Resumen unidad 1 Funciones Primera parte PDF

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I UNIDAD 1: FUNCIONES PRIMER CUATRIMESTRE 2016 UNIDAD 1 – FUNCIONES – (Primera parte) RELACIONES Y FUNCIONES ¿Qué es una relación entre dos variables? Una relación entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A x B, es decir un conjunto de pares ordenados c...

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I UNIDAD 1: FUNCIONES

PRIMER CUATRIMESTRE 2016

UNIDAD 1 – FUNCIONES – (Primera parte) RELACIONES Y FUNCIONES ¿Qué es una relación entre dos variables? Una relación entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A x B, es decir un conjunto de pares ordenados con primera componente en A y segunda en B. ALGUNAS RELACIONES SON FUNCIONES

¿Qué es una función? Para que una relación sea función (f), debe cumplir con dos condiciones: 1- Existencia: todos los elementos del primer conjunto deben tener imagen. ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∕ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 2- Unicidad: cada elemento del primer conjunto debe tener una “única” imagen. (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ∧ (𝑥, 𝑦 ′ ) ∈ 𝑓 => 𝑦 = 𝑦′ Nota: en un eje cartesiano para que la relación sea función, imaginando rectas verticales, éstas deben cortar a la gráfica en un solo punto.

REGISTROS DE FUNCIONES

ANALÍTICO LENGUAJE COLOQUIAL GRÁFICO TABLA DE VALORES

•Forma EXPLÍCITA: 𝑌 = 𝑓 𝑥 (Por ejemplo ej 7 de la guía) •Forma IMPLÍCITA: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 (Por ejemplo ej 41 de la guía) •Forma PARAMÉTRICA: (Por ejemplo ej 42 de la guía) •Verbalmente, mediante la descripción de un problema •Por ejemplo: ejercicio 4 de la guía •Visualmente •Por ejemplo: ejercicio 2 de la guía

•Por ejemplo: ejercicio 24 a) y b) de la guía.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

f : A  B / y  f ( x)

Cuando presentamos una función lo tenemos que hacer con sus tres elementos: , es decir indicar A, B y su regla de correspondencia y = f(x). Pero es muy común SOLO DAR LA REGLA DE CORRESPONDENCIA, en este caso nosotros tenemos que determinar el dominio de la función. Como convención tomamos como dominio al conjunto de todos los números reales para los cuales dicha asignación está bien definida (se puede hacer como operación). RESTRICCIONES AL DOMINIO: las más comunes son: -

Los denominadores: deben ser distintos de cero, ya que la división por cero no existe Las raíces de índice par: el argumento de las raíces debe ser mayor o igual a cero, ya que no existen las raíces pares de números negativos en el campo de los números reales. Los logaritmos: El valor o la expresión afectado/a por un logaritmo debe ser mayor a cero.

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I UNIDAD 1: FUNCIONES

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PRIMER CUATRIMESTRE 2016

Funciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecantes: excluir puntos de denominador cero.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES SEGÚN LA IMAGEN

INYECTIVA SOBREYECTIVA

BIYECTIVA

•Cuando NO hay dos valores de “x” distintos que tengan la misma imagen “y”. •Gráficamente: si dibujamos rectas horizontales, tienen que cortar la gráfica SÓLO en un punto como máximo.

•Cuando NO hay ningún elemento de “y” que no sea imagen de ninguno de “x”. •Gráficamente: si dibujamos rectas horizontales, éstas tienen que cortar a la gráfica en un punto SIEMPRE.

•Cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez. •Si una función es biyectiva tiene INVERSA

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES SEGÚN LA SIMETRÍA

PAR IMPAR SIN PARIDAD

•Tienen simetría con respecto al eje “Y” •Condición: 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥)

•Tienen simetría respecto al origen •Condición: 𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥)

•Aquellas que no tienen simetría.

INTERVALOS DE POSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD CONJUNTO DE POSITIVIDAD: los intervalos de la variable independiente “x” en los que la imagen de la función es positiva. 𝐼+ = {𝑥 ∈ ℜ⁄𝑓(𝑥) > 0} CONJUNTO DE NEGATIVIDAD: los intervalos de la variable independiente “x” en los que la imagen de la función es negativa. 𝐼− = {𝑥 ∈ ℜ⁄𝑓(𝑥) < 0}

RAÍCES DE LAS FUNCIONES O CONJUNTO DE CEROS Los puntos en los que la función no es positiva ni negativa, sino que valen “0”, se llaman RAÍCES.

{𝑥 ∈ ℜ⁄ 𝑓(𝑥) = 0}

INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO INTERVALO DE CRECIMIENTO: el intervalo de la variable “x” en los que la función CRECE. (Los valores de “y” van aumentando). INTERVALO DE DECREIMIENTO: el intervalo de la variable “x” en los que la función DECRECE. (Los valores de “y” van disminuyendo)

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