Funciones Trigonométricas Inversas PDF

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Sabemos que para una función cualquiera tenga función inversa, es necesario que la función sea inyectiva, es decir, una función en la que a cada valor de su conjunto X (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto Y (codominio) de f, en otras palabras, una función f es inyectiva si se cumple: f(x) = f(y), x = y. Para comprobar gráficamente si una función es inyectiva aplicamos el criterio de la recta horizontal. Esto es, si trazamos líneas rectas horizontales sobre la función y observamos si éstas atraviesan en un único punto de la función. Si la cortan en mas de un punto entonces la función no es inyectiva y por consiguiente no tiene inversa. Como las seis funciones trigonométricas son periódicas entonces ellas no tiene inversa.

DEFINICIÓN Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente). Las razones trigonométricas no son funciones Inyectivas (Uno-a-Uno), por lo que no son invertibles. Para que sean invertibles o tengan inversa es necesario restringir su dominio y así poder hallar la función inversa. Sin embargo, podemos “obligarlas” a que las tengan restringiendo su dominio y así verlas como una sola función. Las funciones trigonométricas inversas son: Arcoseno Arcocoseno Arcotangente Analicemos la función

Y=SENX

Si restrinjamos el dominio de sin(x) a [-π/2, π/2] y dejemos su rango igual [-1, 1]. Ahora, algebraicamente podemos hablar de la inversa del seno que es hablar del arco-seno.  La función es continua y creciente en todo el dominio. 

y=f ( x ) =senx f −1 ( x ) =arcsenx = se n−1 x

x y=senx

-π/2 -1

0 π/2 01

x −1

y=se n x

-1 -π/2

0 0

1 π/2

El valor del dominio de y=sin(x) es ahora el rango del x= arc sen(y) y el valor del rango es el valor del dominio de x=arc sen(y). ARCO-SENO . (Función inversa del seno) El arco-seno es la función inversa del seno. Es decir: Si y=arc ( senx ) , entonces x=seny

Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir: arcsen ( senx )=x

y

senarc ( senx )=x

Su abreviatura es arcsenx o bien sen-1x. Aplicando la propiedad de simetría, cambiamos x~y, por lo tanto podemos escribir −1 −1 f ( x ) =senx y f ( x )=arcsen x=se n x

De manera similar podemos definir la inversa del resto de las funciones trigonométricas. TOMEMOS AHORA LA FUNCIÓN Y=COSX Si restrinjamos el dominio de y=cos(x) a [0, π] y dejemos su rango igual [-1, 1]. Ahora podemos hablar de la inversa del coseno que es hablar del arco-coseno. La función es continua y decreciente en todo el dominio. y = cos x

y =f ( x )=cos x f −1 (x )=arc cos x

TOMEMOS AHORA LA FUNCIÓN Y=TANX Si restrinjamos el dominio de y=Tan(x) a (

−π π , 2 2 )

y dejemos su rango

igual (−∞ ,+∞ ) . Ahora podemos hablar de la inversa de la función tangente es decir arco-tangente. La función es continua y creciente en todo el dominio Y = TAN X

ARC-TANGENTE. (Función inversa de TANGENTE) La arc-tangente es la función inversa de la tangente. Es decir: Si y=arc ( Tanx ), entonces x=Tany

Al ser la arc-tangente y la tangente funciones inversas, su composición es la identidad, es decir: arc tan ( tan x )=x y tan (arctan x)=x

Su abreviatura es arctan o tan-1.

y=Tanx y=arctan x=Ta n−1 x

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS  Reglas de derivación de las funciones trigonométricas inversas  Ejemplos de derivadas de funciones trigonométricas inversas TEOREMA: Para u=f(x) una función derivable, se tiene que du 1. Si f ( x )=arcsenu , entonces d arcsenu= 1 2 dx √ 1−u dx d −1 du 2. Si f ( x )=arccosu , entonces arccosu= dx √ 1−u 2 dx

1 du d arc tan u= dx 1+ u2 dx d −1 du 4. Si f ( x )=arccotu , entonces arccotu= dx 1+u2 dx 1 d du 5 . Si f ( x ) =arcse c u , entonces arcse c u= 2 dx u √1−u dx d −1 du 6. Si f ( x )=arccosecu , entonces arccosecu= dx u √ 1−u 2 dx 3 . Si f ( x ) =arc tan u , entonces

EJEMPLO Resuelva las derivadas de las siguientes funciones 1. y=5 arcsen 2 x

( x2 )

2.

y = x 2 arcsen

3.

y=se c−1 (x 2−1)

4.

y=

1 x arc tan a 2a

5.

y=

arc tan x −ln x

6.

y=co s

7.

y=arcsen(e 2 x )

8.

y=co t−1 (tan x)

9.

y=2 t arcsen (2 t ) −√ 1−4 t

()

−1

(√ ) x

1+ x 2

√ 1−x 2

10. y=e−2 t arcsen (e 2t )

2...