UNIDAD VI: DETERMINANTES PDF

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Resumen de la unidad para el final de la materia...

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UNIDAD VI: DETERMINANTES Definición: llamamos función determinante a la aplicación de las matrices cuadradas en R, de modo que la imagen de cada matriz es un número real que se obtiene formando todos los productos posibles de n elementos elegidos de entre los n² de la matriz dada, siempre que en cada producto haya un factor de cada fila y un factor de cada columna anteponiendo a cada producto el signo más o el signo menos según que las permutaciones que indican las filas y las columnas sean de clase par o de clase impar respectivamente. Notación: al determinante de una matriz cuadrada A lo denotaremos de la siguiente manera.

∣

… … ⋱ …

a11 a12 ∣A∣= a 21 a 22 ⋮ ⋮ a n1 a n2

∣

a1n a2n ⋮ a nn

∀ A∈R nxn

Diferencia entre matriz y determinante: mientras el determinante es un número unívocamente determinado por la imagen de una matriz, la matriz es una magnitud que no tiene valor numérico, sino que está caracterizada por sus elementos y la ubicación de los mismos en un cuadro de valores. Observaciones a tener en cuenta al momento de calcular un determinante: 1. Si dada una matriz cuadrada de orden n el determinante asociado es distinto de cero, o sea si la matriz es regular, significa que el rango de dicha matriz es n; es decir que tiene n vectores canónicos linealmente independientes. 2. Si el determinante asociado a una matriz cuadrada de orden n, es cero, es decir es una matriz singular significa que el rango de dicha matriz es menor a n. Los vectores son linealmente independientes y, al menos uno puede expresarse como combinación lineal de los restantes. Menor complementario: dada una matriz cuadrada de orden n, se denomina menor complementario de un elemento cualquiera aij al determinante asociado a la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fila que ocupa el lugar i y la columna del lugar j. Adjunto o co-factor de un elemento: el adjunto o co-factor de un elemento aij es igual a su menor complementario con signo positivo o negativo, según que la suma de los subíndices que indican su fila y columna sea par o impar. Sea a ij un elemento cualquiera de la matriz A tenemos que la fórmula para calcular el signo del adjunto i+ j

. De esta manera, si la suma de los subíndices i+j es par el signo sería positivo y negativo si la suma es: (−1) fuera impar. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea, también llamada regla de Laplace: el valo de un determinante es igual a la suma de los elementos de una línea multiplicados por sus adjuntos correspondientes Es decir, dada la matriz

(

)

∣

∣

a11 a12 a13 A3x3 = a 21 a22 a23 a31 a32 a33 cuyo determinante es

a11 a12 a13 ∣A∣= a21 a 22 a23 a31 a32 a33 si desarrollamos éste último

(a 11 a 22 a 33 +a12 a23 a31 +a 13 a 21 a 32 )−(a 13 a 22 a 31 + a12 a21 a33 +a11 a 23 a 32

quitamos los paréntesis

a 11 a 22 a 33 +a12 a23 a31 + a 13 a 21 a 32−a 13 a 22 a31 + a12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a3 extraemos factores comunes

a12 (a 23 a 31−a 21 a 33) +a a 13 (a21 a32 −a22 a 31 ) 11 (a 22 a 33 −a 23 a 32 ) + ⏟ ⏟ ⏟ ∣A11∣=∣−a11∣(−1)2

∣A12 ∣=∣−a12∣(−1)3

∣A13∣=∣−a13 ∣(−1)4

Entonces, podemos decir que:

a 11 (a22 a33− a23 a32 )+ a12 ( a23 a31 −a 21 a33)+a13 (a 21 a 32 −a 22 a 31 )=(−1)i + j a11∣A11∣+(−1 )i+ j a12∣A12∣+(−1)i + j a 13∣A13∣ Observación: siendo i constante y tomando j los valores de 1 a m el signo que lleva el co-factor de a ij es alternativamente más o menos. Propiedades de los determinantes: 1. Si se permutan filas por columnas y columnas por filas de una matriz, los correspondientes determinantes son iguales. 2. Si se permutan dos filas o dos columnas de una matriz, los correspondientes determinantes son opuestos. 3. El determinante de toda matriz que tenga dos filas o dos columnas idénticas es nulo. 4. Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz por un mismo número λ el determinante correspondiente queda multiplicado por λ . 5. El determinante de una matriz es nulo si los elementos de una línea son proporcionales a los correspondientes de otra paralela a ella. 6. La suma de los productos de los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por los adjuntos de los elementos correspondientes de una paralela a ella es cero. 7. Si una línea de una matriz es el vector nulo, su determinante es cero. 8. Si los elementos de una línea de una matriz son polinomios de m términos, puede descomponerse e determinante correspondiente en suma de m determinantes que tienen las mismas restante líneas y en luga de aquélla, la formada por los primeros sumandos, por los segundos,..., y por los m-ésimos respectivamente. 9. El determinante de una matriz no varía si a una línea se le suma una combinación lineal de otras. Regla de Chio: El proceso consiste en elegir una columna o una fila que tenga el mayor número de ceros. Si en un mismo determinante hay, por ejemplo, una columna y una fila con dos ceros cada una se elige entre ellas a la que tenga e mayor números de unos para facilitar el cálculo. Luego de elegida la fila o columna elegimos un pivote, preferentemente un uno. Con el método de Gauss-Jordan y haciendo uso de ese pivote hacemos ceros el resto de elementos de la línea elegida (fila o columna). Luego lo que nos quedaría sería una matriz (sin la fila y columna de i+ j

pivote) multiplicada por a ij (−1)

. Este proceso puede repetirse hasta que nos quede una matriz de orden 2,

pudiendo a ésta resolverla por Sarrus de una manera bastante sencilla. Calculo del rango de una matriz aplicando determinantes: Para calcular el rango de una matriz se debe tener en cuenta las siguientes reglas. 1. Si ∣A∣=0 entonces el rango de A va a ser igual al número del orden menor. Por ejemplo dada la matriz A3x4 el rango será 3.

2. Si ∣A∣≠0 entonces el rango de A va a ser menor al número del orden menor. Por ejemplo, en la matriz anterior sería menor o igual a dos. 3. Si ∣A∣≠0 debemos tomar una matriz de orden menor a A, calcular el determinante de la matriz extraída de A y tener en cuenta las primeras dos reglas. 4. Continuar el procedimiento hasta que el determinante sea 0 y tener en cuenta que el orden mínimo de una matriz no nula es 1. Matriz cofactor o adjunta: dada una matriz cuadrada A, llamamos matriz cofactor de A, a la matriz que se obtiene al reemplazar cada elemento de A por su respectivo cofactor. Se denotará como cA o Adj(A)....