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MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMASLINEARES resumo sobre o conteudo, que serve como revisao para diversas materias relacionadas a gracficos...

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MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMASLINEARES

Na aula anterior estudamos o conceito de sistema linear e sua relação com as matrizes e determinantes. Nessa aula, voltaremos ao tópico dos Sistemas Lineares. (Coloque o título e faça em seu caderno tudo o que vem abaixo)

Interpretação geométrica e classificação dos Sistemas Lineares

Represente no plano cartesiano abaixo os sistemas lineares abaixo: a) { 3x − y = 10 2x + 5y = 1

Não lembra como fazer isso? Cada linha do sistema representa uma função afim, cujo gráfico é uma reta, certo? Olhe novamente o sistema. Quantos pares ordenados precisamos para desenhar uma reta? Então vamos construir uma tabela com dois pares ordenados para cada equação do sistema. Equação 1: xy 2 -4 3. 2 − y = 10 então y = −4 3 -1 3. 3 − y = 10 então y = −1

Marque no gráfico os pares (2,-4) e (3, -1) e represente a reta da equação 1. Agora faça o mesmo com a equação 2. Use cores diferentes para cada reta. Complete: As retas referentes às equações 1 e 2 se intersectaram num ponto de coordenadas ( , ). Agora, pelo método que preferir (adição ou substituição) resolva o sistema da letra a em seu caderno:

{

3x − y = 10 2x + 5y = 1

Quais os valores encontrados para x e y? ______________ Responda: Qual a relação desses valores encontrados para solução do sistema com o par ordenado que representa a intersecção dessas retas? _______________

O sistema acima possui solução única. Ele é denominado como Sistema Possível e Determinado (SPD). A escrita da solução desse sistema é: S = {( , )}. − − − −

− − − −

x

y

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Represente graficamente agora, como feito anteriormente, o sistema do item b e responda: b) { 2x + y = 4 4x + 2y = 2

(Faça as tabelas e represente as retas). Qual o ponto de intersecção entre elas?

Por que isso ocorreu?

Resolva esse sistema em seu caderno: {

2x + y = 4 4x + 2y = 2 .

O sistema acima não possui soluções. Ele é denominado como Sistema Impossível (SI). Sua solução é escrita assim:

S = { } ou S = ∅

Por fim, represente graficamente, como feito anteriormente, o sistema do item c e responda: c) { x−y=2 −2x + 2y = −4

(Faça as tabelas e represente as retas). Qual o ponto de intersecção entre elas?

Por que isso ocorreu?

Agora, pelo método que preferir (adição ou substituição) resolva o sistema da letra c em seu caderno: { x−y=2

−2x + 2y = −4 . O sistema acima possui infinitas soluções. Ele é denominado como Sistema Possível e Indeterminado (SPI). Sua solução é a mais difícil de ser escrita, pois ela fica dependente que uma variável, que chamados de variável livre. Assim:

S = {(n + 2, n), com n ∈ R}

Antes de explicar como chegaremos na escrita dessa solução, vamos ver se ela está correta: Teste valores para n: Se n=0 a solução seria (2,0). Teste-a no sistema acima e verifique se ela é, de fato, solução do sistema. Se n=-1 a solução seria (1,-1). Teste-a no sistema acima e verifique se ela é, de fato, solução do sistema. Escolha mais algum valor para n, determine a solução e teste-a no sistema.

Agora sim, vamos entender como a solução S = {(n + 2, n), com n ∈ R} foi formada. 1° passo: Sabemos que a solução de um sistema é do tipo (x, y). No lugar do y, coloque uma variável que representará um número real qualquer: n, k, α etc. 2° passo: Olhe seu sistema, escolha a equação mais simples e troque o y por n (ou a letra escolhida):

x − y = 2 ficará x − n = 2

3° passo: Isole o valor de x. Ficaria x = 2 − n. Ou seja, já temos o que escrever no lugar de x do nosso par ordenado. Par ordenado da solução: (2 − n, n) . Como n pode ser qualquer número real, finalizamos assim:

S = {(n + 2, n), com n ∈ R}

Para ver se você entendeu, determine o conjunto solução do sistema abaixo, que também possui infinitas soluções:

{ 2x − 6y = 8 3x − 9y = 12 Confira a resposta no final desse material .

Agora, prove que sua resposta está certa. Complete os pares ordenados, a partir de sua resposta encontrada e teste-a no sistema, para ver se o par ordenado formado será solução do mesmo. Se n=-2 o par será ( , ). Se n=0 o par será ( , ).

Vamos verificar o esquema abaixo que resume as três possibilidades de CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR:

Sistemas Lineares

Possível

Determinado

Indeterminado

Impossível (tem solução)

(não tem solução)

(a solução é única)

(infinitas soluções) “SPD”

“SPI”

“SI”

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Para saber:

Sistema Homogêneo Quando todos os elementos independentes de um sistema linear são iguais a zero, dizemos que este é um “sistema linear homogêneo”. Nesse tipo de sistema, a ênupla (0,0,0,...,0) é UMA das soluções, que chamamos de solução nula ou trivial. Além da trivial, um sistema homogêneo também pode ter outras soluções. Veja, por exemplo, o sistema:

{ 2x + 6y + 4z = 0 x − 2y − 8z = 0 3x + 5y − 2z = 0

É um SL homogêneo e a terna (0,0,0) é sua solução nula ou trivial. Esse sistema admite solução diferente da trivial. A terna (4,-2,1) também é solução, chamada não trivial.

Resolvendo sistemas Lineares de Ordem 3: Além do método da substituição (já visto no ano passado), veremos outros métodos para resolução de sistemas lineares. Um deles, é denominado como Regra de Cramer. Vejamos um exemplo. Vamos utilizar a Regra Cramer para resolver o sistema linear:

Nesse sistema acima temos, em resumo: Determinante Principal D: determinante da matriz incompleta do sistema (dos coeficientes).

Calcule o valor de D em seu material.

Determinante Parcial Dx

: determinante da matriz gerada a partir da matriz dos coeficientes quando eliminamos a coluna da variável x e, em seu lugar, colocamos a coluna dos termos independentes.

Calcule o valor de Dx em seu material.

Determinante Parcial Dy : determinante da matriz gerada a partir da matriz dos coeficientes quando eliminamos a coluna da variável y e, em seu lugar, colocamos a coluna dos termos independentes.

Calcule o valor de Dy em seu material.

Determinante Parcial Dz

: determinante da matriz gerada a partir da matriz dos coeficientes quando eliminamos a coluna da variável z e, em seu lugar, colocamos a coluna dos termos independentes.

Calcule o valor de Dy em seu material. Agora, para determinar os valores de x, y e z do sistema acima, faça as seguintes divisões:

x= Dx D ;y= Dy D ;z= Dz D . Logo, a solução desse sistema é: S = {( , , )}. Teste-a!

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Utilize a Regra de Cramer e resolva o seguinte sistema em seu caderno:

{ x + 2y − z = 0 3x − 4y + 5z = 10 x+y+z=1

Confira a resposta no final desse material .

Observação: A regra de Cramer também pode ser utilizada para resolver sistemas de ordem 2. Resolva o sistema abaixo pela Regra de Cramer.

{ 3x − 4y = 1 x + 3y = 9

Confira a resposta no final desse material .

Pense: Sabendo que as soluções obtidas por meio da Regra de Cramer vem das divisões

qual a condição para que possamos utilizar a Regra de Cramer na resolução de um sistema linear? Você consegue responder a essa pergunta com suas palavras?...