Funciones Trigonometricas Hiperbolicas parte 1 hhhhj PDF

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Materiales de estudio práctica para la ayuda con el respectivo aprendizaje del alumno en cuestión...

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS. Definición de las funciones. Un círculo unitario con centro en el origen sigue la fórmula x 2  y 2 1 ; un punto dado por el par ordenado  x , y  se puede representar como función de un ángulo t de la siguiente manera  x , y   cos t , sent  . De igual manera, una hipérbola unitaria con centro en el origen sigue la fórmula x 2  y 2 1 ; un punto dado por el par ordenado  x , y se puede representar como función del ángulo t de la siguiente manera  x , y  cosh t , senht  . Estas funciones se denominan funciones trigonométricas hiperbólicas, en particular, coseno hiperbólico y seno hiperbólico. Las funciones trigonométricas hiperbólicas presentan propiedades análogas a las de las funciones trigonométricas o circulares. La función f  x senh x se define como senh x  

ex  e  x ex  e  x , mientras que la función f  x cosh x es cosh x   . 2 2

Al igual que las funciones trigonométricas circulares, en las funciones trigonométricas hiperbólicas se cumplen las siguientes identidades fundamentales. tanh x  

senh x  e x  e  x  cosh x e x  e  x

cosh x  e x  e  x  senh x e x  e  x 1 2 sec h x   x cosh x e  e  x 1 2 csc h  x    senh x e x  e  x coth x  

Debido a esto, es lógico pensar que habrá una relación equivalente al Teorema de Pitágoras. Así, para las funciones hiperbólicas se sabe que cosh 2 x  senh 2 x 1 . Ejemplo 1. Demostrar que cosh 2 x  senh 2 x 1 .

cosh 2 x  senh 2 x 1 2

e2x

2

e x  e  x   e x  e x       1 2 2     e2 x  2 ex e  x  e  2 x  2e x e  x  e  2 x  1 4 4 2e x e x  2e x e x  1 4 4 2 2  1 4 4 4 1 4 1 1

Gráfica de las funciones. Sea la función f  x   senh  x  

ex  e x . Las intersecciones se pueden encontrar 2

igualando la función a cero. ex  e x 0 2 ex  e  x  0 e x e  x ex 1   e x e2 x 1 2 x ln 1  2 x 0 x 0

La función seno hiperbólico tiene una sola raíz en x=0. Para obtener los puntos críticos, se iguala a cero la derivada de la función: df d  ex  ex  1 d x  e  e x  1 e x  e  x     dx dx  2 2 dx 2  1 x e  e x  0 2 e x  e  x 0 ex  e x ex  1 e x e 2 x  1 2 x ln   1 

por lo tanto, no hay puntos críticos. Es interesante notar que la derivada de la función senh(x) es la función cosh(x). Por último, puntos inflexión se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero. d2 f d 1 x e  e  x   1 d e x  e  x   1 e x  e  x   2 2 dx dx 2 dx 2

La segunda derivada nos llevó, nuevamente, a la función senh(x). Esta función ya se igualó a cero para encontrar las intersecciones. El resultado es que en x=0 hay una raíz que, a su vez, es un punto de inflexión.

La misma función

ex  e x se puede ver como la resta de dos 2 e x e x . La gráfica de estas dos funciones   2 2

f  x   senh  x  

funciones exponenciales:

e x  e x 2

exponenciales se muestra en azul (exponencial positiva) y verde (exponencial negativa). La resta de ambas punto por punto es la función senh(x).

Derivadas. d  ex  e x d senh  x    dx dx  2

 ex  e  x    cosh x 2 



d du senh u  cosh u dx dx

d  ex  e x d cosh x    dx  2 dx

 ex  e x    senh x 2 



du d cosh u  senh u dx dx

d  senhx  cosh2 x  senh 2 x 1 d  sec h 2 x tanh x     2 2 dx  cosh x  dx cosh x cosh x du d  tanh u   sec h 2  u  dx dx 1 d  cosh x  senh 2 x  cosh 2 x d   csc h 2 x coth x     2 dx  senhx  senh x senh 2 x dx du d  csc h u coth u  dx dx

d d  1   senhx  senhx   1  sec h x     tanh x sec hx     dx dx  cosh x  cosh 2 x  cosh x   cosh x  du d tanh u sec h u sec h u   dx dx

d  1   cosh x d  cosh x   1   csc h x     dx  senhx  senh 2 x dx  senhx   senhx du d coth u  csc h u  csc h u   dx dx

   coth x csc hx 

Ejemplo 2. Derivar la función f  x   tanh4 x 2  3 . La función más externa es la raíz, por lo tanto, es la primera en derivarse. df 1  8 x sec h 2 4 x 2  3   d   tanh4 x 2  3    dx 2 tanh4 x 2  3   dx  2 tanh 4 x 2  3

Ejemplo 3. Derivar la función

f  x  ln tanh 3 x 2  2   cosh 3x 2  2

.

La función más externa es el logaritmo, por lo tanto, es el primero en derivarse. df 6 x sec h2  3 x2  2  6 xsenh 3 x2  2  dx tanh 3 x 2  2   cosh3 x 2  2 

Integrales. Utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo se puede establecer que

senh u  du coshu   c coshu du senh u   c sec h  u  du  tanh u   c csc h  u du  coth u   c sec h u tanh u  du  sec h u   c csc h u coth u du  csc h u   c 2

2

Utilizando estas fórmulas se pueden establecer las siguientes. Ejemplo 4. Hallar la fórmula para la integral de la tangente hiperbólica. senh x

tanh x dx  cosh x dx

Se hace un cambio de variable en donde u cosh x  du senh x dx . Al sustituir, la integral anterior cambia a senh x 

du

tanh  x dx cosh x  dx  u

ln u  c ln cosh  x   c

Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes fórmulas.

tanh u  du ln coshu   c cothu  du  ln senh u   c Ejemplo 5. Resolver las siguientes integrales.

x

2





senh 3 x 3 dx

Se realiza el cambio de variable u 3 x 3 

du  x 2 dx , por lo tanto, la integral se 9

puede escribir como

x

2





senh 3 x 3 dx senh u 





1 1 du 1 3  senh u du  cosh u  c  cosh 3 x  c 9 9 9 9

sec h 2 ln x 



x

Se realiza el cambio de variable u ln x  du 

dx

dx , por lo tanto, la integral se puede x

escribir como sec h 2 ln x



x

dx 

sec h  u  du tanh u  c tanh ln x   c 2

1

senh x

cosh x dx

0

Se realiza el cambio de variable u cosh x  du senh x dx , por lo tanto, la integral se puede escribir como 1

x 1

0

x 0

2 senh  x cosh x dx 

 u du

Sin embargo, dado que u=senh(x), si x=0, entonces, u senh 0   x=1, entonces,

u  senh 1 

1

senh  x  2

e  e 2 1

1

1 e2  1 2 e  e  e  1 . La integral es  2 2 2e x 1

cosh x  dx   u du 

e2  1 2e



x 0

e2  1    2e 

0

e

0

2  3

0

e e 0 . Cuando 2

3

2

0

2 3 u du  u 2 3

3 2  e2  1  2    0 2   3  2e  3

3

e 2 1 2e



0

2

Inversas. Las funciones trigonométricas hiperbólicas tienen funciones inversas que, comúnmente, se denotan como senh  1 o bien como arcsenh donde la función recibe el nombre de seno hiperbólico inverso. Dado que las funciones están definidas en términos de exponenciales, es de esperarse que sus inversas incluyan logaritmos naturales. Se pueden definir como



senh  1 x  ln x 





x2  1

cosh  1 x ln x  x 2  1 tanh 1



1 1  x  x  ln   2 1  x 

para x 1 para x  1

 1  1  x2   sec h  1x ln    x  

para 0  x 1

Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonométricas inversas. Ejemplo 6. Obtener la fórmula para la derivada de la función y senh  1  x  . Dado que no se conoce la derivada del seno hiperbólico inverso pero sí la del seno hiperbólico, se pueden utilizar el concepto de la función inversa y la derivada implícita para hallar la fórmula en cuestión. y  senh 1  x  senh y x y´cosh y 1 y´

1 cosh  y 

Se sabe que cosh 2 y  senh 2 y 1 , por lo tanto, cosh 2 y senh 2 y  1 y la función senhy=x, entonces, cosh y  x 2  1 . Al sustituir se obtiene y´

1 x 2 1

.

El mismo método se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes fórmulas.

du d 1 dx senh u  2 dx u 1 du d 1 dx , u  1 cosh u  2 dx u  1

du d 1 tanh u  dx2 , dx 1 u

u 1

du d 1 dx , 0  u  1 sec h u  dx u 1  u2

Ejemplo 7. Determinar si la función f  x   xsenh  1  x 2  3 es creciente o decreciente en el punto x=2. Se debe resolver la derivada de la multiplicación.  df  senh  1  x 2  3   x   dx   senh  1  x 2  3   senh  1  x 2  3 

2x

x

2

 3

2

   1  

2x2 x4  6 x 2  9  1 2 x2



x 4  6 x 2  10

Se busca conocer como es la función en x=2, por lo tanto, se sustituye en la derivada.





8 8 ln 7  49  1   50 16 24 10   x2 8 8  ln 7   25 2  ln 7  5 2    25 2 5 2 df dx

 senh 1 7  





ln 14.07  





8 2.64  1.13 3.77 7.07

La función es creciente: crece a una razón de 3.77. Las fórmulas para la integración salen utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo y a partir de las fórmulas de derivación.  u a 0 du  senh  1    c,  a u 1  1 u   u 2  a 2 du cosh  a   c, u  a  0 1 1 u  a  0, u  a du  tanh  1    c , 2 2 a a  a u

a

 u

1 a u 2

2

1

2

2

du  

 1 u    c, sec h   a  a 

1

a  0, 0  u  a

Ejemplo 8. Resolver la integral



e3 x 25  e 6 x

dx .

Esta integral es como la de la tangente hiperbólica inversa donde a 2 25  a 5 , u 2 e 6 x  u e 3 x 



du e 3 x dx . Al sustituir esto en la integral, 3

du

3x du 11 3 1  1 e    tanh   25  u 2 3 25  u2 3  5  5

  e3x  1   c  tanh  1    c 15   5 

Aplicaciones. La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de  , la longitud de onda (distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas, h . La función que relaciona estas variables es g  2h  v 2  tanh  2   

donde v es la velocidad, y g es la gravedad.

Suponiendo que se mantiene h constante, esto es, que el oleaje se propaga por un océano de profundidad constante (50 m), determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando  5 m .

dv  d

2 v 

g  2 h  tanh  2   

v

g  2 h  tanh  2   

 g  2 h    2h   g  2 h  tanh sec h 2       2  g        2      2 h   2 tanh 2  2    1

dv  d

 2h  gh  2 h    g tanh  sec h 2     g         2 h   2 tanh  2  2    1

Se sustituyen los valores numéricos en cuestión dv 1  9.81  2 50   9.8150   2 50    sec h 2  tanh     5 d  5   5  9.81 5   2 50    2  tanh  2  2  5  dv 8.72 d Entonces, para este valor de la longitud de onda y de la profundidad, la velocidad de la ola va aumentando respecto a la longitud de onda. Si se requiere, ahora, saber como va cambiando la velocidad de propagación del oleaje respecto a la profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m, se deberá, entonces, derivar respecto a h. Sea una profundidad de 7 m,

v dv  dh

g  2 h  tanh  2   

 g  2   2 h     sec h2       g  2 h   2    tanh  2  2     2 h  g sec h2   dv     dh g  2 h  tanh  2  2    1

Se sustituyen los valores numéricos en cuestión

dv  dh

 2  7     5  

 9.81 sec h 2  2

 9.81 5 tanh 2 7     5  2  

 14  9.81sec h 2   8.91 10  7 dv 5      1.610 7 5.59 dh 49.05  14  2 tanh  2  5 

Así que, aunque la velocidad de propagación del oleaje va aumentando respecto a la profundidad, la razón de cambio es muy pequeña....