Matrizes Inversas - Inversao de matrizez PDF

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Geometria Analítica e Álgebra Linear

4. Inversão de Matrizes e Determinantes

4.1.

Matriz Inversa

Todo número real a, não nulo, possui um inverso (multiplicativo), ou seja, existe um número b, tal que a b = b a = 1. Este número é único e o denotamos por a-1. Apesar da aritmética matricial ser semelhante a aritmética dos números reais, nem todas as matrizes A não nulas possuem inversa, ou seja, nem sempre existe uma matriz B tal que AB = BA = In. De início, para que os produtos AB e BA estejam definidos e sejam iguais, é preciso que as matrizes A e B sejam quadradas. Portanto, somente as matrizes quadradas podem ter inversa, o que já diferencia do caso dos números reais, onde todo número não nulo tem inverso. Mesmo entre as matrizes quadradas, muitas não possuem inversa. Definição Uma matriz quadrada A = (aij)n x n é chamada não singular (ou invertível), se existe uma matriz B = (bij)n x n tal que (4.1)

AB = BA = In.

onde In é a matriz identidade. A matriz B é chamada de inversa de A. Se A não tem inversa, dizemos que A é singular (ou não invertível).

Ex.: 4.1

Considere as matrizes   2 1 A   0 3

e

  1 2 1 6 B 1 3  0

Como A B = B A = I2 Concluímos que a matriz B é a inversa da matriz A e que A é não singular.

Teorema 4.1. Se uma matriz A = (aij)n x n possui inversa, então a inversa é única.

Demonstração Suponha que B e C sejam inversas de A. Então,

AB = BA = In = AC = CA

e assim, B = B In = B(AC) = (BA)C = InC = C . 01 de fevereiro de 2010

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Geometria Analítica e Álgebra Linear De agora em diante, representaremos a inversa de A, quando ela existe, por A-1. Assim, AA-1 = A-1A = In

Obs.:

Devemos chamar atenção para o fato de que o índice superior -1 não significa uma potência, tão pouco uma divisão. Assim como no caso da transposta, em que AT significa a transposta de A, aqui, A-1 significa a inversa de A.

Ex. 4.2

Seja

1 2  A  3 4 

Para acharmos A-1, fazemos a b  A 1    c d Devemos então ter 1 0  1 2  a b   I2    AA 1      0 1  3 4  c d  de maneira que  a  2c b  2d  1 0 3a  4c 3b  4d   0 1    

Igualando os coeficientes correspondentes destas duas matrizes, obtemos os sistemas lineares  a  2c  1  3a  4c  0 a  2

As soluções são (verifique isto):

 b  2d  0  3b  4 d  1

e

b 1

3 2 1 d  2 c

Além disso como a matriz 1  a b    2 c d   3 2  1 2     também satisfaz a propriedade de que

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Geometria Analítica e Álgebra Linear 1  1 2 1 0  2 3 2  1 2   3 4  0 1 ,       concluímos que A é não singular (invertível) e que 1   2 A 1    3 2  1 2  Nem toda matriz tem uma inversa, como pode ser visto no exemplo seguinte

Ex. 4.3

Seja 1 2  A  2 4  para acharmos A-1, fazemos a b   A1  c d Devemos então ter 1 0  1 2 a b  AA 1    I2       0 1  2 4 c d  de maneira que  a  2c b  2d   1 0 2a 4c 2b 4d   0 1       Igualando os coeficientes correspondentes destas duas matrizes, obtemos os sistemas lineares  a  2c  1   2 a  4c  0

e

 b  2d  0  2b  4d  1

Estes sistemas lineares não têm soluções, de maneira que A não tem inversa. Assim, A é uma matriz singular.

Obs.:

O método usado no Exemplo 4.2 para achar a inversa de uma matriz não é muito eficiente. Nós o modificaremos em breve, obtendo um método mais rápido. Demonstraremos antes algumas propriedades das matrizes.

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4.1.1. Propriedades da Inversa Operações com matrizes inversas aparecem sempre que se deseja obter soluções de sistemas de equações lineares ou manipulações de matrizes que facilitem a visualização de futuras soluções. O quadro abaixo fornece as duas operações mais comuns. Quadro 4.1 – Operações mais comuns envolvendo matrizes inversas Operação Matriz inversa da (matriz) inversa de uma matriz

Matriz inversa de um produto de matrizes

Notação Simbólica

Demonstração -1 Fazendo G = (A ) , donde, G = A e -1 -1 -1 -1 GG = A (A ) = I -1 Mas, A A = I; portanto, comparando as duas últimas expressões: -1 -1 -1 -1 A (A ) = A A, ou, -1 -1 -1 A [(A ) - A] = 0, -1 -1 -1 donde, (A ) = A, pois A  0 -1 Fazendo G = ( AB) , tem-se: G AB = I. Efetuando um -1 -1 -1 produto à direita por B , obtem-se: G ABB = IB  -1

-1 -1

(A ) = A

(AB)

-1

-1

=B A

-1

-1

-1 -1

-1

G AI = B  G A= B . Efetuando outro produto por -1 A , chega-se a: -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 G AA = B A  G I = B A  G = B A , ou: (AB) 1 -1 -1 =B A . Quadro 4.1

Teorema 4.2. a) Se A é uma matriz não singular (invertível), então A-1 também é não singular e (A-1)-1 = A ; b) Se A e B são matrizes não singulares (invertíveis), então AB é não singular e (AB)-1 = B-1A-1 ; c) Se A é uma matriz não singular (invertível), então AT também é não singular e (AT)-1 = (A-1)T .

Demonstração Se queremos mostrar que uma matriz é a inversa de uma outra, temos que mostrar que os produtos das duas matrizes são iguais a matriz identidade. a) Uma matriz B é a inversa de A-1 se A-1B = BA-1 = In . Mas, como A-1 é a inversa de A, então AA-1 = A-1A = In . Como a inversa é única, então B = A é a inversa de A-1, ou seja, (A-1)-1 = A.

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Geometria Analítica e Álgebra Linear Temos que mostrar que a inversa de AB é B-1A-1, ou seja, mostrar que os produtos (AB)(B-1A-1) e (B-1A-1)AB são iguais a matriz identidade. Mas, (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AInA-1 = AA-1 = In e (B-1A-1)AB = B-1(A-1A)B = B-1InB = B-1B = In . Então, AB é não singular. Visto que a inversa da matriz é única, nós concluímos que (AB)-1 = B-1A-1 b) Nós temos AA-1 = In e A-1A = In Tomando a transposta, nós obtemos (AA-1)T = InT = In

e

(A-1)TAT = In

e

(A-1A)T = InT = In

e AT(A-1)T = In.

Estas equações implicam que (AT)-1 = (A-1)T .

Ex.: 4.4

1 2  Se A   , 3 4 

então do exemplo 2 1   2 A1     3 2  1 2

e

A 

1 T

 2 3 2   .  1  1 2

além disto, verifique  1 3 AT    e 2 4

A 

T 1

 2 3 2     1  1 2

Corolário Se A1, A2, …, Ar são matrizes não singulares n  n, então Se A1, A2, …, Ar, é não singular e (A1 A 2  Ar ) 1  Ar1 Ar11  A11 . Anteriormente, dissemos que uma matriz B é inversa de A se AB = BA = In. O teorema seguinte, cuja demonstração será omitida, garante que basta verificarmos uma das duas igualdades em (4.1) para sabermos se uma matriz é a inversa de outra. 01 de fevereiro de 2010

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Teorema Sejam A e B matrizes n  n. a) Se AB = In, então BA = In; b) Se BA = In, então AB = In.

4.1.2. Método para Inversão de Matrizes A demonstração do próximo teorema fornece uma maneira de encontrar a inversa de uma matriz, se ela existir. O exemplo seguinte faz o mesmo no caso particular em que a matriz é 2  2. Ex.: 4.5

a b  x y  Seja A    . Devemos procurar uma matriz B    tal que AB = I2. c d   z w ou seja, ax  bz cx  dz    

 1  0 ay  bw  0 cy  dw  1

Este sistema pode ser desacoplado em dois sistemas independentes que possuem a mesma matriz, que é a matriz A. podemos resolve-los simultaneamente. Para isto, basta escalonarmos a matriz aumentada a c 

b 1 0  A I 2  . d 0 1

Os dois sistemas têm solução única se, e somente se, a forma escalonada da matriz 1 0 s t  [A|I2] for da forma  I 2 S    (verifique, observando o que acontece se a  0 1 u v forma escalonada reduzida da matriz A não for igual a I2). Neste caso, x = s, z = u e s t  y = t, w = v, ou seja, a matriz A possuirá inversa, A 1  B  S   . u v 

O teorema seguinte oferece uma maneira de sabermos se uma matriz possui inversa e sua demonstração mostra como encontrar a inversa, se ela existir. Teorema Uma matriz A, n  n, é invertível se, e somente se, A é equivalente por linhas à matriz identidade In.

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Geometria Analítica e Álgebra Linear Demonstração Pelo teorema, para verificarmos se uma matriz A, n  n, é invertível, basta verificarmos se existe uma matriz B, tal que A B = In . Vamos denotar as colunas de B por X1, X2,..., Xn, ou seja, B = [ X1,..., Xn ], onde

 x 11  x  21 X1   ,      x n1 

 x12  x  22 X2    , … ,       xn 2 

 x1n  x  X n   2n        x nn 

Vamos denotar as colunas da matriz identidade In, por E1, E2,..., En. Desta forma,  1  0 E1    ,      0

E 21

 0  1   ,      0

... ,

 0  0 En         1

A j-ésima coluna do produto AB é igual a AXj. Assim, analisando coluna a coluna a igualdade matricial A B = In vemos que encontrar B é equivalente a resolver n sistemas lineares A Xj = Ej

para j =1..., n.

Cada um dos sistemas pode ser resolvido usando o método de Gauss-Jordan. Para isso, formaríamos as matrizes aumentadas [A | E1], [A | E2],...,[A | En]. Entretanto, como as matrizes dos sistemas são todas iguais a A, podemos resolver todos os sistemas simultaneamente formando a matriz n x 2n [A | E1 E2...En] = [A | In] . Transformando [A | In] na sua forma escalonada reduzida, que vamos denotar por [R | S], vamos chegar a duas situações possíveis: ou a matriz R é a matriz identidade, ou não é. Se R = In, então a forma escalonada reduzida da matriz [A | In] é da forma [R | S]. Se escrevemos a matriz S em termos das suas colunas S = [S1 S2 ... Sn], então as soluções dos sistemas A Xj = Ej são Xj = Sj e assim B = S é tal que AB = In e pelo teorema 2.3 A é invertível. Se R  In, então a matriz A não é equivalente por linhas à matriz identidade In. Neste caso, R terá pelo menos uma linha nula. O que implica que cada que os sistemas A Xj = Ej não tenha solução única. Isto implica que a matriz A não tem inversa, pois as colunas da (única) inversa seriam os Xj, para j = 1, ..., n.

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Geometria Analítica e Álgebra Linear Obs.:

Da demonstração do teorema anterior obtemos não somente uma forma de descobrir se uma matriz A tem inversa mas também, como encontrar a inversa, no caso em que ela exista. Ou seja, escalonamos a matriz [A | In] e encontramos a sua forma escalonada reduzida [R | S]. Se R = In, então a matriz A é invertível e a inversa A-1 = S. Caso contrário, a matriz A não é invertível. Vejamos os exemplos seguintes.

Ex. 4.6

Vamos encontrar, se existir, a inversa de

1 2 3  A  1 1 2  0 1 2  Para isso devemos escalonar a matriz aumentada

 1 2 3 1 0 0  A I 3    1 1 2 0 1 0   0 1 2 0 0 1  1ª eliminação: O pivô da 1a linha é igual a 1. Logo, precisamos apenas “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 2ª linha, –1 vezes a 1ª linha.

–1

 1ª linha + 2ª linha  2ª linha

   

1 2 3 1 0 0 0  1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 1

   

2ª eliminação: Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1a linha da matriz. Escolhemos como pivô um elemento não nulo da 1a coluna não nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posição 2,2 . Como temos que “faze-lo” igual a 1, multiplicamos a 2a linha por –1.

–1 

2ª linha  2ª li h

 1 2 3 1 0 0  0 (1) 1 1  1 0    0 1 2 0 0 1

Precisamos “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 1ª linha, –2 vezes a 2ª e à 3ª linha, somamos –1 vezes a 2ª. –2  2ª linha + 1ª linha  1ª linha –1  2ª linha + 3ª linha  3ª linha

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   

1 0 1 0 1 1 0 0 (1)

1

2 0 1 1 0 1 1 1

   

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Geometria Analítica e Álgebra Linear 3ª eliminação: Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se as duas primeiras linhas. Escolhemos para pivô um elemento não nulo da primeira coluna não nula da submatriz. Este elemento é o elemento de posição 3,3. Como ele é igual a 1, precisamos apenas “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 1ª linha, –1 vezes a 3ª linha e somamos à 2ª linha, –1 vezes a 3ª.

1  1 1 0 0 0 0 1 0 2  2  1   0 0 1  1 1 1 

–1  3ª linha + 1ª linha  1ª linha –1  3ª linha + 2ª linha  2ª linha

Assim, a matriz [A | I3] é equivalente por linhas à matriz acima, que é da forma [I3 | S], portanto a matriz A é não singular (invertível) e a sua inversa é a matriz S, ou seja,

1  1 0  A  2  2  1   1    1 1 1

Ex. 4.7

Vamos determinar, se existir, a inversa da matriz

1 2 3  A  1 1 2    0 1 1  Para isso devemos escalonar a matriz aumentada

 1 2 3 1 0 0  A I 3   1 1 2 0 1 0  0 1 1 0 0 1 1ª eliminação: O pivô da 1ª linha é igual a 1. Logo, precisamos apenas “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 2ª linha, a –1 vezes a 1ª linha.

–1  1ª

linha + 2ª linha  2ª linha

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   

1 2 3 1 0 0 0  1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1

   

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Geometria Analítica e Álgebra Linear 2ª eliminação: Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1ª linha da matriz. Escolhemos como pivô um elemento não nulo da 1ª coluna não nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posição 2,2. Como temo que “faze-lo” igual a 1, multiplicamos a 2ª linha por –1. –1

   

 2ª linha  2ª linha

1 2 3 1 0 0 0 (1) 1 1  1 0 0 1 1 0 0 1

   

Precisamos “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 1ª linha, –2 vezes a 2ª e à 3ª linha, somamos –1 vezes a 2ª. –2  2ª linha + 1ª linha  1ª linha –1  2ª linha + 3ª linha  3ª linha Obs.:

1 0 1  1 2 0  0 1 1 1  1 0    0 0 0  1 1 1 

Assim, a matriz [ A | I3] é equivalente por linhas à matriz acima, que é da forma [R | S], com R  I3. Assim, a matriz A não é equivalente por linhas à matriz identidade e portanto não é invertível.

4.1.3. Sistemas Lineares e Inversas Se um sistema linear A X = B tem o número de equações igual ao número de incógnitas, então o conhecimento da inversa da matriz do sistema A-1, reduz o problema de resolver o sistema a simplesmente fazer um produto de matrizes, como está enunciado no próximo teorema.

Teorema Uma matriz A n  n é não singular se e somente se for equivalente por linhas a In. O sistema associado AX = B tem solução única se, e somente se, A é invertível. Neste caso a solução é X = A-1B.

Demonstração Se A é uma matriz n  n, então o sistema linear AX = B é um sistema de n equações e n incógnitas. Suponha que A é não singular (invertível). Então A-1 existe e podemos multiplicar AX = B por A-1 em ambos os lados, obtendo A-1(A X) = A -1B -1 (A-1A)X = A B

InX = A -1B X = A-1B.

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Geometria Analítica e Álgebra Linear Aqui foram usadas as propriedades da álgebra matricial. Portanto, X = A-1B é a única solução do sistema A X = B. Por outro lado, se o sistema A X = B possui solução única, então a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema [A | B] é da forma [R | C], onde R = In. Pois a matriz A é quadrada e caso R fosse diferente da identidade possuiria uma linha de zeros o que levaria a que o sistema A X = B ou não tivesse solução ou tivesse infinitas soluções. Logo, a matriz A é equivalente por linhas à matriz identidade o que pelo teorema visto anteriormente implica que A é invertível.

Ex.: 4.8

Suponha que temos um processo físico em que para uma matriz de saída B, a matriz de entrada X é obtida pela solução do sistema A X = B.

Se a matriz A é a do

1 2 3 Exemplo 4.6: A  1 1 2   0 1 2

e as matrizes de saída são

 2  1   B  2 e C    5 , então as matrizes de entrada serão      3   3

1  1  1  0  X  A B  2  2  1   2        1 1 1   3  1

  1  5    4 

e

1  1  2    8 0  Y  A C  2  2  1    5   11  .         1 1 1   3   4 1

ou seja

 x1    1 X  x 2     5     x 3   4 

e

 y1   8  Y   y 2    11       y 3   4

Teorema Se A é uma matriz n  n, o sistema homogêneo (4.2)

AX = 0 tem solução não trivial ( 0) se, e somente se, A for singular (não invertível).

Ou seja, todo sistema homogêneo possui pelo menos a solução trivial. Pelo item anterior, esta será a única solução se, e somente se, A é invertível.

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Geometria Analítica e Álgebra Linear Demonstração Suponha que A é não singular. Então A-1 existe, e multiplicando ambos os lados de (4.2) por A-1, temos

A-1(A X) = A-10 (A-1A)X = 0 InX = 0 X =0

Portanto, a única solução de (4.2) é X = 0.

Ex.: 4.9

1 1 1 Considere o sistema homogêneo AX = 0, em que A  0 2 3 . Como A é não   5 5 1 singular, X = A-10 = 0.

Poderíamos resolver o sistema pelo método de eliminação de Gauss-Jordan. Neste caso vemos que a matriz em forma escalonada reduzida é equivalente por linhas à matriz aumentada do sistema dado,

1 1 1 0  0 2 3 0 ,   5 5 1 0 é

 1 0 0 0  0 1 0 0 ,    0 0 1 0 o que mais uma vez mostra que a solução é X = 0.

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Ex.: 4.9

 1 2  3 Considere o sistema homogêneo AX = 0, em que A é a matriz singular 1  2 1  .   5  2  3 Neste caso a matriz em forma escalonada reduzida que é equivalente por linhas à matriz aumentada do sistema dado,

 1 2  3 0  1  2 1 0 ,    5  2  3 0

e

1 0 0 1  0 0

1 0 1 0 , 0 0

e isso acarreta que

x    y   z    onde  é um número real qualquer. Assim, o sistema dado tem uma solução não trivial.

Teorema Podemos resumir nossos resultados sobre sistemas homogêneos e matrizes não singulares observando que as seguintes afirmativas são equivalentes:

Quadro 4.2 Lista de equivalências não singulares Os seguintes enunciados são equivalentes. 1. A é não singular 2. Ax = 0 tem somente a solução trivial 3. A é equivalente por linhas a In. Quadro 4.2

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