Limite-DE- Funciones- Trigonometricas PDF

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Ejercicios para examen...

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LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Antes de analizar este tipo de límites recordemos algunos conceptos básicos de la trigonometría y de lo relacionados con esos conceptos, luego estudiaremos los límites de las funciones seno y coseno cuando el ángulo tiende a cero, y algunos límites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados. La medida en radianes de un ángulo

, está definida por

, donde

es la longitud

del arco interceptado por el ángulo sobre una circunferencia de radio , cuyo centro coincide con el vértice del ángulo según podemos recordar en la figura 1. En la figura 2 consideremos ahora un círculo de radio uno y un ángulo agudo cuya medida Como que

en

Figura 1

radianes es . se tiene entonces

El triángulo rectángulo tiene como catetos a y a , en la circunferencia de radio 1 se obtiene que:

Podemos decir que la medida de los catetos es:

Figura 2

Si empleamos el teorema de Pitágoras se obtiene:

La longitud del arco entre los puntos P y A es mayor que el segmento que une los mismos puntos o que es mayor que el ángulo , podemos escribir como:

Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA

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Recordando las propiedades básicas de la suma podemos expresar que si los dos miembros de la desigualdad anterior son sumandos positivos, cada uno de ellos es

De la definición formal de límite: si tomamos un épsilon como un número positivo, y asumimos que delta y épsilon son iguales de tal forma que el valor absoluto del seno del ángulo Alfa es menor que el propio Alfa y este menor que épsilon y de igual manera se plantea para el otro cateto tenemos: Siempre que: siempre que por lo que siempre que por lo que Limites de las funciones trigonométricas Teorema: Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumple:

1. 3. 5.

2. 4. 6.

Cuando calculamos límites trigonométricos es necesario recordar las siguientes identidades básicas:

1. 2. 4.

3. 5.

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9.

10. 11. 12. Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA

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Veamos ahora dos límites que podemos llamar especiales y que son de gran utilidad al evaluar límites trigonométricos: 1. Límite especial 1.

Si medimos el ángulo en radianes y sabiendo que nuestro denominador no puede ser cero, realicemos una tabla de valores con valores próximos a cero tanto por la izquierda como por la derecha: -0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.01

0.01

0.1

0.2

0.3

0.4

0.973

0.985

0.993

0.998

0.999

0.999

0.998

0.993

0.985

0.973

Podemos deducir entonces que:

Ejemplo 1: Hallar el valor de Solución. En esta función debemos aplicar la propiedad fundamental de los racionales que me permite hallar racionales equivalentes:

Multipliquemos numerador y denominador por 3:

2. Para nuestro segundo límite especial:

Recordando que el coseno de cero grados vale 1, obtendríamos una indeterminación 0/0, destruimos ésta multiplicando por su conjugada:

De la identidad Nº 1

*

Podemos concluir: Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA

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Ejemplo 2. Hallar el valor de:

Solución. (Apliquemos la propiedad del ejemplo anterior):

Veamos otros ejemplos donde podamos aplicar todo lo estudiado acerca de los límites: Ejemplo 3. Determinar el valor de:

Solución.

Multipliquemos el primer límite por (-1) para convertirlo en el primer límite especial que estudiamos:

Ejemplo 4. Determinar el valor de:

Solución. Por identidad Nº2 Común denominador Factorizando Multiplicando conjugada

por

la

Por identidad Nº 1

Distribuyendo Reescribiendo Evaluando Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA

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Ejemplo 5. Determinar el valor de:

Solución.

Recordemos que el coseno de 60º

es , entonces tendríamos una

indeterminación 0/0, puesto que Por otro lado,

cuando

cuando

.

.

Identidad 7

Entonces

Racionalizar

Reescribiendo

Evaluando

EJERCICIOS. Para algunos de los ejercicios aquí propuestos debe tenerse en cuenta las identidades relacionadas en la página 2.

Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA

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