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Instituto Tecnológico de Torreón

CÁLCULO DIFERENCIAL Tarea primera unidad

INSTRUCCIONES: En las siguientes proposiciones investiga en los apuntes de la asignatura las respuestas de la parte teórica y anótalo en el espacio correspondiente y en la parte práctica comprueba con operaciones la respuesta proporcionada. Si una proposición, ya sea teórica o práctica, no tiene respuesta o no está comprobada la calificación será de cero, caso contrario será de diez.

Catedrático: MIGUEL ALBERTO FLORES ACOSTA

Instituto Tecnológico de Torreón 1. Números Reales y Desigualdades. 1.1. Números Reales. 1.1.1. La recta numérica. 1.-Es un sistema de coordenadas en donde los números reales pueden representarse. 2.- Interprete geométricamente la siguiente figura: a

b

c

3.- Determina el orden en la recta numérica de los números -6 y -2. 4.- Ordena lo tres números reales: 2/3, √2, -4. 1.1.2. Los Números Reales. 1.- Es un número que puede expresarse como el cociente de dos números enteros. 2.- Un número real es _________ si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. 3.- Relaciona la cantidad de la izquierda con su respectiva clasificación de la derecha. 1. 5/3 2.

√2

3. -7

a. Entero b. Racional c. Irracional d. Natural

4. - Es un subconjunto de los números reales que se define con la notación: Q = {a/b; a ε Z, b ε Z, b ≠ 0}.

Instituto Tecnológico de Torreón 5. Identifica la simbología utilizada en los números reales con su correspondiente concepto. 1. Z 2. Q 3. N 4. R

a. Naturales b. Enteros c. Racionales d. Reales

1.1.3. Propiedades de los Números Reales: Tricotomía, Transitividad, Densidad y Axioma del supremo. 1.- Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces a+b= b+a y ab=ba, a esta propiedad se le conoce como: 2.- Propiedad de los números reales que dice: “Sumar 0 a cualquier cantidad produce la misma cantidad”. 3.- Propiedad de los números reales que dice: “No importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo; se representa por: (x + y) + z = x + (y + z)”. 4.- Propiedad de los números reales que dice: “Sumar una cifra y su inverso da 0; se representa por: a + (-a) = 0”. 5.- Sea a, b, c, y d números reales, si a < b y b < c entonces:

1.2. Desigualdades y Valor Absoluto. 1.2.1. Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.- ¿Cómo se representa el siguiente intervalo: es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b, donde a y b son los extremos del intervalo.

2.- El intervalo cerrado se define como: 3.- El intervalo semiabierto por la izquierda es: 4.- Es un intervalo no acotado abierto.

Instituto Tecnológico de Torreón 5.- ¿Cuál es la representación de la Recta real en notación de intervalos?

1.2.2. Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita. 1.- Resuelva la siguiente desigualdad -2x-1 > -2 Respuesta: (-∞,1/2) 2 . Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad 2 3x – x – 2> 0 Respuesta: (-∞, - 2/3) U(1, + ∞) 3. Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad: 6x + 3 ≥ 21 Respuesta: x ≥ 3 4. Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad: x² - 2x – 15 ≤ 0 Respuesta: -3 ≤ x ≤ 5 5. Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad: x² – x – 2 ≥ 0 Respuesta: (- ∞, -1] U [2, + ∞) 1.2.3. Valor absoluto y sus propiedades. 1.- Sean a y b números reales y sea n un entero positivo. Relaciona la columna de la izquierda con su igualdad de la derecha. a.

√ a2

2.

|ab| |a|

b.

|a||b|

3.

|a n|

c.

|a|n

1.

d.

an

2.- ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones sobre las propiedades de desigualdades son verdaderas?. I. II. III.

−|a|≤ a≤|a| |a|≤k si y sólo si k≥|a| si y sólo si

−k ≤a ≤k k ≤aoa≤− k

Instituto Tecnológico de Torreón 3.- Sean a, b, c, d y k números reales, ¿cuál es la propiedad transitiva de las desigualdades? 4.- Sean a, b, c, d y k números reales, ¿cuál es la propiedad del producto por una constante positiva de las desigualdades? 5.- Sean a, b, c, d y k números reales, ¿cuál es la propiedad del producto por una constante negativa de las desigualdades?

1.2.4. Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto. 1.- Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad | x-3 | ≤ 2 Respuesta: [1, 5] 2.- El resultado | 3x - 4 | ≤ 7 Respuesta: [ -1, 11/3] 3.- El resultado | 2 - 5x | < 3 es: Respuesta: (-1/5, 1) 4.- Encuentra todos los números reales que satisfagan la desigualdad:

x−1 x+2...