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MATRICES Y APLICACIONES

Prof. Esperanza Vélez, MS. Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en Bayamón

PREPRUEBA I. En los ejercicios 1 a 9, seleccione la respuesta correcta.  3 −2   1) El tamaño de la matriz  −1 0  es  4 5 

a) 2 × 3 b) 3 × 2 c) 6 ×1 d) 1× 6 3  2) En la matriz A = −4  1

7 2 4  el elemento a32 es  −5 8  0

a) 4 b) −4 c) 8 d) -5

 −4 3   2 3     3) Si A = − 1 4 y B =  2 −1 entonces A + 2 B es igual a  −8 3   7 2

5 − 2 2 a)  3   9 −10

−6 9  b)  3 2   − 9 8 

 − 5 8   c)  8 − 3  − 14 13 

 8 −5    8 d)  − 3  13 −14 

2

3 5 0 −2  T 4) Si A =   entonces A es 1 8 4 −3 

1 8 4 −3 a)    3 5 0 −2

− 3 − 5 0 2  b)    −1 −8 − 4 3 

 3 1   5 8 c)   0 4    − 2 − 3

1 3    8 5  d)  4 0    −3 − 2 

0 2 4 8 5  T 5) Si A = − 5 3  y B =   entonces A − B es igual a − − 1 2 3    1 −2 

 − 4 3   a)  − 13 1  − 4 1

 −4 1    b)  − 13 1   − 4 − 5 

 1 −2  c)  − 7 − 5  4 −7 

 −1 6  d)  − 3 11  −2 3 

6) Si A es una matriz de tamaño 2 × 3 , B es 3 × 5 , C es 5 × 3 y D es 3 × 2 , ¿ cuál de los siguientes productos está definido? . a) AD T b) BA c) DB d) ACT

3

4 0 5 1 0    7) Si A =   y B =  −2 3  , entonces A B es  0 −1 2  1 −2 

18 3  a)    4 − 7

 20 −2 0  b)    0 −3 −4

 20 4 0    c)  − 10 − 5 6  5 3 4

d) El producto no está definido.

 1 2 0 8) La matriz  2 1 3 es  0 3 1 

a) Triangular superior b) Triangular inferior c) Simétrica d) Diagonal

1 2  9) La inversa de la matriz   es  3 2  1 a)  1  3

 1 − 2 c)   3  4

1 2  1 2 

1 2  1 − 4

 −1 −2 b)    −3 −2

1   −1 − 2  d)   −1 − 1   3 2 

4

II. Resuelva el siguiente ejercicio. Un supermercado vende 98 latas de habichuelas, 75 de maíz y 200 de salsa de tomate el día viernes. El día sábado vende 122 latas de habichuelas, 90 de maíz y 215 de salsa de tomate. Los precios por unidad de cada uno de los productos son respectivamente, $1.22, $0.65 y $0.25. 1) Escribir una matriz de tamaño 2 × 3 que represente la cantidad de productos vendidos en los dos días. 2) Escribir un vector columna que represente el precio por unidad de cada producto.

3) Hallar el vector columna cuyos elementos muestren los ingresos obtenidos por concepto de ventas los días viernes y sábado respectivamente.

5

OBJETIVOS Al finalizar el estudio del módulo, el participante podrá: 1. indicar el tamaño de una matriz.

2. efectuar las operaciones de suma, resta, y multiplicación por escalar de matrices, siempre que la operación esté definida.

3. determinar si el producto de dos matrices está definido. 4. multiplicar dos matrices siempre que su producto esté definido.

5. identificar una matriz cuadrada como simétrica, diagonal, triangular superior, triangular inferior o ninguna de las anteriores.

6. hallar la transpuesta de una matriz dada. 7. hallar la inversa de una matriz cuadrada no singular.

8. resolver problemas verbales (sencillos) que involucren operaciones básicas con matrices.

9. resolver sistemas de ecuaciones lineales usando la inversa de la matriz de los coeficientes (dado que exista).

6

JUSTIFICACIÓN

Las matrices como una generalización del concepto de número constituyen un tópico muy importante dentro de las matemáticas, debido a sus aplicaciones tanto en la matemáticas puras como en las aplicadas. El desarrollo de la teoría de matrices ha recibido muchas contribuciones a través de la historia. Primero aparece el término matriz, el cual fue introducido por Sylvester. A Cayley se atribuyen las operaciones de suma, resta, multiplicación por escalar, producto de matrices y otras contribuciones. Matemáticos como Hermite, Jacobi, Frobenius y otros hicieron valiosos aportes en este campo. La importancia de las matrices es que ellas se han convertido en una herramienta cotidiana en numerosos campos como estadística, economía, física, biología, gráficas por computadora, análisis numérico y lenguajes de programación, debido a la gran cantidad de conceptos que se pueden representar por medio de una matriz. Por otra parte, las matrices constituyen una herramienta adecuada para tratar de un modo sistemático y relativamente sencillo, complicados cálculos numéricos y algebraicos que involucran un gran número de datos. En tiempos recientes el desarrollo de la teoría matricial está orientado hacia las aplicaciones. El propósito de este trabajo es presentar la teoría básica de las matrices, la cual se expone en cuatro partes: la Parte I contiene el concepto de matriz, notación matricial, igualdad de matrices y operaciones de suma, resta y multiplicación por escalar; la Parte II contiene la multiplicación de matrices y potencias enteras positivas de una matriz cuadrada; la Parte III contiene la transpuesta de una matriz y algunos tipos de matrices cuadradas y la Parte IV contiene la inversa de una matriz y su aplicación en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Además, se presentan en este trabajo ejemplos que ilustran algunas aplicaciones de las matrices. Cada una de las partes mencionadas tiene ejercicios propuestos, para los cuales se provee sus respuestas.

7

CONTENIDO I. Matrices- Generalidades y Operaciones

Definición

Una matriz A de tamaño m × n es un arreglo rectangular de números (reales o complejos) dispuestos en m filas y n columnas, de la siguiente forma:  a11 a12 a a22  21    A=  a i1 a i 2      am1 am 2

a1n  a2 n       a in      amn 

 a1 j   a2 j   

aij   amj

La anterior matriz se puede expresar como A = (a i j ) , en donde aij representa el m n ×

elemento de la matriz que está en la fila i y en la columna j .

Una matriz que tiene n filas y n columnas, se llama matriz cuadrada de orden n . Los vectores fila de la matriz A están dados por

 ai1 ai 2  ai j  a i n  con i = 1 , 2 ,  , m Similarmente, los vectores columna de la matriz A están dados por  a1 j  a   2j       con j = 1 , 2 ,  , n  ai j        am j 

8

Ejemplos: 1. Dada

  5  A =  −2  8 

 −1  1  0 

3 0 2 3

A es una matriz cuadrada de orden 3, en donde a11 = 5 , a12 = 3 , a13 = −1 , a21 = −2 , 2 y a33 = 0 . 3

a22 = 0 , a23 = 1 , a31 = 8 , a32 =

2. Escribir una matriz B = (bi j ) × en donde bi j = ( −1)

i+ j

2 3

(2i + j ) .

Solución: 1+1

( 2 (1) +1) = (1)( 3) = 3

; b12 = ( −1)

1+ 3

(2 (1) + 3 ) = (1 )(5 ) = 5

; b21 = ( −1)

2+ 2

(2 ( 2 ) + 2 ) = (1 )(6 ) = 6

b11 = ( −1) b13 = ( −1) b22 = ( −1)

1 +2

(2 (1) + 2 ) = (−1)(4 ) = −4

2+1

; b23 = ( − 1)

( 2 (2 ) + 1) = ( −1)( 5 ) = −5

2 +3

( 2( 2) + 3) = (− 1)( 7 ) = − 7

Por lo tanto, b11 B=  b21

b12 b22

b13   3 − 4 5  = b23   −5 6 −7 

Además, los vectores filas de B son [3 − 4 5 ] y [ −5 6 − 7 ] .  3 − 4   5 Los vectores columna de B son   ,   y   .  −5  6   − 7 Diagonal Principal

En una matriz cuadrada An ×n , los elementos {a11 , a22 ,  , an n } forman la diagonal o diagonal principal de la matriz.

2  3. Si A =  3   0

1 −1 4

−3   0  , su diagonal principal es { 2 , − 1 , 5} .  5 

9

Traza de una Matriz Cuadrada

En una matriz cuadrada An ×n , la traza de A es la suma de los elementos que forman la diagonal de la matriz. La traza de la matriz A se denota por tr ( A) . Es decir, n

tr ( A) = a11 + a22 + a33 + + an n =  ai i i=1

Ejemplo:

1 2 4 5  −4 −4 3 6   , entonces La traza de la matriz A =  5 6 7 8     0 3 −1 −2  tr ( A) = 1 + ( −4) + 7 + ( − 2) = 2

Igualdad de matrices

Dos matrices A = ( ai j ) m

×n

y B = ( bi j ) m

×n

son iguales si

ai j = bi j con i = 1, , m ; j =1, , n Es decir, dos matrices del mismo tamaño son iguales si sus elementos correspondientes (elementos de la misma posición) son iguales.

Ejemplo: Hallar el valor de cada una de las variables x , y , p y q , para que se satisfaga la siguiente igualdad  3x   x − y

2  p  −6 4 3 =  − 5 5 p +q  

Solución: Aplicando el concepto de igualdad de matrices, se tiene 3 x = −6 ; x − y = − 5 ;

2 p =4 y p + q = 5 3

De las anteriores ecuaciones se obtiene que x = −2 ; y = 3 ; p = 6 y q = − 1 .

10

Operaciones con matrices 1. Suma de matrices

Sean las matrices A = ( ai j ) m n y B = ( bi j ) m n , entonces la suma de A y B es la matriz ×

×

( A + B ) = ( ai j + bi j ) m× n

; i = 1, , m ; j = 1, , n

Es decir, para sumar dos matrices, éstas deben tener el mismo tamaño y se procede a sumar los elementos correspondientes. Ejemplos 1.  4 −6  2 2 −

0   −2 −2 4  (4 + − 2 ) + = −7  1 −4 5  ( −2 + 1)

(− 6 + − 2 ) (0 + 4 )   2 = ( 2 + −4 ) ( −7 + 5 )  −1

−8 4   −2 −2

− 4 3   −3 2  2. Hallar la matriz B tal que A + B = C , en donde A =  y C= .   1 − 4  −2 4 

Solución: b Sea B =  11 b21

b12  , entonces la ecuación matricial A + B = C es b22   − 4 3  b11 1 +  −4  b21 

b12  = b22 

 −4 + b11 3 + b12   − 3 2 1 b =   + 21 −4 + b22   −2 4

Aplicando el concepto de igualdad de matrices, se tiene −4 + b11 = −3 , entonces b11 = 1

;

3 + b12 = 2 , entonces b12 = −1

1 + b21 = −2 , entonces b21 = −3

;

−4 + b22 = 4 , entonces b22 = 8

 1 −1 Por lo tanto, B =  . −3 8 

Propiedades de la suma de matrices

a. Clausura Si se suman dos matrices de tamaño m × n , el resultado es nuevamente una matriz m×n .

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b. Asociativa

( A + B) + C = A + ( B + C) A , B y C son matrices del mismo tamaño.

c. Existencia de la Identidad Existe una matriz m × n llamada la Matriz Cero, cuyas entradas son todas iguales a cero,

 0  0  O =     0  0 n columnas 

   m filas  

con la propiedad A + O = A , para cualquier matriz Am ×n . La Matriz Cero es la Identidad de la suma de matrices. d. Existencia de la Matriz Opuesta Para cada matriz A = ( a i j ) m n existe la matriz − A = ( − a i j ) m× n , con la propiedad ×

A + ( − A) = O

La matriz − A se llama la matriz opuesta de A .

Ejemplo:  4 − 2 −4 2   4   4  3  entonces − A =  Si A =  − − 3  5   5     7  0  −7 0  

e. Conmutativa Si A y B son matrices del mismo tamaño, entonces A+ B = B + A Es decir, el orden en que se suman las matrices no altera el resultado.

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f. La Traza de una Suma de Matrices La traza de una suma de matrices es la suma de las trazas de las matrices. Es decir, tr ( A + B ) = tr ( A) + tr ( B ) Ejemplo:  2 1 −5    Dadas las matrices A = − 8 − 2 3   10 −4 2 

y

4 6 7  B = − 8 − 4 − 5  , hallar:   7 3 −9 

a) A + B b) Verificar que tr ( A + B ) = tr ( A) + tr ( B ) Solución 8 − 1  8   a) A + B = −16 −6 −2   17 −1 −7 

b) tr ( A) = 2 + ( −2) + 2 = 2 tr ( B) = 6 + (− 4 )+ (− 9 ) = − 7 tr ( A + B ) = 8 + (−6 )+ (− 7 )= − 5 = tr ( A) + tr ( B)

2. Resta de matrices

Sean A y B dos matrices del mismo tamaño. Entonces A − B = A + (− B )

Ejemplo:  3  −8   4

2 5 7

0 −2 1 

 −5 3 8   3 2 0   5 −3 −8  8 −1 −8 −  2 −4 7  =  −8 5 −2 + −2 4 −7 =  − 10 9 − 9 4 9  0 3 − 8  4 7 1   0 − 3 8  4

3. Producto por un Escalar

Dada una matriz A = ( ai j )m

×n

y k un escalar, entonces el producto kA es la matriz

kA = ( ka i j )

m× n

; i = 1, , m ;

j = 1, , n

Es decir, el escalar multiplica a cada elemento de la matriz. 13

Ejemplos:  −4 1. Dada A =   0

1  10  , hallar: 2  6 − 2

a) 6A b) −

1 A 2

Solución  −24 3 60  a) 6 A =    0 36 −12 1  2 − 1  b) − A = 4  2 0 3 − 

 − 5  1 

2. Una compañía vende dos tipos de juguetes: de acción y educativos. La matriz A representa las ventas (en miles de dólares) de la compañía de juguetes en el año 2003, en tres ciudades, y la matriz B representa las ventas en las mismas ciudades en el año 2005. A=

 400 350 150    Educativos  450 280 850  Acción

y

B=

Acción  380 330 220   Educativos  460 320 750 

La compañía compra a un competidor y en el año 2006 dobla las ventas que tuvo en el año 2005. ¿ Cuál es el cambio en ventas entre el año 2003 y el 2006? Solución Las ventas en el año 2006, están dadas por  380 330 220  760 660 440  2B = 2  =   460 320 750 920 640 1500 El cambio en ventas entre el año 2003 y el 2006, está dado por  760 660 440   400 350 150  360 310 290 2B − A =   −  =  920 640 1500 450 280 850  470 360 650

14

Las ventas en el 2006 superaron a las del 2003 por $ 960,000 en juguetes de acción y $1,480,000 en juguetes educativos.

Propiedades del Producto por un Escalar

Si A y B son matrices del mismo tamaño y k y l son escalares, entonces a. k ( A + B) = kA + kB b. (k + l ) A = kA + lA c. ( kl ) A = k ( lA) d. 1A = A e. Si A es una matriz cuadrada entonces tr ( kA) = k ( tr ( A))

Es decir, la traza de un escalar por una matriz cuadrada es igual al escalar por la traza de la matriz.

EJERCICIOS – PARTE I 1) Dar el tamaño de cada una de las siguientes matrices.  0 7 2 a)    5 − 1 4

b) [5 8 −3 2 ]

4  −1 c)   8   9

 5 −4   2) Dada la siguiente matriz  −2 1   0 8 

a) Escribir los vectores fila de la matriz. b) Escribir los vectores columna de la matriz. 3) Escribir una matriz A = ( a i j )

i +j

3× 2

en donde a i j = ( −1)

(i − j ) .

 −8 4 5 4 3 1 4) Dadas las matrices A =  y B=   , hallar: − 2 0 − 5   3 −2 0  a) A + B

b) A − B

c) 4A

d) −3B

e) 3 A − 2 B

f) 2 A + 4 B

15

5) Hallar los valores de a , b y c , para que se dé la siguiente igualdad  2 a 2  16 c a 5  =  5 −    +

a +3 b b + c 

6) Una compañía de piezas para auto produce distribuidores, bujías e imanes en dos plantas I y II. La matriz X representa la producción de las dos plantas para el detallista

A y la matriz Y representa la producción de las dos plantas para el detallista B . Escribir una matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos detallistas. Las matrices X y Y son las siguientes I X=

II

distribuidores  30 50  800 720 bujías   imanes  25 30 

7) Sea P = [ p1

p2

I

y

Y=

II

distribuidores  15 25  960 800  bujías   imanes  10 5 

p3 ] un vector fila que muestra los precios de tres productos A, B

y C respectivamente. Los precios van a ser incrementados en un 10%. ¿Cuál es el escalar por el cual se debe multiplicar el vector fila P , para obtener el vector de los nuevos precios? 1 5 2  3 8) Dadas las matrices A =  3 −  4   −2 −8 

3  3 8    4 y B = 4     7  0  6 

5 2 5 1

 7  1  , hallar   5  4 

a) tr ( A) b) tr ( B ) c) tr ( 2 A − 5 B )

16

II. Producto de matrices

Producto de un Vector Fila por un Vector Columna

Sea r =[ r1

r2

 rn ]

 q1  q  un vector fila y q =  2  un vector columna. Entonces    q n   q1  q  n 2  rn ] ⋅   = r1q1 + r2 q2 +  + rn qn =  ri qi  i =1    qn 

r ⋅ q = [ r1 r2

Ejemplo

 −5  [ −2 1 − 3] ⋅ −2  = ( − 2)( − 5) + ( 1)( − 2) + ( − 3)(− 3) = 10 + − 2+ 9 = 17  −3 

Nota: El producto de un vector fila por un vector columna da como resultado un escalar.

Producto de Matrices

Sean las matrices A = ( ai j ) m n y B = ( bi j ) n p , entonces el producto AB = C = ( ci j ) m p , × ×

×

en donde

ci j = [ ai 1 ai 2

 b1 j  b  n 2j  ain ] ⋅   = ai 1b1 j + ai 2b2 j +  + ain bnj =  aik bk j    k= 1   b  nj 

17

Es decir,

ci j = (Fila i de A) ⋅ (Columna j de B)

A B   

( m×n ) (n × p ) C

m× p

Nota: En el producto AB , el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B , para que el producto esté definido.

Ejemplos  −3 4  0 3 4  1. Dadas las matrices A =  1 0 y B =  , hallar: 5 1 −2    − 1 2

a) AB b). BA Solución: a) A(3×2 ) y B( 2 ×3) . Número de columnas de A=Número de filas de B=2, por lo tanto el producto AB está definido, y AB es una matriz de tamaño 3 × 3 .  c11 c12 AB =  c21 c22   c31 c32

c13  c23   c33 

 0 c11 = [ Fila 1 de A] ⋅ [ Columna 1 de B ] = [ − 3 4] ⋅   = ( − 3)( 0 ) + ( 4 )( 5 ) = 0 + 20 = 20  5  3 c12 = [ Fila 1 de A] ⋅ [ Columna 2 de B ] = [− 3 4]⋅   = (− 3)( 3) + ( 4)( 1) = − 9+ 4 = − 5 1   4 c13 = [ Fila 1 de A] ⋅ [Columna 3 de B ] = [− 3 4]⋅   = (− 3)( 4) + ( 4)(− 2) = − 12+ − 8 = − 20  − 2  0 c 21 = [ Fila 2 de A ] ⋅[Columna 1 de B ] = [1 0 ] ⋅   = (1)( 0 ) + ( 0 )( 5) = 0 + 0 = 0  5

18

 3 c 22 = [ Fila 2 de A] ⋅[Columna 2 de B ] = [1 0 ] ⋅   = (1 )(3 ) + (0 )(1 ) = 3 + 0 = 3  1  4 c 23 = [ Fila 2 de A ] ⋅[Columna 3 de B ] = [1 0 ] ⋅   = (1 )(4 ) + (0 )(−2 ) = 4 + 0 = 4  −2   0 c31 = [ Fila 3 de A] ⋅ [Columna 1 de B ] = [− 1 2 ]⋅   = (− 1)( 0 ) + ( 2 )( 5 ) = 0 + 10 = 10 5   3 c32 = [ Fila 3 de A ] ⋅[Columna 2 de B ] = [ −1 2 ] ⋅   = ( −1)(3 ) + ( 2 )(1) = −3 + 2 = −1 1  4 c33 = [ Fila 3 de A ] ⋅ [Columna 3 de B ] = [ −1 2 ] ⋅   = ( −1)(4 ) + (2 )( −2 ) = −4 + −4 = −8  −2  c11 c12 c13   20 − 5 − 20 4  Por lo tanto, AB = c 21 c 22 c 23  =  0 3 c31 c32 c33  10 −1 −8 

b) B( 2× 3) y A( 3× 2) . Número de columnas de B =Número de filas de A =3, por lo tanto el producto BA está definido y B A es una matriz de tamaño 2 × 2 .

 − 3 4 0 3 4     ( 0 ⋅ − 3 + 3⋅ 1 + 4 ⋅ − 1) BA =    1 0 =   5 1 −2   ( 5⋅ − 3+ 1⋅ 1+ − 2⋅ − 1)  − 1 2 

( 0⋅ 4 + 3⋅ 0 + 4⋅ 2 )   −1 = ( 5⋅ 4+ 1⋅ 0+ − 2⋅ 2 )  −12

8  16

En este ejemplo se puede observar claramente que los produc...