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Preparación Examen Integración Numérica universidad...

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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

4. CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES MÚLTIPLES En esta sección se presenta una alternativa para resolver integrales múltiples cuando el proceso de determinar las antiderivadas parciales es muy complicado o riguroso. Para ello es necesario definir transformaciones geométricas de \ 2 → \ 2 y \ 3 → \ 3 ; posteriormente se enuncian los teoremas de cambios de variables para integrales dobles y triples, sugiriendo los sistemas de coordenadas más empleados: Sistema polar para integrales dobles y los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas para integrales triples.

4.1 INTRODUCCIÓN Recuerde que emplear un cambio de variable de un integral definida implica que el cambio afecta: el intervalo de integración, el integrando y la diferencial.

En el cálculo integral, para evaluar una integral definida de una función real de variable real en un intervalo cerrado [a,b] existe un teorema que permite cambiar la variable de integración con la finalidad de resolver dicha integral de una manera más sencilla. TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Definida

La expresión: g ( [c,d ]) ⊂ [ a,b] Significa que las imágenes de la función g son un subconjunto de [ a,b ] .

Sea f : [a, b ] → \ una función continua y g : [c, d ] → \ una función derivable con derivada g ′( t ) continua (es decir, g es de clase C1) tal que g ([c,d ]) ⊂ [ a,b] , entonces b

d

a

c

∫ f ( x)dx = ∫

f  g ( t ) g′ ( t ) dt

(IV.1)

CV

x = g (t

)

dx = g ′( t) dt

t =c ⇒ t=d

⇒

CLI x = g (c) = a

x = g (d) = b

Para resolver la integral del segundo miembro de la ecuación IV.1 se realiza el cambio de variable, CV, y el cambio de los límites de integración, CLI, señalado en la parte inferior izquierda de esta página.

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Cuando se desea resolver una integral doble empleando un cambio de variable, el proceso resulta más complicado pues se deben cambiar ambas variables x y y por las variables u y v, por ejemplo. Este cambio se realiza mediante una transformación geométrica del tipo \ 2 → \ 2 .

4.2 TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA DE \ → \ 2

2

Una transformación geométrica del tipo \ 2 → \ 2 se realiza cuando una región bidimensional D del plano xy se transforma o convierte en una nueva región bidimensional D′ del plano uv. Esta transformación se realiza por medio de una función T : \ 2 → \ 2. Sea T una función definida como T : D′ ⊂ \ 2 → D ⊂ \ 2 , tal que: T (u,v ) = ( T1 (u,v ) ,T2 ( u,v))

(IV.2)

Donde: En otras palabras, la función T transforma todo punto ( u ,v ) ∈ D ′

T1 ( u,v ) = x

(IV.3)

T2 (u,v ) = y

(IV.4)

en un punto ( x , y ) ∈ D .

Por lo tanto, la función de transformación es: T ( u,v) = ( x, y )

(IV.5)

La cual suele escribirse como:  T1 ( u ,v )  x      T (u,v ) =  =   T2 ( u,v)   y

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(IV.6)

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Por otra parte, como se busca resolver una integral doble

∫∫ f ( x, y ) dA D

empleando un cambio de variable, observe que al

componer las funciones f con T , se obtiene:

f (T ( u,v) ) = f (u,v)

(IV.7)

En la figura 4.1 se observa la transformación geométrica de la región D′ en la región D , la cual se realiza por medio de la función T .

Figura 4.1 Transformación geométrica de la región D′ en la región D

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Doble Sea f : \2 → \ una función continua de las variables x y y Una matriz T ′ ( u,v ) es inversible cuando su determinante es no nulo en todos los puntos ( u,v) ∈ D ′ . Por otra parte: D = T ( D ′) ⇒ D ′ = T −1 ( D)

por lo cual inyectiva.

T

debe ser

definida en la región D ⊂ \2 . Sea T una función inyectiva que transforma los puntos

(u ,v ) ∈ D′ ⊂ \ 2 en ( x, y) ∈ D ⊂ \ 2 ,

mediante la expresión T ( u,v) =( x, y ) . Suponga que T es de clase C1 y que la derivada T ′ ( u ,v) es una matriz inversible ∀ (u,v ) ∈ D ′ , entonces:

La expresión:

f ( T ( u,v ) )

suele escribirse:

también

f ( T1( u,v) ,T2 ( u,v) )

∫∫ f ( x, y ) dA = ∫∫ D

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D′

f ( T ( u,v) )

∂ ( x, y ) dudv ∂ ( u,v)

(IV.8)

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones El término

Al determinante jacobiano:

∂ ( x, y ) se conoce como determinante del jacobiano y ∂ ( u,v)

del

se obtiene como:

∂ ( x, y )

 ∂x  ∂u ∂ (x, y ) = det  ∂ (u,v )  ∂y   ∂u

∂ ( u,v) también se jacobiano.

le

llama

∂x  ∂v   ∂y   ∂v 

(IV.9)

O también suele escribirse como:  xu ∂ ( x, y )  = det  ∂ ( u,v)  yu

Sin

embargo,

en

algunas

xv    yv 

ocasiones,

(IV.10)

se

desconoce

la

transformación T ( u,v) =( x, y) más apropiada. En estos casos, se propone una transformación inversa del tipo T −1 ( x, y ) = ( u,v) , la cual vendrá dada por las ecuaciones que limitan a la región D o por la función integrando. Cuando se presenta esta situación, el jacobiano

∂ ( x, y) ∂( u,v)

se obtiene mediante la propiedad:

∂ ( x, y ) ∂ ( u,v)

∂ ( u,v) ∂ ( x, y)

=1

(IV.11)

En donde:  ux ∂ ( u,v)  = det  ∂ ( x, y )  vx

uy    vy 

(IV.12)

Por lo tanto, el teorema de cambio de variable para integrales dobles puede escribirse como:

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 1 ∫∫ f ( x, y) dA = ∫∫ f ( T ( u,v) ) ∂ (u,v ) D′

D

(IV.13)

dudv

∂ ( x, y)

La demostración del teorema de cambio de variable en una integral doble es muy rigurosa; sin embargo, seguidamente se prueba dicho teorema en el caso particular que la función integrando, f , es igual a la unidad, es decir: Recuerde que :

∫∫

D

dA

∫∫

representa el área de la región D.

D

dA = ∫∫

D′

∂ ( x, y ) dudv ∂( u,v)

(IV.14)

Demostración del Teorema de cambio de variable en una integral doble, cuando la función integrando es igual a la unidad: Considere una región D′ definida como: D′ =

{( u,v) u

0

}

≤ u ≤ u0 + ∆u ∧ v0 ≤ v ≤ v0 + ∆ v

(IV.15)

La cual se aprecia en la figura 4.2

Figura 4.2 Una región

D′ en el plano uv

Por lo tanto la región D′ es un rectángulo cuyos vértices son los puntos:

A′ (u0 ,v0 ),

D ′ (u0 + ∆u,v0 + ∆v ) .

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B′ ( u0 + ∆ u,v0 ) ,

C′ ( u0 ,v0 + ∆ v )

y

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Considere ahora, una función de transformación T ( u,v ) , la cual puede aproximarse como:  ∆u  T ( u,v ) ≈ T ( u0 ,v0 ) + T ′ ⋅   ∆v 

(IV.16)

Donde T ′ es la derivada de T evaluada en (u0 ,v0 ) . La imagen del rectángulo D′ bajo el efecto de la transformación T propuesto en la expresión IV.16 se muestra en la figura 4.3

Figura 4.3 Región

D′ bajo el efecto de la expresión IV.16

Entonces, la aproximación de T , planteada en IV.16, transforma al rectángulo D′ en un paralelogramo con vértice en T ( u0 ,v0 ) y Los vectores ∆u i y ∆v j son:

 ∆u  ∆u i =    0   0  ∆v j =    ∆v Por otra parte,  ∂x   ∂ u   ∂x ∂y  u ∆   =  ∆ u ,∆ u  ∂u   ∂y   ∂u    ∂u  ∂x    ∂x ∂y ∆ v ∂ v  =  ∆ v ,∆ v  ∂v  ∂y   ∂v    ∂v 

con lados adyacentes, correspondientes a ∆ u y ∆v , definidos por los vectores: T′ ⋅ ( ∆ ui) y T ′ ⋅( ∆ v j ) , los cuales pueden escribirse como:

 ∂x  ∂u T ′ ⋅ ( ∆ui ) =   ∂y  ∂u

∂x   ∂x   ∂u  ∂v   ∆u     = ∆u   ∂y   0   ∂y     ∂v   ∂u 

(IV.17)

 ∂x  ∂u T ′ ⋅ ( ∆v j ) =   ∂y  ∂u

∂x   ∂x   ∂v  ∂v   0     = ∆v   ∂y   ∆v   ∂y     ∂v   ∂v 

(IV.18)

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Geraldine Cisneros El área de un paralelogramo cuyos lados están definidos por los vectores: ( a,b) y (c,d ) Se obtiene como el valor absoluto del determinante:

a b c d

=

a c b d

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Donde las derivadas parciales de las ecuaciones IV.17 y IV.18 están evaluadas en (u0 ,v0 ) . Luego, el área del paralelogramo de la figura 4.3 está dada por:

∂x  ∂x ∂x  ∂u ∆ u ∂v ∆ v  ∂u  = det det  ∂y ∂y   ∂y ∆ v  ∆u   ∂u ∂v   ∂u

∂ x ∂x   ∂u ∂v  ∆u∆ v = det ∂ y ∂y   ∂ v  ∂u

∂ x ∂ v  ∆ u∆ v ∂ y  ∂ v (IV.19)

Recuerde que ∆u y ∆v son longitudes, por lo tanto:

∆ u = ∆u

∆v = ∆ v

Empleando la ecuación IV.9, se tiene:

∂x  ∂ x  ∂u ∆ u ∂v ∆ v  ∂ ( x, y ) ∂ ( x, y ) = ∆u∆ v = ∆u∆v (IV.20) det  ∂ ( u,v) ∂ y ∂ y  ∂( u,v) ∆v  ∆u  ∂u ∂v  Ahora, si la región D′ es dividida en pequeños rectángulos con lados de longitud ∆ u y ∆v , y se emplea la aproximación de T planteada en IV.14, estos rectángulos son transformados en pequeños paralelogramos cuyos lados están definidos por los vectores  ∆ u ∂ x ,∆ u ∂ y  y  ∆v ∂x , ∆v ∂y  , donde el área de cada ∂u ∂u ∂v ∂v 







paralelogramo se obtiene como

∂ ( x, y ) ∆u∆v , entonces el área de ∂ (u,v )

T (D ′) , denotada AT (D ′ ) se puede aproximar como:

AT (D ′) ≈ ∑∑

∂ ( x, y ) ∆u ∆v ∂ ( u,v)

(IV.21)

Luego tomando el límite cuando ∆ u y ∆v tienden a cero, en la expresión anterior, resulta:

AT (D ′) = ∫∫

D′

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∂ ( x, y ) ∂ (u,v )

dudv

(IV.22)

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Entonces, queda demostrada la ecuación

∫∫

D

dA = ∫∫

∂ ( x, y ) D′

∂( u,v)

dudv

En la figura 4.4 se aprecia la transformación de la región D′ pr medio de T .

Figura 4.4 Transformación

EJEMPLO 4.1

∫∫

Calcular la integral doble

D

T en una región D′

1 dA , empleando un cambio de 1+ xy

variable adecuado, donde D es la región del plano en el primer cuadrante limitada por y = x , y = 2 x , xy = 1 y xy = 2 . Solución: A continuación se muestra el recinto D .

En este ejemplo, transformación

T (u, v ) = ( x, y )

la

y= 2x

(1, 2)

 2  , 2    2 

D

(1,1)

no 1 y= x

está dada por lo cual a partir de la gráfica se propone una transformación

T

−1

( x, y) = ( u , v )

Figura 4.5 Región D del ejemplo 4.1

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y=

(

2 x

2, 2

)

y=x

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones A partir de la gráfica anterior, se propone el siguiente cambio:

y   , xy  = ( u, v) x 

Con el cambio propuesto se obtiene la región D′

y = x⇒

y = 1⇒ u = 1 x

Es decir:

y y = 2 x⇒ = 2 ⇒ u= 2 x

T −1 ( x, y ) = ( u , v )

x y =1 ⇒ v = 1

Con este cambio de variable, la región de integración cambia

xy = 2 ⇒ v = 2

mediante la expresión D ′ = T −1 ( D) , por lo tanto:

D′ =

{( u,v)

1 ≤ u ≤ 2 ∧ 1≤ v ≤ 2

}

En la figura 4.6 se observa la transformación de la región D a la región D′ .

Por

medio

de

tranformación T nueva región

la , la de

T −1

v=2

−1

integración D′ es una región rectangular.

Valor de u a la entrada de D´ u =1

D

Valor de u a la salida de D´ u=2

D′

v =1

Figura 4.6 Transformación de la región

D en D′ del ejemplo 4.1

Para poder resolver la integral doble pedida empleando el cambio de variable, se necesita determinar el jacobiano

∂ (x ,y ) , para lo ∂ (u,v )

cual se emplea la propiedad IV.10, luego Recuerde que:

y   x  = u    v  xy 

 y ∂ ( u,v) − x 2 det =  ∂ ( x, y )   y

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1 x  = − y − y = −2 y = −2u  x x x  x 

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Empleando la ecuación IV.12 se tiene que: I = ∫∫

D

2 2 1 1 1 1 2 2 1 dA = ∫ ∫ dudv = ∫ ∫ dudv 1 1 1 1 1 + xy 1 + v −2 u 2 ( 1 + v) u

I=

2

1

∫∫

D

EJEMPLO 4.2

ln 2

∫ 2( 1+ v) dv =

1 2 ln ( 3) ln( 2) − ln( 2)   2

1 1 2 dA = ln (3 ) ln ( 2 ) − ln ( 2)    1+ xy 2

Calcular la integral doble

 y − x cos  dA , empleando un cambio D  y + x

∫∫

de variable adecuado, donde

D es la región mostrada a

continuación.

C2 C1

C4

D

Figura 4.7 Región D del ejemplo 4.2

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C3

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Solución: Determinando las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D se tiene: C1 :

x =0

C2 : y = 2 − x ⇒

y+ x =2

C3 : y = 0 C4 : y =1 − x ⇒ Con el cambio propuesto se obtiene la región D′

y + x =1 ⇒ v = 1 y+x =2 ⇒ v=2 u = − x y=0⇒   v=x y = 0⇒ −u = v u = y x =0 ⇒  v = y x =0 ⇒u = v

y+ x= 1

 y− x A partir de la función integrando f ( x, y ) = cos   , se propone  y+ x

una transformación del tipo T −1 ( x, y ) = (u, v) :

 y − x  u  y + x  = v      Entonces:

{

D′ = ( u,v )

}

− v≤ u ≤ v ∧ 1≤ v≤ 2

La figura 4.8 muestra la transformación de la región D a la región

D′ por medio de T − 1. T −1 Por

medio

de

la

tranformación T − , la nueva región de integración D′ es una región tipo 2.

v=2

D′

1

Valor de u a la salida de D´ u= v

Valor de u a la entrada de D´ u = −v

D

v =1

Figura 4.8 Transformación de la región

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D en D′ del ejemplo 4.2

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Calculando el jacobiano

∂ ( x ,y) , se tiene que: ∂ (u,v )

Recuerde que:

 y − x  u  T − 1 (x , y ) =  =    y + x  v 

 −1 1 ∂ ( u,v)  = −1 − 1 = −2 = det    ∂ ( x, y )  1 1 Empleando la ecuación IV.12 se tiene que: v 2 2  y −x 3 u  1 I = ∫∫ cos  dA = ∫ ∫ cos   dudv = ∫ sen (1) vdv = sen( 1)  D 1 −v 1 + − y x v 2 2    

 y −x 

3

∫∫ cos  y + x  dA = 2 sen ( 1) D

4.2.1 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS POLARES En el APÉNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas polares.

A continuación se describe un caso particular del cambio de variable para integrales dobles: cambio a coordenadas polares. Considere que se desea calcular una integral doble

∫∫ f ( x, y ) dA , D

donde D es una región como la mostrada en la figura 4.9.

x 2 + y 2 = r2 2 x 2 + y 2 = r12

D

Figura 4.9 Una región general D

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones La región D está definida como sigue:

D=

{( x, y)

}

r12 ≤ x 2 + y 2 ≤ r2 2 ∧ tg ( θ 1) x ≤ y ≤ tg( θ 2) x

(IV.23)

Para expresar dicha región D en coordenadas polares, denotada

D′ , es necesario hacer la trasformación de coordenadas

T : D′ ⊂ \2 → D ⊂ \2 , señalada en la expresión IV.24: T ( r, θ ) = ( r cos θ ,rsenθ ) = ( x, y )

(IV.24)

Por lo tanto la región D′ es: Para que la función: T : D′ ⊂ \ 2 → D ⊂ \ 2 sea inyectiva es necesario que:

D′ =

{( r ,θ )

r1 ≤ r ≤ r2

∧ θ1 ≤θ ≤ θ 2

}

(IV.25)

0 ≤ θ < 2π

En la figura 4.10 se observa como la región D′ del plano rθ es transformada a través de la función T en la región D del plano

xy .

Figura 4.10 Transformación de la región

D′ en la región D a través de T (r ,θ ) = ( x, y )

Al emplear el teorema de cambio de variable en una integral doble, se tiene:

( ) ∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ f ( r cosθ ,rsenθ ) ∂ ( r, θ ) ∂ x, y

D

D′

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drdθ

(IV.26)

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En donde el jacobiano de la transformación es:

Recuerde que:  r cos θ  x  =  T ( r,θ ) =      rsenθ   y 

 ∂x  ∂ ( x, y ) ∂r = det  ∂ (r, θ )  ∂y  r ∂

Y que la identidad fundamental es:

∂x   cosθ ∂θ   = det   ∂y   senθ  ∂θ 

− rsenθ   = r cos2 θ + rsen2θ  r cos θ 

∂( x, y ) = r ( cos2 θ + sen2 θ ) = r ∂ ( r, θ )

cos2 θ + sen2 θ = 1

(IV.27)

Por lo cual se puede enunciar el siguiente teorema de cambio a coordenadas polares de una integral doble. TEOREMA: Cambio a coordenadas polares en una integral doble Sea f : \ 2 → \ una función continua en un rectángulo D′ , definido

por

{

D ′ = ( r ,θ )

r1 ≤ r ≤ r2

}

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ,

...