝒙𝟐 +𝟏)

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) = (

𝟐

1

.

𝑢√𝑢2 − 1

. 𝑢 ′ (𝑥)

−𝑥 2 − 2𝑥 + 1 𝑥2 + 1 ) ) .( (𝑥 2 + 1)2 1+𝑥

2.4.3 Derivada Implícita Se dice que 𝑓: 𝐼ℝ  ℝ es una función implícita dada en 𝐹(𝑥, 𝑓(𝑥)) = 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼.

𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 si

Una función implícita podría hacerse explícita si pudiéramos despejar y en términos de 𝑥, obteniéndose así la expresión 𝑦 = 𝑓(𝑥). Por ejemplo si 𝑦 = 𝑓(𝑥) dada implícitamente en la expresión. Podemos despejar 𝑦:

√𝑥 + 𝑦 − 𝑥 + 6 = 0

𝑓(𝑥) = 𝑦 = (𝑥 − 5)2 − 𝑥

(forma explícita)

Sin embargo, no siempre es posible hacer explícita una función que está dada en forma implícita: por ejemplo √𝑦 + 𝑦 5 + 𝑥 2 = 0 no es posible despejar a 𝑦 en término de 𝑥.

Entonces, para 𝑦 = 𝑓(𝑥) función implícita dada en 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, podemos hallar y’ de la forma siguiente: 𝑑𝑦 𝑑 𝑑 =0 𝐹(𝑥, 𝑦). 𝐹(𝑥, 𝑦) + 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑 𝑑𝑦 − 𝑑𝑥 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑑 𝑑𝑥 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 Ejemplo 20. Hallar la derivada de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) dada implícitamente en la expresión 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝑦2 + 𝑥 2 = 0.

Solución Derivando.

𝑑 [𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 2 ] = 0 𝑑𝑥

𝑑 2 𝑑 2 𝑑 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 + 𝑥 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 144

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LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦.

𝑑

𝑑𝑥

(𝑥𝑦) + 2𝑦

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦. [𝑦 + 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

, se obtiene:

𝑑𝑦 + 2𝑥 = 0 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑦 + 2𝑥 = 0 ] + 2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) Despejando

Marilyn Delgado Bernuí

𝑑𝑦 𝑑𝑦 + 2𝑦 + 2𝑥 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑦 −2𝑥 − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 = 𝑑𝑥 2𝑦 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦

Ejemplo 21. Obtenga la derivada de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) dada implícitamente en la expresión 𝑥𝑙𝑛𝑦 + 𝑙𝑛𝑥 = 0. Solución Derivando

𝑑 [𝑥𝑙𝑛𝑦 + 𝑙𝑛𝑥] = 0 𝑑𝑥 𝑙𝑛𝑦 +

Ejemplo 22.

⟺

𝑥 𝑑𝑦 1 + =0 𝑦 𝑑𝑥 𝑥

⟺

𝑑 𝑑 𝑙𝑛𝑥 = 0 𝑥𝑙𝑛𝑦 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑦𝑙𝑛𝑦 + 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑥

Obtenga la derivada de 𝑦 = [𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥)

Solución Aplicando logaritmo.

𝑙𝑛𝑦 = 𝑔(𝑥). 𝑙𝑛𝑓(𝑥)

Derivando implícitamente 𝑔(𝑥) 𝑑 1 𝑑𝑦 𝑑 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥 ) + . 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑥 de donde

Ejemplo 23. Solución

𝑑 𝑑𝑦 𝑔(𝑥) 𝑑 = [𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) (𝑙𝑛𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) + . 𝑓(𝑥)) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Obtenga la derivada de 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

Aplicando la fórmula obtenida en el ejercicio 15, resulta 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑦 ) = 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝑙𝑛𝑥. (−𝑠𝑒𝑛𝑥) + 𝑥 𝑑𝑥

Ejemplo 24. Demuestre que la tangente a la elipse

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𝑥2 𝑦2 + =1 𝑎2 𝑏 2

en el punto (𝑥0 , 𝑦0 ) es

𝑥0 𝑥 𝑦0 𝑦 + 2 =1 𝑎2 𝑏

Solución Derivando implícitamente, obtenemos 2𝑥 2𝑦𝑦´ + 2 =0 𝑏 𝑎2

De donde reemplazando en (𝑥0 , 𝑦0 ), se obtiene la pendiente 𝑦´ = −

𝑏 2 𝑥0 ( ) 𝑎2 𝑦0

La ecuación de la recta tangente, es 𝑦 − 𝑦0 = −

𝑏 2 𝑥0 ( ) (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑎2 𝑦0

𝑦0 𝑦𝑎2 − 𝑦0 2 𝑎2 = −𝑥0 𝑥𝑏 2 + 𝑏 2 𝑥0 2 𝑦0 𝑦𝑎2 + 𝑥0 𝑥𝑏2 = 𝑦0 2 𝑎2 + 𝑏 2 𝑥0 2 𝑦0 𝑦 𝑥0 𝑥 + 2 =1 𝑎 𝑏2

Ejemplo 25. Determinar los puntos de la curva 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑥 + 4𝑦 en los que la recta tangente es horizontal.

Solución Derivando implícitamente, obtenemos 𝑦′ = −

2𝑥 − 4 2𝑦 − 4

La recta tangente es horizontal donde la derivada es cero −

2𝑥 − 4 =0 2𝑦 − 4

2𝑥 − 4 = 0 𝑥=2

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