Unidad I; Matrices y determinantes PDF

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Matrices y determinantes...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN FACULTAD DE FILOSOFIA, HUMANIDADES Y ARTES DEPARTAMENTO DE FISICA Y DE QUIMICA Carreras: PROFESORADO EN FISICA. PROFESORADO EN QUIMICA Cátedra: ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALITICA Curso: Primer Año Ciclo Lectivo: 2017 Unidad I:

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Se suele llamar matriz al conjunto ordenado de números (elementos), dispuestos en filas y en columnas, que forman una tabla. Ejemplo: Posiciones: Torneo Clausura Equipos Boca Juniors River Plate Colón (Santa Fe) Lanús Independiente

Pts 10 10 9 9 8

Pj 4 4 4 4 4

Pg 3 3 3 3 2

Pe 1 1 0 0 2

Pp 0 0 1 1 0

Gf 8 6 7 7 8

Gc 1 2 3 3 3

Dif  10  +7  10 +4  +4   9 9 +4  +5 8

4 3 1 0 8 1 7  4 3 1 0 6 2 4 4 3 0 1 7 3 4  4 3 0 1 7 3 4  4 2 2 0 8 3 5

Notación: • Los elementos de una matriz se encierran entre paréntesis o corchetes. Estos elementos pueden ser números reales o complejos. • Para representar una matriz se usan letras imprentas mayúsculas: A, B, C, etc. • Para representar los elementos de una matriz se usan letras cursivas minúsculas: a, b, c, etc. • Geométricamente una matriz puede ser representada así:  a 11 a 12  a 1 j  a 1n     a 21 a 22  a 2 j  a 2 n          m, n   ; o bien A  (a ij ) mxn A   a i1 a i 2  a ij  a in           am1 a m 2  a mj  a mn    Así esta matriz está formada por m filas y n columnas.

Un término genérico cualquiera de la matriz se representa por aij y es el término situado en la intersección de la fila i-ésima: ai1 ai2 . . . ain y de la columna j-ésima: a1j a2j . . . amj. El número natural i se llama índice fila del término aij. El número natural j se llama índice columna del mismo término. Una matriz que tiene m filas y n columnas se llama matriz de orden mxn (rectangular). Si m es igual a n (m = n) la matriz se denomina matriz de orden n (cuadrada). Algebra y Geometría Analítica

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Generalizando: Definición: Una matriz de orden mxn, con m, n  N es un conjunto ordenado de m.n números dispuestos en m filas y n columnas. Al conjunto de las matrices de orden mxn se denotará Mmxn. Asimismo, se designará por Mn al conjunto de las matrices cuadradas. Ejemplos: • Las calificaciones obtenidas por un alumno en las distintas asignaturas se pueden representar mediante una matriz de una sola fila: Asignatura Calificaciones

Matemáticas 7

Física 9

Química 6

Dibujo A  7 9 6 7; A   1x 4 7

• Las calificaciones de Matemáticas de tres alumnos en la primera evaluación se pueden representar mediante una matriz de una sola columna: Alumno María González Miguel Crespo Mercedes Bueno

Calificación 5 7 6

5    B  7 ; B   3 x1 6   

• Las calificaciones de los tres alumnos del ejemplo anterior en las distintas asignaturas se pueden representar matricialmente de la siguiente forma: Asignaturas Matemáticas María González 5 Miguel Crespo 7 Mercedes Bueno 6

Física 4 9 9

Química 6 6 8

Dibujo 6 7 7

5 4 6 6   C   7 9 6 7 ; C   3 x 4 6 9 8 7  

Ejercitación: 1) Teniendo en cuenta las matrices del ejemplo anterior, se pide completar ubicando los elementos correspondientes cuando sea posible: a14=____

a21=____

b21=____

b13=____

c23=____

c32=____

c34=____

c43=____

2) Determina la siguiente matriz C=(cij)2x3 tal que cij=i –2j. ¿Cuántos elementos tiene esta matriz? .......... Sea el elemento c13. ¿Cuáles son en este caso los valores de i y de j?............. Aplica la regla de formación para obtener cada elemento y reemplaza en la matriz C: i =...... j =..... cij =.....



    C       

si i  j  3 3) Determina la matriz D=(dij)3 tal que d ij   2 i  j si i  j

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

      D           

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4) Generar las matrices: 2   a  i  j si i  j a) A=(aij)2 donde  ij si i  j   aij  1 2 b) B= (bij)2 donde bij=3i –j c) C=( cij)2x4 donde cij=(j –i)3 TIPOS DE MATRICES: • Matriz fila: es una matriz de dimensión 1xn: A = (aij)1xn ; A=(a11 a12 ... a1n) es una matriz fila. Ejemplo: (3 –1 2 4) 1x4 • Matriz columna: es una matriz de dimensión mx1: A = (aij)nx1

;

 a 11    a  A   21  es una matriz     a n1 

columna.  2     5  Ejemplo: A    3     2   4 x1 • Matriz cuadrada: es aquella que tiene igual número de filas que de columnas. Si este número es n, la matriz es de orden n . Los elementos aij ; con i = j forman la diagonal principal de una matriz cuadrada, mientras que se llama diagonal secundaria a la formada por los elementos que a ij tales que: i+j = n+1. Ejemplo:

• Matriz triangular: es una matriz cuadrada que tiene nulos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Una matriz triangular puede ser de dos clases: 1. Triangular superior, si los elementos nulos están por debajo de la diagonal principal. aij = 0 ;i  j

Es decir, si

2. Triangular inferior, si los elementos nulos están por encima de la diagonal principal. Es decir, si

Ejemplos:

aij = 0 ;i  j

 3 5 2    0  2 1  0 0 4  

matriz tria ngu lar su perior

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2  3 4 

0 0  1 0   2 5 

matriz tria ngu lar inferior

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• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada que tiene nulos los elementos que están a ambos lados de la diagonal principal. 4 0 0   Ejemplo:  0 5 0  Es decir, si aij = 0 ;i  j 0 0 2   • Matriz unidad o identidad: es una matriz diagonal que tiene los elementos de la diagonal principal iguales a uno.  1 0 0   1 si i  j Es decir, a ij   . Se representa por: “I”. I   0 1 0 0 si i  j  0 0 1   • Matriz nula: es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. 0 0 0 Es decir: aij = 0 ; i , j  Ejemplo: O =  0 0 0 • Matriz transpuesta de una matriz A es la matriz: AT que resulta al convertir ordenadamente las filas de A en columnas y las columnas en filas. Si A = (aij)mxn entonces AT = (aij)nxm.  3 0   3 2 1  T  A   2 4  Ejemplo: A   0 4 5   1 5    • Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que tiene sus elementos simétricos iguales:  3 1 2    A es matriz simétrica si: aij = aji ; i , j . Ejemplo: A    1 5 4   2 4  3  Propiedad: Toda matriz simétrica coincide con su transpuesta: A = A T • Matriz antisimétrica: Es una matriz cuadrada que tiene sus elementos simétricos opuestos:  0 3 4    Ejemplo: A   3 A es matiz antisimétrica si: aij = – aji ; i , j 0 2  4 2 0    Desde luego los elementos de la diagonal principal deben ser todos nulos: Propiedad: Toda matriz Antisimétrica coincide con la opuesta de su transpuesta: A = – AT. 

Matriz conjugada: Sea A una matriz cuyos elementos son números complejos, se llama “matriz conjugada de A” y se la simboliza: A , a la matriz que resulta de sustituir cada elemento de A por su conjugado.  3 1 i   3 1 i   , entonces: A    Ejemplo: Sea A     i 2  3i   i 2  3i 

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

Matriz regularmente escalonada. Sea A una matriz rectangular o cuadrada, se dice que la matriz “A” es regularmente escalonada si cumple las siguientes propiedades: a) Si hay filas que constan exclusivamente de ceros entonces están agrupadas en la parte inferior de la matriz. b) Para dos filas sucesivas cualesquiera se cumple que: “el primer número diferente de cero de una fila aparece a la derecha del primer número diferente de cero de la fila inmediatamente superior a ella”. Ejemplo: Las siguientes matrices tienen forma regularmente escalonada. 3 1 0     2  3 0  1 9 1  2 4      0 2  2 A   0 0 3  B   0 1 2 0 2 C   0 0 0   0 0 0 6 0 0 0 0        0 0 0  

IGUALDAD DE M ATRICES: Definición: Dadas A=(aij) de mxn y B=(bij) de pxr se dice que A y B son iguales y se lo indica A=B si se verifican las siguientes condiciones: 1) m  p  n  r A  B sii   2 ) a ij  b ij i : 1  i  m ; j : 1  j  n

Según la definición anterior, dos matrices son iguales cuando son del mismo orden y además los elementos correlativos (es decir, aquellos que ocupan la misma posición) son idénticos.  3  1  3  1     Ejemplos: Sea A   2 5  y B   2 5  entonces A = B 4 0  4 0      Ejercitación:  3  2   1) Dada la siguiente matriz A   1 0,3   4  5  

a) Determinar la matriz opuesta de A. b) Determinar AT 1 4   a b  2) Dadas las matrices A    y B    calcular los valores de a, b y c para que A =  a  1  c  1 BT  3x  1    3) Calcular los valores de x e y tal que   2y  3

 y 1    x  2 

Nota: Deben cumplirse los dos requisitos de la definición para que dos matrices sean iguales. Algebra y Geometría Analítica

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4) a) Sean las matrices: 2 1 1 2   2 1 0  2 1  2 1  ; ; E   ; D    ; C   ; B   A    3 4 3 4   3 4 0  3 5  3 4 determinar cuáles de ellas son iguales. b) ¿Son iguales entre sí todas las matrices nulas? OPERACIONES CON MATRICES: 1) Suma Dadas las matrices A=(aij) de mxn y B=(bij) de mxn, se llama “suma de A y B” y se la simboliza A+B, a la matriz S = (sij) de mxn tal que: sij = aij + bij con i 1,2 , , m, j 1,2 , ,n En símbolos: A + B = ( aij + bij) = S Nota: De esta definición se deduce la condición de posibilidad para la suma de matrices: “Dos matrices se pueden sumar si y sólo si ambas son del mismo orden”. En este caso se dice que las matrices dadas A y B son conformables respecto de la suma.  2 2  1 5 Ejemplo: Dadas A    y B    3 4 0  1 2  1 5   2 A  B      3 4 0   1

3 4  obtener A+B:  1 5

4   2  2  1  3 5  4  0 2 9        1 5   3  1 4  1 0  5   4 3 5  3

Ejercicio: Usando A y B del ejemplo anterior, calcular: i) B + A ii) A + A 2) Producto de una matriz por un escalar Siempre puede multiplicarse una matriz por un número real Definición: Dados la matriz A=(a ij) de orden mxn y k  , se llama “producto de k por A” y se la simboliza k.A, a la matriz C=(cij) de orden mxn tal que: cij = k.aij Nota: El producto k es otra matriz de orden mxn cuyos elementos se obtienen al multiplicar cada elemento de A por el escalar k. 1 2    Ejemplos: Sea A   4  3  entonces 0 5     1  Si k  1 entonces  1A   A    4  0 

1 2  2 4      2A  2  4  3    8  6   0 5  0 10       2  3   5 

Nota: La matriz –A se llama matriz opuesta de A 3) Resta de matrices Definición: Sean las matrices A=(aij) de mxn y B=(bij) de mxn, se llama “resta de A y B” y se la Algebra y Geometría Analítica

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simboliza A-B, a la matriz a la matriz resultante de: A – B = A +(– B) = A + (-1.B) = D = (dij) de mxn Nota: de la definición anterior se deduce que: Dos matrices se pueden restar si tienen el mismo orden A – B = D = (dij)de mxn; donde: dij = aij – bij; esto es, los elementos de A – B pueden obtenerse directamente si a los elementos de A le restamos los elementos de B. Dos matrices que se pueden sumar o restar, esto es, que son del mismo orden, se dicen conformables respecto de la suma algebraica. Para las matrices de distinto orden, no esta definida ni la suma ni la resta. Ejercicios Resolver las operaciones que se indican, observando detenidamente las características de las matrices resultantes: 4 1   1   B  1 2 3  se pide calcular: C = A + B  5 / 2  2 4   

0 1  2   1-) Sean A   3  2 0  , 1 / 2 5 1  

1 3 1   2-) Si A   0  2 4  , calcular AT. 0 0 1   1 0 0   3-) Si I   0 1 0  , calcular E = 3.I  0 0 1    2 0 0   4) Si A   4  1 0   1 5 6  

y

 2 3  4   B   1  1 7  calcular 3 2 6  

C = AT – B

4) Producto de matrices Antes de definir esta operación daremos la: Condición de posibilidad: Dos matrices A=(aij) de mxp y B=(bij) de rxn, se pueden multiplicar si y sólo si el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B. Es decir que el producto está definido si los números interiores de las matrices dadas son iguales: A . B mxp

rxn Interiores

exteriores Si se cumple esta condición , esto es si: p = r , entonces el producto A.B puede calcularse y las matrices A y B se llaman conformables respecto del producto. Se tiene: si p = r entonces: Algebra y Geometría Analítica

que llamaremos matriz producto 7

Definición: Sean las matrices A = (aij)

mxp

y B = (bij)pxn, se llama “matriz producto de A con B” a la matriz

P = ( pij) de mxn cuyos elementos pij se obtienen multiplicando los elementos correspondientes a la fila i de A por los elementos de la columna j de B y sumando todos estos productos: Esto es:  a11 a12   a 21 a 22      a i1 a i 2     a  m1 a m 2

 a1p    a 2 p   b 11 b 12  b 1 j      b 21 b 22  b 2 j   a ip             b p1 b p 2  b pj  a mp 

 p 11 p 12   b 1n   p 21 p 22   b 2n         pi 2 p   i1  b pn     p  m1 p m 2

 p 1j  p2j  

pij 

 p mj

 p 1n    p 2n      pin     p mn 

Es decir que cada elemento de la matriz producto: pij = F i.C j = a i1.b 1j + a i2.b 2j +...+ a ip.b pj (Es el producto de la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda.) Ejemplo: Dadas las matrices A y B, obtener, si es posible, la matriz P tal que: A.B = P 4 1 4 3     1 2 4 A 2 x 3    y B3 x 4   0 1 3 1   2 6 0 2 7 5 2    El producto A.B puede calcularse y nos dará: A2x3.B3x4 = P2x4 4 1 4 3  p p 12 p 13 p 14  1 2 4     P   0 1 3 1    11 Luego:   2 6 0   2 7 5 2   p 21 p 22 p 23 p 24    Efectuamos algunos cálculos: p 11  1 2

p 12  1 2

4    4   0  1 4  2  0  4 2  12 2     1   4   1  11  2  ( 1)  4  7  27  7  

p 21   2

6

p 22  2

6

 4   0  0   2  4  6  0  0  2  8  2    1   0    1  2  1  6  ( 1)  0  7  4  7  

 12 27 30 13   P2 x 4 Luego: A 2 x 3  B 3 x 4    8  4 26 12  En ocasiones es útil poder encontrar un renglón particular o una columna de un producto A.B sin

calcular todo el producto. Vamos a comprobar (se puede demostrar y es muy sencillo) que los elementos que se encuentran en la columna j-ésima de A.B son elementos del producto A.Bj donde Bj es la matriz que se compone de la columna j de B. Algebra y Geometría Analítica

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Ejemplo: Si A y B son las matrices del ejemplo anterior, la segunda columna de A.B se puede 1    27  1 2 4       obtener calculando:   1  4  2 6 0 7   2  colu mna de A . B 2 colu mna de B

De manera análoga, los elementos de la fila i-ésima de A.B son los elementos del producto Ai.B donde Ai es la matriz que se compone de la fila i de A.  4 1 4 3   Así la primera fila de A.B de obtiene haciendo:1 2 4   0  1 3 1  12 27 30 13      1 fila de A  2 1 fila de A . B 7 5 2 

Ejercicios: 1) Sean A y B dos matrices de 4x5 y sean C; D y E matrices de 5x2, 4x2 y 5x4 respectivamente determine cuales de las siguientes expresiones están definidas. Para aquellas que estén definidas indique el tamaño de la matriz resultante. Justifique cada una de sus respuestas a) B.A b) A.C+D c) A.E+B

d) A.B+B e) E.(A+B) f) E.(A.C)

 1 5 2  3 0     1 4 2  4 1 ; D    1 0 1 ; E  ; C   2) Sean A    1 2; B   3 1 5  0 2   3 2 4  1 1     Calcular (cuando sea posible):

a) A.B b) D+E c) D-E

 6 1 3    1 1 2   4 1 3  

d) –7B e) 3C-D f) D+E² (donde E²=E.E) Nota: E²=E.E E³= E².E=E.E.E ¡¡Por favor no intentar otra definición diferente!!

 4 0 1 0 0    3) Si A  0 8 0  y B   0  1  0 0 3  0 0   

 0 0  calcular A.B. ¿A qué conclusión llega? 1  3

“El producto de matrices diagonales es otra matriz diagonal” Luego podemos decir que para multiplicar matrices diagonales basta multiplicar los elementos no nulos correlativos de cada una de las matrices dadas, los que formarán la diagonal principal de la matriz producto. En general:

4) ¿Es A.B = B.A, siendo A y B matrices cualesquiera? Justifique su respuesta. Algebra y Geometría Analítica

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Propiedades de las operaciones con matrices: Enunciaremos ahora las propiedades de las operaciones estudiadas: 1) Propiedades de la transposición de matrices: Suponiendo que los tamaños de las matrices son tales que las operaciones indicadas se pueden efectuar, la operación de transposición cumple las siguientes propiedades: a) (A T)T = A b) (A + B)T = AT + BT c) (k.A)T = k.AT con k  T T T d) (A.B) = B .A 2) Propiedades de la Suma de matrices Sean A, B, C  Mmxn , entonces se puede demostrar que la operación suma de matrices satisface las siguientes propiedades: a) Propiedad Conmutativa: A + B = B + A b) Propiedad Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C c) Existencia del elem. neutro:  O  Mmxn tal que A  O  O  A  A A  M mxn d) Existencia del elem. opuesto: Para cada A  M mxn,   A  M mxn tal que A  ( A )  O 3) Propiedades del producto de una matriz por un escalar: Sean k,t  y A, B M mxn , entonces la operación producto de una matriz por un escalar satisface las siguientes propiedades: a) Propiedad Distributiva respecto de la suma de matrices: k(A + B) = kA + kB Propiedad Distributiva respecto de la suma de números: (k + t)A = kA + tA b) Propiedad Asociativa: (k.t)A = k(t.A) Ejercicio propuesto: Ejemplificar esta propiedades 4) Propiedades del producto de matrices Sean A, B y C matrices tales que las operaciones indicadas pueden efectuarse, entonces se cumplen las siguientes propiedades a) Propiedad Asociativa: (A.B).C = A.(B.C) b) Propiedad Distributiva del producto respecto de la suma: i) A.(B + C) = A.B + A.C ii) (B + C).A = B.A + C.A c) Propiedad Distributiva del producto respecto de la resta: i) A.(B – C) = A.B – A.C ii) (B – C).A = B.A – C.A d) Propiedad Asociativa: k.(A.B) = (k.A).B = A.(k.B) e) Si A=(aij) de mxn entonces A.In = A

y In.A = A (es decir que la matriz identidad se

comporta igual que el número 1 para el producto de los números reales). Algebra y Geometría Analítica

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Nota: Destacaremos ahora las propiedades que se cumplen para la matriz nula. Antes de enunciarlas veamos lo siguiente: Ejemplo:  2 5 1 1  0 1   , calculemos A.B y A.C y comparemos los resultados ; C   ; B   Sean A    3 4 3 4  0 2  3 4  obtenidos. Observamos que: A.B = A.C =   6 8 Si bien A  O, no podemos cancelar la matriz A en ambos miembros, pues obtendríamos B = C pero sabemos que B  C, por lo tanto diremos que la ley cancelativa no es válida para el producto de matrices. Otro ejemplo: 1 6   Sean A    3 18

 6 12   , calculamos A.B. y B    1  2  0 0  aún cuando A O y B  O. Observamos que: A.B =   0 0 Luego vemos que en el producto de matrices NO es necesario que alguno de las matrices sea nula para que el producto A.B = O, es decir nos de la matriz nula.

Propiedades: Valen las siguientes reglas para el Álgebra de matrices suponiendo que los tamaños de las matrices son t...