Las integrales y sus aplicaciones PDF

Preview

Summary

Trabajo sobre las integrales y sus aplicaciones...

Description

Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas

Tema: Las integrales y sus aplicaciones

Materia: Matemáticas III

Curso: ECO 03-01

Julio 2017

Introducción Para saber desde un comienzo como surgió el cálculo integral consideramos importante saber brevemente su historia, la cual nos dará una referencia de cuán importante es y desde cuándo se ha venido desarrollando este tipo de cálculo. El primer uso de las integrales data del Antiguo Egipto (1800 a.C.) para el cálculo de volúmenes. Este concepto fundamental de las matemáticas fue perfilado y perfeccionado

desde

entonces

por

numerosos

científicos

entre

los

que

destacaron Arquímedes, Fermat y Barrow. Sin embargo, los principales adelantos en integración llegaron a mediados del siglo XVII (1665) gracias a la elaboración del “Teorema fundamental del cálculo” de mano de dos matemáticos: Newton y Leibniz .Finalmente Cauchy, Riemann y Lebesgue formalizaron el sistema actual de cálculo de integrales empleando el uso de límites. Las integrales se usan cotidianamente en el cálculo de áreas, longitudes de curvas y volúmenes de cuerpos de revolución. Como podremos observar en el desarrollo del siguiente trabajo de investigación hay diversas técnicas de integración las cuales deberán ser utilizadas dependiendo del problema tratado, teniendo así integrales indefinas, definidas, impropias, dobles, interadas; a las integrales podemos utilizarlas en aplicaciones a las distintas ciencias, así como modelos que se han creado para explicar algunos fenómenos. A continuación detallaremos algunos temas de integrales con sus respectivas variaciones, casos y ejemplos.

Objetivos General: Desarrollar los conceptos y aplicaciones de las integrales Específico: 

Desarrollar los conceptos de las integrales.



Establecer las aplicaciones de las integrales en el campo de las ciencias económicas.



Ejemplificar algunas de las aplicaciones de las integrales.

1. Integrales de potencias de funciones trigonométricas. Se trata de integrales en las que aparecen funciones trigonométricas, las cuales están elevadas a una potencia (par o impar) Este método se lo emplea para integrales de tipo: ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑚 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑚 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚 𝑥 𝑑𝑥

En las cuales los exponentes “m” y “n” pueden ser de cualquier tipo. Funciones trigonométricas con exponente impar y positivo:

Se separa un exponente para el diferencial y el resto es transformado en el

contrario, empleando la siguiente identidad trigonométrica: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 (𝟏. 𝟏) y al contrario se lo llama 𝑡. El segundo coeficiente puede ser cualquier número real. Ejemplo: ∫ 𝑠𝑒𝑛 3 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑛3 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Separamos 𝑠𝑒𝑛 𝑥 para el diferencial, y 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 = (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Entonces ∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫( 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ∫( 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥) ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 *resolvemos mediante cambio de variable 𝑡. 𝑡 = cos 𝑥

𝑑𝑡 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

∫( 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥) ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑡 2 − 𝑡 4 𝑑𝑡 = ∫( 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥) ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑡3 3

𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 + +𝑐 3 5

+

𝑡5 5

Funciones trigonométricas con los dos exponentes pares positivos.

Se rebajan los grados aplicando las siguientes formulas: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =

1−cos 2𝑥

(1.2)

𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 =

1+cos 2𝑥

(1.3)

2

2

Ejemplo: ∫ 𝑠𝑒𝑛 4 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑛 2 𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫(

2 1 1 − cos 2𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫(1 − 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥) 𝑑𝑥 2 4

1 1 + cos 4𝑥 1 ∫(1 − 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (1 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + ) 𝑑𝑥 4 4 2 1 1 ∫(2 − 4 cos 2𝑥 + 1 + cos 4𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(3 − 4 cos 2𝑥 + cos 4𝑥) 𝑑𝑥 8 8 1 4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 +𝑐 [3𝑥 − + ]= − + 32 8 2 4 8 4

2. Utilización de sustituciones trigonométricas para integrar. Este método permite integrar funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas. ∫

𝑑𝑣

√𝑣 2

+

𝑎2

2 = ln(𝑣 + √𝑣 2 + 𝑎2 ) + 𝑐

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas pueden ser realizadas en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma √𝑎2 − 𝑏2 𝑥 2 , √𝑎2 + 𝑏2 𝑥 2 ,√𝑏 2 𝑥 2 − 𝑎2 La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas, cuyo proceso de integración es más sencillo.

Antecedentes:

Se basa en la utilización de: triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas Aplicando el teorema de Pitágoras “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.” A partir de este enunciado se obtiene las siguientes fórmulas para integrar: √𝑢 2 + 𝑛 2 , 𝑢 = 𝑛 ∗ tan 𝑡

(2.1)

√𝑢 2 − 𝑛 2 , 𝑢 = 𝑛 ∗ sec 𝑡

(2.2)

√𝑛2 − 𝑢 2 , 𝑢 = 𝑛 ∗ sen 𝑡

(2.3)

Ejemplos: ∫

1

𝑥√25 − 4𝑥 2

𝑑𝑥

5 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 5 𝑑𝑥 = cos 𝜃 𝑑𝜃 2 𝑥=

25 − 4𝑥 2 = 25 − 4 (

5 2

2

𝑠𝑒𝑛 𝜃) = 25 − 25 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 = 25(1 − 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃) = 25 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 Identidad trigonométrica

√25 − 4𝑥 2 = 5 cos 𝜃 1

∫ 𝑥√25−4𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥=

5

2

5 𝑠𝑒𝑛 2

1

𝜃 (5 cos 𝜃)

𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =

2𝑥 5

∗

5

2

1

𝑑𝜃

cos 𝜃 𝑑𝜃 = 5 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 csc 𝜃 =

5

2x

1 1 5 = = 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2𝑥 5

Ɵ

√25 − 4𝑥 2

∫

1 5 √25 − 4𝑥 2 |+𝑐 𝑑𝑥 = ln | − 2𝑥 5 2 𝑥√25 − 4𝑥 2 1

3. Integración Aproximada Debido a que no todas las integrales definidas pueden ser resueltas mediante el teorema fundamental del cálculo, es necesaria la aplicación de una aproximación del 𝑏

valor de una integral definida ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 . Esta aproximación puede realizarse mediante tres procedimientos numéricos: -

Regla del punto medio

-

Regla Trapezoidal

-

Regla de Simpson

Regla del punto medio.

Es una forma de aproximar una integral definida que consiste en encontrar el área bajo la gráfica, construyendo rectángulos bajo la curva cuya longitud se calcule en el punto medio de los subintervalos y posteriormente sumando sus áreas; suponiendo que la función es continua y que los subintervalos en los que se divide el intervalo principal son del mismo ancho. (Zill & Wright, 2011) Suponiendo que el punto medio del subintervalo está representado con mk y que

los límites de dicho intervalo están dados por 𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘 , el ancho del intervalo representado por ∆𝑥 =

𝑏−𝑎 𝑛

y la altura del rectángulo dada acorde a la curva dada

entonces el área del rectángulo estaría dado estaría dado por la siguiente fórmula: 𝐴𝑘 = 𝑓 (𝑚𝑘 )∆𝑥 = 𝑓(

𝑥𝑘−1 +𝑥𝑘 2

)∆𝑥

Por lo tanto, al sumar las n áreas de los rectángulos y reemplazando ∆𝑥 por 𝑏

se obtiene la regla de aproximación del punto medio ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝑀𝑛 donde 𝑀𝑛 =

𝑏−𝑎 𝑛

[𝑓(

𝑥0 +𝑥1 2

)+ 𝑓(

𝑥1 +𝑥2 2

) + ⋯+ 𝑓(

𝑥𝑛−1 +𝑥𝑛 2

)]

(3.1)

𝑏−𝑎 𝑛

Error en la regla del punto medio. 𝑏

Supongamos que 𝐼 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 y que 𝑀𝑛 es la aproximación de 𝐼 con n

rectángulos; el error se definiría como 𝐸𝑛 = |𝐼 − 𝑀𝑛 | con el cual es posible encontrar la

cota de error en donde si hay un número 𝑀 > 0 tal que | 𝑓′′(𝑥)| ≤ 𝑀 para toda x en el intervalo de la función, entonces: (Zill & Wright, 2011) 𝐸𝑛 ≤

𝑀(𝑏−𝑎 )3 24𝑛2

(3.2)

La precisión en este método mejora conforme crezca la cantidad de rectángulos

Regla trapezoidal.

Este método se basa en que es posible obtener una mejor estimación de 𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥continua al sumar las áreas de trapezoides en vez de rectángulos como se

indicó en el método anterior; el área de un trapezoide viene dada por ℎ(𝐼1 + 𝐼2 )/2, de manera que el área de uno de los trapezoides marcados esta expresada en: (Zill & Wright, 2011) 𝐴𝑘 = ∆𝑥 (

𝑓(𝑥𝑘−1 ) + 𝑓(𝑥𝑘 ) ) 2

∆𝑥 representa el ancho del trapezoide, y 𝑓(𝑥𝑘−1 ) y 𝑓(𝑥𝑘 ) los límites superior inferior respectivamente con sus alturas correspondientes. Por lo tanto al sumar el área de cada uno de los trapecios y reemplazando ∆𝑥 por 𝑏

𝑏−𝑎 𝑛

obtenemos la regla trapezoidal

que es a su vez la aproximación de ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝑇𝑛 en donde 𝑇𝑛 =

𝑏−𝑎 [𝑓(𝑥0 ) + 2𝑓(𝑥1 ) + 2𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−1 ) + 2𝑓(𝑥𝑛 )] 𝑛

(𝟑. 𝟑)

Error en la regla trapezoidal.

La cota de error en este método es similar al error en la regla del punto medio; el 𝑏

error en este está dado por 𝐸𝑛 = |𝐼 − 𝑇𝑛 | en donde 𝐼 = ∫ 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 y si existe un número número 𝑀 > 0 tal que |𝑓′′(𝑥)| ≤ 𝑀 para toda x en el intervalo de la función,

entonces:

𝐸𝑛 ≤

𝑇(𝑏 − 𝑎)3 24𝑛2

(𝟑. 𝟒)

Regla de Simpson.

Partimos de la suposición de que el intervalo de la función se divide en n subintervalos del mismo ancho ∆𝑥 =

𝑏−𝑎 𝑛

donde n necesariamente es un numero par.

Sobre cada subintervalo [𝑥𝑘−2 , 𝑥𝑘 ] de ancho 2∆𝑥 la gráfica de la función se aproxima mediante un arco de parábola que pasa por los puntos frontera y el punto medio

representados por 𝑃𝑘−2, 𝑃𝑘 y 𝑃𝑘−1 respectivamente. Por lo tanto, el área bajo la parábola sobre el subintervalo [𝑥𝑘−2 , 𝑥𝑘 ] está dada por: 𝐴𝑘 =

∆𝑥 [𝑓(𝑥𝑘−2 ) + 4𝑓(𝑥𝑘−1 ) + 𝑓(𝑥𝑘 )] 3

𝑏

Al sumar todas las áreas bajo la curva se obtiene la aproximación ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈

𝑆𝑛 en donde 𝑆𝑛 está dado por: 𝑆𝑛 =

𝑏−𝑎 [𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓(𝑥1 ) + 2𝑓(𝑥2 ) + 4𝑓(𝑥3 ) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−2) + 4𝑓(𝑥𝑛−1 3𝑛 + 𝑓(𝑥𝑛 )]

(𝟑. 𝟓)

Error en la regla de Simpson.

La cota de error en este método es similar al error en la regla del punto medio; el error en este está dado por 𝐸𝑛 = |𝐼 − 𝑀𝑛 | en donde

𝑏

Si 𝐼 = ∫ 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 entonces el

teorema establece una cota superior para el error en este método dada por 𝐸𝑛 = |𝐼 − 𝑆𝑛 |

empleado una cota superior para la cuarta derivada en donde si existe un numero número 𝑀 > 0 tal que |𝑓 (4)(𝑥)| ≤ 𝑀 para toda x en el intervalo de la función, entonces:

𝐸𝑛 ≤

𝑇(𝑏 − 𝑎)5 180𝑛2

(𝟑. 𝟔)

Ejemplo de integración aproximada Estime, mediante el método de Simpson, el valor de la siguiente integral

definida, con una partición de siete elementos, y estime el error cometido. Para aplicar el método de Simpson, la partición debe ser regular y el número de subintervalos debe ser par, como la partición debe tener siete elementos se cumple está condición y determinamos, entonces, la longitud de los subintervalos:

construyendo la partición correspondiente,

Empleando la fórmula del método de Simpson, se obtiene una estimación de la integral definida

Para estimar el error cometido, se emplea la formula correspondiente

, con

,

, es decir que

valor absoluto de la cuarta derivada de la función de

. Para

es el máximo en

. Determinamos entonces el valor

obtenemos:

;

;

;

;

Con la quinta derivada de la función, determinamos los números críticos de la cuarta derivada en el intervalo de integración

, y calculamos los extremos relativos

que en ese intervalo se pueda alcanzar. Números críticos de la cuarta derivada:

Se evalúan estos números críticos, y los extremos del intervalo de integración en la cuarta derivada de la función, para obtener el máximo en valor absoluto de

Por tanto,

.

Al sustituir en la fórmula de error, se obtiene Ejemplo tomado del libro de Dennis Zill.

:

4. Aplicaciones de integrales en la economía. El cálculo de integrales, a más de servirnos para obtener áreas bajo las curvas, puede ser utilizada también en la Economía como una herramienta muy útil e importante para resolver diferentes situaciones que se puedan dar tales como: medir las pérdidas o ganancias de una entidad o persona por consecuencia de los cambios en los precios.

Excedente del Consumidor

El Excedente de Consumidor es la diferencia entre el valor que se está dispuesto a pagar y el valor real de cierto producto en donde, el precio del mercado es y0 y la cantidad demandada es x0 de manera que, si el consumidor está dispuesto a pagar un precio superior al del mercado entonces los consumidores ganarían. El aumento del precio de cierto producto hace que los consumidores compren menos; por lo tanto, el área identificada como Excedente del consumidor vendría dada por: 𝑥0

𝐸𝐶 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥0 𝑦0 0

(𝟒. 𝟏)

Excedente del Productor

Así mismo, es posible calcular el área del excedente del productor, que a su vez es la diferencia entre el precio mínimo que percibe el productor y el precio real al que está dispuesto a vender su producción; por lo tanto, el productor obtiene su excedente cuando el consumidor está dispuesto a pagar más del precio mínimo del producto. Este excedente se puede encontrar calculando el área entre la curva de oferta y el precio con su cantidad dada. El excedente del productor está dado por: 𝑥0

𝐸𝑃 = 𝑥0 𝑦0 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

(𝟒. 𝟐)

Beneficio Máximo

El beneficio es la diferencia entre los ingresos totales menos los costos totales. Dentro de una empresa siempre se busca obtener el máximo beneficio posible; para lograr esto es necesario determinar cuál será la cantidad a producir y a un precio de cuánto. En condiciones de competencia perfecta, el máximo beneficio se logra cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal; es decir que, si es que graficamos estas dos curvas, se cruzarán en algún punto; este punto nos otorgará información a cerca de cuantas unidades serán necesarias de producir y a qué precio. El beneficio máximo se lo obtiene mediante la fórmula dada: 𝑎

𝐵𝑚𝑎𝑥 = ∫ [𝑟 ′ (𝑞) − 𝑐 ′ (𝑞)]𝑑𝑞 0

(𝟒. 𝟑)

Ejemplo de aplicación a la economía Se conoce que la curva de la oferta para un producto es s(x) = (

𝑥

2

)+7. Encuentre la

ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos. Si la producción asciende a 10 artículos el precio es s(10) = (

𝑥

2

)+7= 12 pesos.

La ganancia o superávit de los productores se calculó resolviendo: 10

∫ [12 − ( 0

10 10 𝑥 𝑥 𝑥 + 7) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = ∫ [12 − − 7] 𝑑𝑥 = ∫ [5 − ] 𝑑𝑥 2 2 2 0 0 𝑥

Por lo tanto, la ganancia de las productores[5 − 2] |10 0 = 25 La ganancia de los productores asciende a $25 si la producción es de diez artículos.

5. La Integral Doble

Sea f una función de dos variables definida sobre una región cerrada R del plano xy. Entonces la integral definida bidimensional o simplemente integral doble de f sobre R, se define como: .

∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = lim ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥∗𝑘, 𝑦𝑘∗ )∆𝐴𝑘 |𝑃|→0

(5.1)

Existen algunas aplicaciones de la integral doble relacionada con las ciencias económicas, en especial en el campo estadístico. Una de ellas es la aplicación de la integral de probabilidad o integral gaussiana, llamada así en honor al matemático y físico alemán Carl Friedich Gauss.

La integral Gaussiana

La integral gaussiana es la integral impropia de la función de Gauss 𝑒 −𝑥 , sobre 2

la recta de los números reales, la cual toma el valor de √𝜋. Esto es: ∞

∫−∞ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = √𝜋 2

(5.2)

La normalización en la teoría de probabilidad y la Transformada continua de Fourier son las principales aplicaciones de esta integral. A pesar de que la integral gaussiana puede ser resuelta por diferentes métodos para el cálculo de probabilidad, se

debe tener en cuenta que esta expresión en la función de error erf(𝑡), no es posible calcularla. 𝑒𝑟𝑓(𝑡) =

𝑡

2

∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 √𝜋 0 2

(5.3)

A pesar de que la función de Gauss, no posee una integral indefinida, si es posible evaluar la integral definida impropia. La forma más común de calcular la función de Gauss en el plano 𝑅 2 , es mediante una integral doble y cambio de coordenadas a coordenadas polares. Mediante en teorema de Fubini, la integral puede

ser escrita como: .

∬ 𝑒 𝑅2

−(𝑥 2 +𝑦2 )

∞

∞

𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑒

−(𝑥 2 +𝑦 2 )

−∞ −∞

∞

(∫ 𝑒 −∞

𝑑𝑥𝑑𝑦 = (∫ 𝑒

∞ −𝑥2

−∞

−𝑥2

𝑑𝑥 )

𝑑𝑥

∞

) . (∫ 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 ) −∞

2

Mediante el cambio de coordenadas a coordenadas polares se tiene: .

∬ 𝑒 −(𝑥 𝑅2

2 +𝑦 2 )

𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫

∞

2𝜋 0

2

∫ 𝑟𝑒 −𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃 0

∞

2

= 2𝜋 ∫ 𝑟𝑒−𝑟 𝑑𝑟 0

2

0

0

1 𝑠 𝑒 𝑑𝑠 = 2 ∫ 𝑒 𝑠 𝑑𝑠 = 𝜋(𝑒 0 − 𝑒 −∞) = 𝜋(1 − 0) = 𝜋 2 −∞ −∞

2𝜋 ∫

Donde el factor r es consecuencia de calcular el determinante del cambio de las coordenadas cartesianas a polares, y s aparece al hacer un cambio de variable tal que s = - r2, ds = -2rdr. Así pues, obtenemos: .

∬ 𝑒 𝑅2

−(𝑥 2 +𝑦 2 )

∞

𝑑𝑥𝑑𝑦 = (∫ 𝑒 −∞

−𝑥 2

2

𝑑𝑥 ) = 𝜋

Por lo tanto, ∞

∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = √𝜋 −∞

2

La probabilidad Conjunta

Otra aplicación de las integrales es el cálculo de las probabilidades conjuntas. Para un experimentador, es posible que le interese la intersección de dos o más eventos. Pues bien para expertos en estadística, lo más importante son las intersecciones que se presentan al momento de tomar decisiones. Suponga que Y1, Y2,…, Yn, denota los resultados de n intentos sucesivos de un experimento. Por ejemplo, esta secuencia podría representar los pesos de n personas. Un conjunto específico de resultados o mediciones muestrales puede ser expresado en

términos de la intersección de los n eventos (𝑌1 = 𝑦1 ), (𝑌2 = 𝑦2 ), … , (𝑌𝑛 = 𝑦𝑛 ) que

denotaremos como (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ). El cálculo de la probabilidad de esta intersección es esencial para hacer inferencias acerca de la población de la cual se tomó la muestra y es

una razón importante para estudiar distribuciones de probabilidad multivariantes. (Mendenhall III, Wackerly, & Scheaffer, 2010) Por lo tanto, sean 𝑌1 y 𝑌2 , variables aleatorias discretas. La función de

probabilidad conjunta o bivariante para 𝑌1 y 𝑌2 esta dado por: 𝑝(𝑦1, 𝑦2 ) = 𝑃(𝑌1 = 𝑦1 , 𝑌2 = 𝑦2 ),

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 − ∞ < 𝑦1 < ∞; −∞ < 𝑦2 < ∞

Para cualquier variable aleatoria 𝑌1 y 𝑌2 la función de distribución bivariante

conjunta es:

𝐹(𝑦1 , 𝑦2 ) = 𝑃(𝑌1 = 𝑦1 , 𝑌2 = 𝑦2 ),

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 − ∞ < 𝑦1 < ∞; −∞ < 𝑦2 < ∞

De la misma forma, sea 𝑌1 y 𝑌2 variables aleatorias continuas con función de

distribución conjunta 𝐹(𝑦1 , 𝑦2 ). Si existe una función no negativa 𝑓(𝑦1 , 𝑦2 ), tal que: 𝑦

𝑦