ejercicios matrices y determinantes resueltos PDF

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Ejercicios dados por el profesor...

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EjerciciosdeMatricesyDeterminantes(resueltos)

Ejercicio 1

      Dadas las matrices M =    de dimensiones 3x3, N =              󰇢 de de dimensiones 3x3, P=    de dimensiones 3x2 y Q = 󰇡      dimensiones 2 x 3. Realícense las operaciones indicadas que estén permitidas y dígase si en algún caso, la operación indicada no se puede efectuar y porqué. 1-A) Las sumas: M + N; P + Q y P + QT 1-B) Las restas: M-N; PT- Q 1-C) El producto M . N y el producto P . Q 1-D) El producto M . Q y el producto Q . N 1-E) Q . (M + N) 1-F) 3M – 2N – (P . Q) ; (1/3) ( M – 2N) . ( M – 2N )T SOL: 1-A) M+N

1 0 1 2 1 1

1 1 1 +  1 0 0

0 0 2 0 1 2 1=2 0 2 1 1 1 2 1

P +Q – no se puede realizar la suma dado que no tiene las mismas dimensiones

P+

1 1    0 1  2 0

2 1 0 1 1  1 1    0 1   1 2 2 0 0 1 1-B)

M-N

     

       

CSR.TARdelaAsignatura 

1 0 1

                

1

EjerciciosdeMatricesyDeterminantes(resueltos)

     󰇡 󰇡

1 0

1-C)

1 1 0 1

1 1

M*N

1 0 1 2 1 1

0󰇢 1

0 1 0 󰇢󰇡 1 1 1

1 1 1   1 0 0

0 1 2 󰇢󰇡 1 2 0

 0 1 2 1     1 1

2 󰇢 1

     

-1+0+0=-1//0+0+1=1//1+0-1=0 -1+2+0=1//0-4-1=-5//1-2+1=0 -1+1+0=0//0-2+0=-2//1-1+0=0 P*Q

1 0 1 0  1 1   󰇡 1 1 0 1

1+0=1//0+0=0//-2+0=-2

 2 󰇢  0 

      

-1+1=0//0-1=-1//2+0=2 0-1=-1//0+1=1//0+0=0

1-D) M*Q  Dado que el producto de matrices no es conmutativo, ésta operación no se puede realizar, pues el número de columnas de M es diferente al número de filas de Q y ésta es la condición necesaria para poder multiplicarlas. Q*N 󰇡

 

 

  󰇢   

      󰇡   

 

󰇢 

-1+0+0=-1//0+0-2=-2//1+0+2=3 -1-1+0=-2//0+2+0=2//1+1+0=2 CSR.TARdelaAsignatura 



2

EjerciciosdeMatricesyDeterminantes(resueltos)

1-E) Q*(M+N)

0 0 󰇛  󰇜  2 0 1 2

 󰇡 

 

2 2 1

0 0 2   󰇢  2 0 2  󰇡   1 2 1

  󰇢  

0+0-2=-2//0+0-4=-4//2+0+2=4 0-2+0=-2//0+0+0=0//2+2+0=4 1-F) 3M-2N-(P*Q)   3M=      

              

    2N=              (P*Q)=     3M-2N=  

      

  

        

 3M-2N-(P*Q)=   

  

 󰇛  󰇜  󰇛  󰇜 

  󰇛  󰇜      

     

              

       

       

CSR.TARdelaAsignatura 

  

          

  

             

      3

EjerciciosdeMatricesyDeterminantes(resueltos)            

    󰇛  󰇜    

 

                

   



󰇛  󰇜 

              



   󰇛  󰇜  󰇛  󰇜                                 

3+0+  





+0-

1+0-





=





 







=  //  +12+ 



//-1+0-  = 

= // 







- +









=

Dadas las matrices A=󰇡

SOL: A partir de A=󰇡



=

Ejercicio 2

N.







//1+0-  = 





//  - 2+

 









      



= 

// +  +    

           

 󰇢 calcúlense las matrices An y Bn, con n   󰇢 󰇡    

1 0 󰇢 se tiene 0 1

1 0󰇢 1 0 1 0 󰇢 󰇡 󰇢󰇡       󰇡 0 1 0 1 0 1

      󰇡 CSR.TARdelaAsignatura 

1 0 1 0 1 0 󰇢󰇡 󰇢󰇡 󰇢 0 1 0 1 0 1 

4

EjerciciosdeMatricesyDeterminantes(resueltos)

1 0 1 0 1 0󰇢       󰇡 0 1󰇢  󰇡 0 1󰇢  󰇡0 1

1 0 Por lo que se supone como hipótesis que  = 󰇡 0 1󰇢 , miramos entonces si se verifica 1 0 1 0 󰇢 .󰇡 que la siguiente potencia también lo cumple:      = 󰇡 󰇢= 0 1 0 1 1 0 󰇡 󰇢 0 1

c.q.d.

Luego:

A partir de B  󰇡   󰇡

1 1 󰇢 se tiene 0 1

1 1 1 󰇢󰇡 0 0 1

      󰇡       󰇡 Suponemos que

An = 󰇡

 

 󰇢 para todo n N 

1 1 2 󰇢󰇡 󰇢 1 0 1

1 2 1 1 1 3 󰇢󰇡 󰇢󰇡 󰇢 0 1 0 1 0 1 1 3 1 1 1 4 󰇢󰇡 󰇢󰇡 󰇢 0 1 0 1 0 1   󰇡

Y lo verificamos para n+1:

1       󰇡 0

1  󰇢 0 1

 1 1 1 󰇢󰇡 󰇢 =󰇡 1 0 1 0

1 󰇢 1

Luego efectivamente la hipótesis es válida para cualquier potencia:     󰇡 󰇢 para todo n N  

Ejercicio 3

Dadas las matrices fila A = (1 2 3 4 5) y B = (1 0 -1 1 1). Calcúlense las operaciones indicadas A . BT ; B . AT ; 3 A + 2 B y (A-B) . B – A)T SOL:   󰇛



 

CSR.TARdelaAsignatura 

󰇜 B= 󰇛



 



 󰇜  

      



 

     

5



EjerciciosdeMatricesyDeterminantes(resueltos)

A* 󰇛



    󰇜 * = 1+0-3+4+5=7  

 

B* 󰇛



 

3A + 2B

    󰇛

2B= 󰇛



    󰇛



(B-󰇜 = 󰇟󰇛

 

 

(A-B)*(A-󰇜 (A-B)= 󰇛

   󰇜*   =1+0-3+4+5=7  





󰇜= 󰇛



󰇜 -󰇛



 

  

 

(A-B)*(A-󰇜 = 󰇛

󰇜=󰇛





 

󰇜  󰇛

 󰇜  󰇛

 

  

󰇜

 

 󰇜 = 󰇛

  

󰇜

 

󰇜=󰇛 



 

    󰇜󰇠    

  󰇜

󰇜

    󰇜 *= 0 – 4 – 16 – 9 - 16= - 45  

Ejercicio 4

Estúdiese si la siguiente matriz es ortogonal A =



󰇭  √ 

√

 󰇮 



SOL. Una matriz cuadrada se dice que es ortogonal si el producto de ella por su transpuesta de la matriz unidad. Luego, haciendo la operación necesaria se comprueba que dicha matriz es ortogonal, al tener la matriz unidad como resultado: CSR.TARdelaAsignatura 



6

EjerciciosdeMatricesyDeterminantes(resueltos)   √

A . At = 󰇭



√  



Ejercicio 5

 √

󰇮 󰇭



√ 





 √ 

󰇮=󰇭







√ 

√  





√   

0 1󰇢 = I 1 0 󰇮 󰇡

Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales: 2 3 2X-Y=󰇣 󰇤 1 5 1 4 X+2Y=󰇣 󰇤 3 0 Se pide hallar X e Y. Sol: Se resuelve como si fuera numérico, por ejemplo, multiplicando la segunda ecuación por - 2 y sumándosela a la primera ya sale -5Y, se despeja y se obtiene el resultado. Una vez que se tiene Y de cualquiera de ellas se despeja X. Y se obtiene la X = 󰇣 Ejercicio 6

1 2 0 1 󰇤 y la Y =󰇣 󰇤 1 2 1 1

Calcular el valor de los determinantes siguientes: 3 5 2 3 󰇻 b)  󰇜 󰇻 2 4 3 0 3 1

3 4 󰇜 󰈑 0 2

7 1 3 5 2 4 3 1

1 1 3  c)  2 3 0

1 2 1 1󰈑 e) 󰈑1 3 0 0 1

Sol: a) -9 ; b) 68; c) 5; d) 564; e) 300

1 3 4 0 2

0 1 0 3 1 0

0 2 7 1 3 5 2 0 3 1

0 2 1󰈑 3 0

Ejercicio 7 Calcular los determinantes tipo de Vandermonde siguientes:

󰇜 CSR.TARdelaAsignatura 

1 a)  1 1

1 1 1 1 󰇜 󰈑 1 1 1 1

1 1 1 2 1 4

1 1 1 1 2 1 󰈑 1 4 1 1 8 1

1 4 󰈑 16 64



1  󰇜 󰈑   

1   

1 1 0 2 󰈑 0 4 0 8 1   

1  󰈑  

7

EjerciciosdeMatricesyDeterminantes(resueltos)

Sol: 1

1 12 1

 = -12 a) Este determinante no es de Vandermonde, su valor es  1ocupa 1 la 4posición Para que fuera de Vandermonde sería necesario que el elemento que 1 1 1 (3,1) fuera un 1, en ese caso  1 1 2  - 6; 1 1 4

1 1 1 1 1 1 0 2 󰈑 es un determinante tipo Vandermonde, su valor es 12. b) Este 󰈑 1 1 0 4 1 1 0 8 1 1 1 2 c) Este es tipo Vanderrmonde su valor es 󰈑 1 4 1 8

1 1 1 4 󰈑  180 1 16 1 64

d) Es el ejemplo típico de determinante de Vandermonde su valor es 1  󰈑   

1   

1   

1  󰈑 = (a - b)·(a - c)·(a - d)·(b - c)·(b - d)·(c - d)  

O bien, ajustando el orden de los factores, es posible escribirlo al revés, teniendo en cuanta que hay 6 cambios de signo, al tener 6 factores. 1  󰈑   

1   

1   

1  󰈑 = (b-a) (c-a)(d-a)(c-b)(d-b) (d-c) (-1)6 =  

= (b-a) (c-a)(d-a)(c-b)(d-b) (d-c) que es lo mismo.

(Siguiendo esta última expresión salen todos, es la manera de hacer un determinante de Vandermonde, sólo hay que ajustar el número de factores, la otra opción es hacerlo por Sarrus y hacer ceros previamente si el orden no es 3.)

Ejercicio 8 Calcular la inversa de las siguientes matrices, en caso de que sea posible. 3 1 3 󰇢 b) 2 󰇜 󰇡 1 4 3 CSR.TARdelaAsignatura 

1 5 1 1 5 1 0 4 3  c) 0 4 3  d)  1 1 0 0 0 1 1 

1 1 1 0 1 0  1 1 0 1 1 4 8

EjerciciosdeMatricesyDeterminantes(resueltos)

  

Sol: a) 󰇭



Ejercicio 9

   

󰇮 ; b)

 



 

 







 

 



 

    



01 c) 0



  

0

    

 Hallar los valores de K que hacen que la matriz A =  0 1

1



 

; d)  0 0

1 0 1 0



 

0 





    0  







1 0   1 1 no tenga inversa. 0 1

Sol: Calculamos el valor del det(K) = K2 – K– 1. Los valores de K que anulen ese determinante son lo que imposibilitan que la matriz tenga inversa (puesto que, si el determinante es cero, la matriz es singular, y no tiene inversa). Esos valores son: K1 =   

CSR.TARdelaAsignatura 

√ 

y K2 =   



√ 

9...