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Unidad Nº 2: “Trigonometría”

Área: Matemática

Teoría: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS: REPRSENTACIÓN GRÁFICA Veremos la representación gráfica de las funciones seno, coseno y tangente de un ángulo. Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x, tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada cierta cantidad de radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma, a lo cual se llama “periodo”. La extensión sobre el eje de y se conoce como “amplitud”. El modelo de las gráficas de las funciones trigonométricas se obtiene evaluando la función para ángulos que forman una revolución completa. Veamos cada función particular en detalle:

Gráfica de la función Seno de un ángulo: La notación

, generalmente indica que está expresada en radianes. Entonces se

debe recordar que todo ángulo expresado en grados puede convertirse en radianes y viceversa. Es por ello que, primeramente, debemos convertir los ángulos expresados en grados a ángulos expresados en radianes y luego ir determinando los valores de la función A continuación se ubican, sobre el eje horizontal “x”, las medidas angulares (preferentemente las expresadas en radianes), y en el eje vertical, su valor correspondiente para “Y”. Por último, se unen los puntos consecutivos y se obtiene la gráfica de la función

.

La curva que representa gráficamente a la función seno se denomina: senoide o sinusoide

Profesora: Giuliana Ruloni

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Unidad Nº 2: “Trigonometría”

Área: Matemática

Características de 

Dominio: es el conjunto de números reales (R).



Amplitud: esta función está acotada entre 1 y -1. Entonces su amplitud es 1.



Período: es , es decir ue la senoide “repite el ciclo” cada



Raíces: la función corta al eje x en todos los puntos



Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica.



El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (



El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas ( , -1).



Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).

o

, siendo un nº entero.

).

Para resumir:

Gráfica de la función Coseno de un ángulo: El proceso para construir la gráfica de la función

es el mismo que para realizar la

gráfica de la función seno. La curva que representa gráficamente a la función seno se denomina: cosinusioide

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Unidad Nº 2: “Trigonometría”

Área: Matemática

Características de 

Dominio: es el conjunto de números reales (R).



Amplitud: esta función está acotada entre 1 y -1. Entonces su amplitud es 1.



Período: es , es decir que la cosinusoide “repite el ciclo” cada



Raíces: la función corta al eje x en todos los puntos



Los puntos máximo del ciclo fundamental tienen coordenadas: (0; 1) y (



El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas ( , -1).



Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).

o

, siendo un nº entero. ).

Gráfica de la función Tangente de un ángulo: El proceso para construir la gráfica de la función

es el mismo que para realizar la gráfica

de la función seno. Podemos observar que para las medidas de ángulos de

sus valores “Y” en la función

no están definidos. Entonces en esos valores va a tener asíntotas.

Características de 

Dominio: El dominio de la función tangente no es “todo el conjunto de los números Reales” ya ue hay valores de “x” ue no tienen un correspondiente sobre el eje “Y” , así ue esos valores se deben excluir del dominio. Entonces: Dom Tg(x )=



Período: es

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Amplitud: esta función no está acotada, entonces la amplitud es infinita. Es el conjunto de todos los números reales (R)



Raíces: la función corta al eje “x” en todos los punto s



Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).



Tiene asíntotas en el ciclo. Asíntotas:



No tiene punto máximo ni punto mínimo.

, siendo un nº entero.

COEFICIENTES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Esto nos sirve para poder graficar cualquier función trigonométrica una vez conocida la gráfica característica de esa función. 

Funciones del tipo

= Modifica el período

Modifica la amplitud de la onda Veamos que significa cada parámetro:  Amplitud ( ): Indica la amplitud de la función y es la semidistancia entre el máximo y el mínimo de la función.

-

Cuanto más grande es , más se “estira” la función.

-

Cuanto más chica es , la función se “aplasta”

Ejemplos: Sea

,

Conjunto imagen: [-1 ; 1]

Sea

Conjunto imagen: [-2; 2]

Sea

Conjunto imagen: [-1; 1]

Sea

Conjunto imagen: *

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 Periodo ( ): modifica el periodo (duración de un ciclo) de la función sin modificar su amplitud.

-

Cuanto más grande es , el periodo se “acorta” más

-

Cuanto más chico es , el periodo se “alarga”

Ejemplos: Sea

,

Periodo:

Sea

Periodo: Periodo:

Periodo: (

Sea

)

Sea

Periodo: Periodo:

Periodo: Periodo:

Veamos un ejemplo para graficar una función según sus coeficientes: -

Graficar:

Entonces:

y

, la gráfica de la función se va a aplastar un poco más que la gráfica característica de la función coseno.

, el período de la gráfica de esta función se reduce a un cuarto respecto del periodo de , entonces el periodo de esta función va a ser

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1º Partimos de la gráfica de

2º Reducimos el periodo a la cuarta parte. En lo que antes era el periodo “ ” entraba una curva, ahora en “ ” entran 4 curvas.

3º Reducimos el conjunto imagen a [

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ya que la función se “aplasta”

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Actividad: 24. Ubicar que gráfico corresponde a cada función:

a.

b.

(

)

c.

25. Graficar y analizar las siguientes funciones: a. b. c.

(

)

26. La función representada es del tipo

. Indicar su fórmula, su periodo y

amplitud:

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