Graficas y funciones trigonometricas PDF

Preview

Summary

Download Graficas y funciones trigonometricas PDF

Description

! MB0003 _M2AA2L2_Gráficas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

!

!!!!

! Gráficas!de!funciones!trigonométricas

! ! Por: Oliverio Ramírez Juárez

Hasta el momento has estudiado las funciones trigonométricas como una relación entre los lados de un triángulo. Sin embargo, recuerda que una función puede representarse como: • • • •

Una tabla Pares ordenados Una gráfica Una ecuación

Las ecuaciones trigonométricas ya las viste, ahora revisarás las gráficas de las funciones trigonométricas que se obtienen cuando se varía el valor del ángulo (variable independiente) de cada función y se obtienen diferentes valores de Y (variable dependiente). A continuación se muestran las diferentes tablas, pares ordenados y gráficas que se obtienen al dar valores al ángulo en radianes a las funciones trigonométricas. Tablas

Gráficas

f ( x) = sen( x) Función Seno:

A 0

0.25π 0.5π 0.75π

π 1.25π

1.5π 1.75π

2π

!

f ( x) = sen( x)

0 0.7071 1 0.7071 0 -0.7071 -1 -0.7071 0

1

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

!

MB0003 _M2AA2L2_Gráficas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

!

f ( x) = cos( x)

Función coseno:

A 0

0.25π 0.5π 0.75π

π 1.25π

1.5π 1.75π

2π

f ( x) = cos( x)

1 0.7071 0 -0.7071 -1 -0.7071 0 0.7071 1

f ( x) = tan( x)

Función tangente:

A 0

0.25π 0.5π 0.75π

π 1.25π

1.5π 1.75π

2π

f ( x) = tan( x)

0 1 ∞

-1 0 1 ∞

-1 0 f ( x) = cot( x)

Función cotangente:

A 0

∞

0.25π

1 0 -1

0.5π 0.75π

!

f ( x) = cot( x)

2

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

!

MB0003 _M2AA2L2_Gráficas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

!

π

∞

1.25π

1.75π

1 0 -1

2π

∞

1.5π

Función secante:

A 0

0.25π

f ( x) = sec( x) f ( x) = sec( x)

1 1.4142

0.5π

∞

0.75π

-1.4142 -1 -1.4142

π 1.25π

1.5π 1.75π

2π

∞

1.4142 1

f ( x) = csc( x)

Función cosecante:

A 0

∞

0.25π 0.75π

1.4142 1 1.4142

π

∞

0.5π

!

f ( x) = csc( x)

3

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

!

MB0003 _M2AA2L2_Gráficas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

!

1.5π 1.75π

-1.4142 -1 -1.4142

2π

∞

1.25π

Tabla 1. Graficas de las funciones trigonométricas.

Las gráficas de las funciones trigonométricas que se encuentran en la tabla anterior pueden ser modificadas en amplitud y frecuencia, así como experimentar corrimientos de fase o en su posición vertical. ¿Quieres saber cómo? Las funciones trigonométricas pueden ser expresadas de la siguiente forma: Función

Forma matemática

Seno

f (x ) = asen (nx − h ) + k

Coseno

f (x ) = a cos(nx − h ) + k

Tangente Cotangente Secante Cosecante

f ( x ) = a tan(nx − h ) + k f (x ) = a cot(nx − h ) + k f ( x ) = a sec(nx − h ) + k f (x ) = a csc(nx − h ) + k

Donde:

a Representa la amplitud que es la distancia del eje de referencia al punto máximo o al punto mínimo. h Representa el corrimiento de fase o corrimiento horizontal.

k Representa el corrimiento vertical.

n Representa la frecuencia, es decir, el número de veces que se repite la gráfica en un ciclo ( 0 − 2π ). Las funciones que se graficaron anteriormente tienen los valores de

a = 1, n = 1, h = 0 k = 0 , lo que indica que las gráficas tienen amplitud de 1, solamente se presentan en 1 vez en un ciclo de 0 − 2 π y no tienen corrimiento horizontal o vertical. Tabla 2. Funciones trigonométricas y su forma Matemática.

!

4

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

!

MB0003 _M2AA2L2_Gráficas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

!

En la siguiente tabla analizarás cómo afecta la función cada uno de los términos en la función seno. Gráficas

Observaciones En la función

f (x ) = sen(x ) el valor de a = 1 , lo que implica que la distancia que hay de la línea de referencia al punto más alto es de 1. En cambio, en la función

f ( x) = 3sen(x) el valor de a = 3 , es decir, la amplitud de la función es de 3. En la función

f (x ) = sen(x ) el

valor de n = 1 , lo que implica que en un ciclo ( 0 − 2π ) aparece la gráfica del seno una vez. En cambio, en la función

f ( x) = sen(4x ) el valor de n = 4 , es decir, la gráfica del seno aparece 4 veces en un ciclo ( 0 − 2 π ).

!

5

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

!

MB0003 _M2AA2L2_Gráficas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

!

En la función

f (x ) = sen(x ) la gráfica comienza en cero y termina en 2π . En la función

f ( x) = sen (x + 0.5π ) comienza en − 0.5π y termina en 1.5π , es decir, tiene un corrimiento de fase hacia la izquierda de

0.5π . En la función

f ( x) = sen (x − 0.5π ) comienza en 0.5π y termina en 2.5π , es decir, tiene un corrimiento de fase hacia la derecha de 0.5π . En la función

f (x ) = sen(x ) la línea de referencia de la gráfica se encuentra en cero. En la función

f ( x) = sen (x )+ 2 la línea de referencia se encuentra en 2, es decir, la función tiene un desplazamiento vertical hacia arriba de 2.

!

6

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

!

MB0003 _M2AA2L2_Gráficas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

!

En la función

f ( x) = sen(x) − 2 la línea de referencia se encuentra en -2, es decir, la función tiene un desplazamiento vertical hacia abajo de 2. Tabla 3. Gráficas función seno.

Como puedes darte cuenta, una función trigonométrica puede estar afectada por varios factores, los cuales indicarán qué está ocurriendo en la gráfica. Observa algunos ejemplos. Ejemplo 1 Grafica la siguiente función trigonométrica y determina la amplitud y la frecuencia.

f ( x) = −3 cos(2x ) Solución

= −3 indica que va a tener una amplitud de 3, pero como es negativa, la función comenzará a partir de -3 y el valor de n = 2 indica que la frecuencia es igual a 2, es decir, que el número de veces que aparece la gráfica de la ecuación en un ciclo de 0 − 2 π , Realizando el análisis de la ecuación, el valor de a

es de 2. Realizando la gráfica

f ( x) = −3 cos(2x )y comparando con la gráfica de f ( x) = cos(x)

Figura 1. Gráfica de coseno.

!

7

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

!

MB0003 _M2AA2L2_Gráficas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

!

Ejemplo 2 Grafica la siguiente función trigonométrica y determina el corrimiento de fase.

f ( x) = tan(x − 0.5π ) Solución Realizando el análisis de la ecuación: El valor de h = −0.5π indica que va a tener un corrimiento de fase de un corrimiento de fase hacia la derecha con un valor de Realizando la gráfica

− 0.5π , es decir, la gráfica tendrá

0.5π .

f ( x) = tan( x − 0.5π ) y comparando con la gráfica de f ( x) = tan (x )

Figura 2. Gráfica de tangente.

!

8

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

!

MB0003 _M2AA2L2_Gráficas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

!

Ejemplo 3 De acuerdo a la gráfica, indica cuál de las siguientes funciones corresponde a la gráfica.

a)

f ( x) = sen (x − 1 )+ 3

b)

f ( x) = 3sen (x )− 1

f ( x) = sen(3x )− 1 d) f ( x) = sen(x ) − 1

c)

Solución Comienza por analizar la gráfica, observa que el punto máximo de la función se encuentra en cero, y el punto mínimo en -2, de esta forma se puede definir que la línea de referencia es -1, por lo que puedes deducir que la función tiene un corrimiento vertical hacia abajo de una unidad, es decir, el término

k = −1. La gráfica de la función seno tiene la forma, donde la gráfica completa se encuentra entre 0 − 2 π . En la gráfica que tenemos la figura se repite en 3 ocasiones, es decir, la frecuencia es de 3 y el valor que nos indica la frecuencia es el valor de n = 3 . Por lo tanto, analizando la forma general de la ecuación seno f (x ) = asen(nx − h ) + k La amplitud es: a = 1 La frecuencia es: n = 3 No hay corrimiento de fase. Hay un corrimiento vertical hacia debajo de: k = −1 De esta forma el inciso c)

!

f ( x) = sen(3x) − 1 es la expresión que cumple con la gráfica.

9

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

!

MB0003 _M2AA2L2_Gráficas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

!

Es importante conocer las gráficas de las funciones trigonométricas, ya que el comportamiento de algunos de los fenómenos físicos se describe por medio de estas gráficas, por ejemplo, las ondas del sonido, el corazón humano y la corriente eléctrica. Poder realizar una interpretación de estas gráficas y la modelación de las mismas te puede ayudar a resolver diversos problemas.

!

10

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

!

MB0003 _M2AA2L2_Gráficas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

!

!Bibliografía! Ayres, F. y Moyer, R. E. (1991). Trigonometría (2ª. ed. en español, María Concepción Ruiz Sánchez trad.). México: McGraw Hill. Ramírez, A. I. y Sienra, G. (2003). Invitación a las geometrías no euclidianas. México: UNAM. [Versión en línea]. Disponible en: http://books.google.com.mx/books?id=_bQVowSNHE4C&pg=PA129&dq =en+todo+tri%C3%A1ngulo+la+suma+de+sus+%C3%A1ngulos+interno s+es&lr=&cd=88#v=onepage&q=&f=false Sullivan, M. (1998). Trigonometría y geometría analítica (4ª, ed. De la Cela, José, trad.). México: Pearson Educación. [Versión en línea]. Disponible en: http://books.google.com.mx/books?id=nt64q3HX_T0C&printsec=frontco ver&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false Sullivan, J. y Hernández, C. (2006). Álgebra y trigonometría (7ª. ed.). México: Pearson Prentice Hall. [Versión en línea]. Disponible en: http://books.google.com.mx/books?id=44YnoUhxOoC&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0# v=onepage&q=&f=false Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (2002). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (10ª. ed H. Villagómez trad.). México: Thomson Learning.

!

11

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato....