Matrices y demostraciones PDF

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ejercicios resueltos y demostraciones...

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AÑO:2020

NOMBRE: CAMILO APELLIDOS: BARRAL LIMACHI

ACTIVIDAD 1

1. Defina de manera clara y concisa las siguientes matrices especiales, en cada caso dé un ejemplo y sus propiedades. Sea A,B matrices no nulas. 

Matriz cero.- es una matriz nula, con todos sus elementos iguales a cero. 0 𝐶=[ 0

0 ] 0

Propiedades:

𝐶+𝐴=𝐴 𝐶∗𝐴=𝐴 

𝐴−𝐴 =𝐶

Matriz identidad.- Es una matriz diagonal, donde su diagonal es igual a la unidad y el resto de elementos es igual a cero. 1 𝐼=[ 0

0 ] 1

Propiedades:

𝐴∗𝐼 =𝐼∗𝐴=𝐴 

𝐴 ∗ 𝐴−1 = 𝐼

Matriz diagonal.- En una matriz donde su diagonal es distinto de cero. Y lo demás igual a cero. 5 0 ] 𝐷=[ 0 3

Propiedades: 𝐷 = 𝐷𝑇

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

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Matriz simétrica.- se dice que es una matriz simétrica si es igual a su transpuesta. NxN. 𝑎𝑑 𝑑𝑏

𝑒𝑓 ] 𝑆=[ 𝑒 𝑓 𝑐 Propiedades:

𝐴 = 𝐴𝑇

𝐴 ∗ 𝐴𝑇 = 𝑆

1 𝑆 = (𝐴 + 𝐴𝑇 ) 2 La suma de dos matrices simétricas es una matriz simétrica. El producto de dos matrices simétricas no siempre es simétrico



Matriz antisimétrica.- Es una matriz cuadrada que no es simétrica. Su diagonal es igual a cero. 0 𝑆 = [𝑑 𝑒 ′

−𝑑 0 𝑓

Propiedades:



𝑆′ =

−𝑒 −𝑓] 0

1 (𝐴 − 𝐴𝑇 ) 2

Matriz involutiva.- En matemáticas, una matriz involutiva es una matriz cuadrada, que es su propia inversa. Es decir, la multiplicación por la matriz A es una involución si y sólo si A² = I.

1 0 0 𝐴 = [0 0 1] 0 1 0 Propiedades: A² = I.

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

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Matriz idempotente.- Una matriz idempotente es una matriz que es igual a su cuadrado. 1 𝐴=[ 𝑎

0] 0

Propiedades:



𝐴𝑛 = 𝐴2 = 𝐴 n (valor entero, no negativo, ni nulo).

Matriz nilpotente.- se dice que una matriz nilpotente si existe un valor de k de tal manera que la matriz a la orden k sea igual a la matriz nula. 0 𝐴=[ 0

1 ] 0

Propiedades:

𝐴2 = 0

Det(A)=0 Det(I+tN)=1 para todos los valores de t 

Matriz periódica.- Se denomina Matriz Periódica de Periodo p si Ap+1 = A.

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Matriz ortogonal.- Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = A T A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A -1 = A T . Consideremos una matriz 3  3 arbitraria:

Propiedades: AAT = A T A = I.

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2. Sabiendo que 𝑨 y 𝑩 son matrices cuadradas tales que 𝑨 = 𝑨𝑩 y 𝑩 = 𝑩𝑨, compruébese que 𝑨 y 𝑩 son idempotentes.

3. Sean 𝑨 y 𝑩 dos matrices cuadradas del mismo tamaño; 𝑩 es simétrica. Determine si se

verifica que:

a) 𝑨𝒕 𝑨 es simétrica

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b) 𝑨𝒕 𝑩𝑨 es simétrica

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c) 𝑨 es antisimétrica, entonces 𝑨𝟐 es simétrica

4. Sean 𝑨 y 𝑩 dos matrices cuadradas del mismo tamaño; 𝑨 es idempotente y 𝑩 es

ortogonal. Compruebe que 𝑩𝒕 𝑨𝑩 es una matriz idempotente.

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5. Sea 𝑨 una matriz cuadra de 𝒏𝒙𝒏, tal que 𝒅𝒆𝒕(𝑨) ≠ 𝟎. Demostrar que 𝒅𝒆𝒕(𝒂𝒅𝒋(𝑨)) = (𝒅𝒆𝒕(𝑨))𝒏−𝟏

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6. Hallar el valor(es) de 𝜶 tal que el siguiente sistema de ecuaciones tenga solución no trivial. [

−1 1 1 −1 1 −1 −1

1

−1 1 𝑥2 1 −1 1 −1 𝑥 𝑥13 −1

1

𝑥2 𝑥𝑥3 ] 1

] [ ] = 𝛼 [ 𝑥4 𝑥4

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7. Hallar el valor(es) de 𝛼 , de manera que el siguiente sistema de ecuaciones tenga: 𝑎) Única solución, 𝑏) infinitas soluciones y 𝑐) no tenga solución. 3x1 − + xx2 − − 3x 2x3 2x 1 2 3 x1 − αx2 + x3 { x1 + x2 − 4x3

= −2 α = = 0 = −2

10...