Derivada DE Funciones Trigonometricas Inversas E Implicitas PDF

Preview

Summary

ok esto es una pratica...

Description

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS FORMULAS DE DERIVACION 𝑓(𝑢) = 𝑠𝑒𝑛

−1 (

𝑢) ⇒

, 𝑓(𝑢)

=

𝑢, √1 − 𝑢2

𝑢) ⇒ 𝑓(,𝑢) = −

𝑢,

𝑓(𝑢) = 𝑐𝑜𝑠

−1 (

𝑓(𝑢) = 𝑡𝑎𝑛

−1 (

𝑢) ⇒

𝑓(,𝑢)

𝑢, = 2 𝑢 +1

−1(

𝑢) ⇒

, 𝑓(𝑢)

𝑢, =− 2 𝑢 +1

𝑓(𝑢) = 𝑐𝑜𝑡

𝑓(𝑢) = 𝑠𝑒𝑐 −1 (𝑢) ⇒ 𝑓(,𝑢) = 𝑓(𝑢) = 𝑐𝑠𝑒𝑐

−1(

𝑢) ⇒

, 𝑓(𝑢)

√1 − 𝑢2

𝑢, 𝑢√𝑢2 − 1

=−

𝑢, 𝑢√𝑢2 − 1

En fin, la derivada de una función trigonométrica inversa se realiza aplicando la derivada al argumento sobre la formula de derivación. Si te das cuenta las formulas de derivación del seno y coseno son iguales la diferencia es solo el signo y así sucesivamente son las demás observa los siguientes ejemplos EJEMPLOS Determine la derivada de las siguientes funciones trigonométricas inversas 𝟏) 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏−𝟏 (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙) Derivo el argumento (𝑥 2 + 3𝑥) su derivada es 2𝑥 + 3 Luego la derivada de la función es: 𝑓(,𝑥) =

2𝑥 + 3 √1 − (𝑥 2 + 3𝑥 )2

2) 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏−𝟏 (𝟑𝒙𝟑 − 𝟏)

derivo el argumento (3𝑥 3 − 1) su derivada es 9𝑥 2

Luego la derivada de la función es: 𝑓(,𝑥) =

9𝑥 2 √1 − (3𝑥 3 − 1)2

3) 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (𝟑𝒙 − 𝟓)

derivo el argumento (3𝑥 − 5) su derivada es 3

Luego la derivada de la función es: 3 𝑓(,𝑥) = − √1 − (3𝑥 − 5)2

4) 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒙) derivo el argumento (2𝑥 3 + 4𝑥 2 − 5𝑥) su derivada 6𝑥 2 + 8𝑥 − 5 Luego la derivada de la función es:

𝑓(,𝑥)

=−

6𝑥 2 + 8𝑥 − 5 √1 − (2𝑥 3 + 4𝑥 2 − 5𝑥)2

5) 𝒇(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝟒𝒙 + 𝟏) derivo el argumento (4𝑥 + 1) su derivada es 4 Luego la derivada de la función es: 𝑓(,𝑥) =

4 (4𝑥 + 1)2 + 1

6) 𝒇(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝒙𝟑 − 𝟓𝒙) derivo su argumento (𝑥 3 − 5𝑥 ) su derivada es 3𝑥 2 − 5 Luego la derivada de la función es: 𝑓(,𝑥)

3𝑥 2 − 5 = 3 (𝑥 − 5𝑥)2 + 1

7) 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒕−𝟏 (𝟑𝒙 − 𝟏) , 𝑓(𝑥) = −

3 (3𝑥 − 1)2 + 1

8) 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄−𝟏 (𝒙𝟐 − 𝒙) 𝑓(,𝑥) =

2𝑥 − 1 (𝑥 2 − 𝑥)√(𝑥 2 − 𝑥)2 − 1

9) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑒𝑐 −1 (7𝑥 − 5) 𝑓(,𝑥) = −

7 (7𝑥 − 5)√(7𝑥 − 5)2 − 1

Derivadas de funciones implícitas. Una función está en forma implícita cuando no esta despaja con la relación a ninguna de sus variables. Por ejemplos: x2+3x -5y4 = 6y+4y3 Pasos para derivar una función implícita: 1) Se derivan todos los términos de la función con respecto a la x, pero cuando se deriva “y” se deja expresado el diferencial y’ 2) Se coleccionan todos los términos que quedan con el diferencial y’ en el primer miembro y los demás en el segundo. 3) Se saca el factor común monomio que será el diferencial y’, luego se despeja para encontrar la derivada. Ejemplos: Derivar las siguientes funciones implícitas

1) x2+3x +2y4 = 5y2+4x3 2x + 3 +8y3y’ =10yy’+12x2 8y3y’-10yy’ =12x2-2x-3 y’(8y3-10y) =12x2-2x-3 12𝑥 2 −2𝑥−3

y’=

8𝑦 3 −10𝑦

Nota: Si la función presenta multiplicación o división se le aplican las reglas de las derivadas de las mismas. 2) x5+x3y2-6x2 = 5x3-4y2 , hay una multiplicación en x3y2 entonces se aplica regla de la multiplicación. 5x4+3x2y2+x3(2yy’)-12x=15x2-8yy’ 5x4+3x2y2+2x3yy’-12x=15x2-8yy’ 2x3yy’+8yy’= -5x4-3x2y2+15x2+12x y’(2x3y+8y) =-5x4-3x2y2+15x2+12x y’=

−5𝑥4 +15𝑥2−3𝑥2 𝑦 2+12𝑥 2𝑥 3𝑦+8𝑦

I) Calcula la derivada de las siguientes funciones implícitas. 1) 4x3-5x + y4 = 3y3-5x3+9 2) x2+3y3 +2y4 = 5y2+4x3-6x 3) 9y2+3x2 +2x4 = 5y4+7y3+8x-10 4) 2x5+y4-8x2 = 5x3+x7y3-6y 5) x6y2 +5x4 = 5y2+x5y-6x II) Calcula la derivada de las siguientes funciones trigonométrica inversas. 1) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛−1 (𝑥 2 + 𝑥) 2) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 −1 (3𝑥 3 − 5𝑥) 3) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥 + 1) 4) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡 −1 (3𝑥 2 − 𝑥 ) 5) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 −1 (3𝑥 2 − 5𝑥 ) 6) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑒𝑐 −1 (𝑥 − 5) 7) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛−1 (2𝑥 3 + 5𝑥) 8) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 −1(3 − 5𝑥) 9) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥 3 ) 10) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 −1 (𝑥 2 )...