Funciones racionales y sus aplicaciones PDF

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Práctica sobre las funciones racionales y aplicaciones en biología.
Profesor: Victor Ayala....

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Universidad Autónoma de Baja California Sur Área de Conocimiento Ciencias del Mar Departamento de Biología Marina Carrera Biología Marina Laboratorio de matemáticas aplicadas a la biología Práctica 4. Funciones racionales y sus aplicaciones La Paz, B.C.S. a 20 de noviembre del 2013 Introducción Las funciones exponenciales son aquellas con cumplen con la forma de f(x)= a× Siendo a un número positivo y diferente de uno elevado a una potencia distinta de uno, el exponencial puede estar acompañado de sumas restas entre otras operaciones matemáticas. (Jiménez, René, 2006) Las gráficas de las mismas presentan un decrecimiento muy rápido en un inicio sí a < 1 o presentan un crecimiento muy elevado en determinado punto si a > 1, por lo tanto podría tomar 2 formas según os valores dados. (Jiménez, René, 2006). Véase imagen 1.1

Imagen 1.1 Formas de la parábola según a (General).

Las mismas nos sirven para demostrar distintos procesos económicos, sociales o biológicos, hasta físicos como puede ser el crecimiento bacteriano o el decaimiento exponencial, y son el contrario de las siguientes ecuaciones. Ecuaciones logarítmicas, estas ecuaciones están dadas por la ecuación general de: logₐ x = y, o en su caso, aʸ = x Esta se denomina función logaritmo con base a para obtener x, donde y es el número a elevar a para obtener x, pero en este caso además se pude denominar con a elevado a la y para obtener x. La función logarítmica tiene la forma siguiente, como ocurre con las exponenciales se ve modificada en su forma si a < 1 o a > 1 como se aprecia en la figura Véase figura 1.2 (Hernández, Horacio, 2004)

Imagen 1.2 Comportamiento general de la ecuación logarítmica. Cabe mencionar que poseen asíntotas denominadas por los números utilizados como base y el resultado, esto es debido a y, x y a. Las ecuaciones logarítmicas suelen tener 3 bases principales, e, 2 y 10, siendo e un número llamado logaritmo natural, mismo que es utilizado para simplificar ecuaciones y tiene un origen debido a distintos cálculos realizados, este mismo permite simplificar ecuaciones o problemas. (Plouffe, S., 2006) En la realidad, les encontramos útiles para establecer modelos matemáticos que representan problemas de la vida diaria tales como crecimiento, o decrecimiento de alguna población entre otros.

Como se observa tiene un parentesco ambas funciones por lo similar de su forma general en muchos aspectos, tenemos un decrecimiento o un decaimiento similar pero con distinta orientación. En el caso del problema planteado, la degradación iónica tiene la forma de un decaimiento exponencial, esto es que con el tiempo se perderá masa debido a la actividad radiactiva y la vida elemental, es decir el modelo planteado es un decaimiento que sufrirá una curva muy pronunciada en determinado momento de decrecimiento, manteniendo el margen de no desaparecer, sin contar además la radiación emitida. (Goodman, Arthur, 1996) En la cicatrización normal de heridas puede obtenerse por medio de una función exponencial, enunciando el área de la herida y como resultado obtendríamos el tiempo que tardara en cicatrizar la misma. (UNAM) Objetivo general Reafirmar la lección teórica de las funciones logarítmica y exponencial, construir las correspondientes gráficas por medio del programa MatLab, identificar sus características y relacionarlas con diferentes aplicaciones biológicas. Objetivos específicos Poder observar el comportamiento de las gráficas y hacer una analogía de cómo estas se relacionan y tiene las formas tan similares, además de poder comprenderlas de una mejor manera. También pretendemos, gracias al problema planteado sobre la degradación, saber cómo se comportan los elementos radiactivos en, válgame la redundancia, la degradación, saber qué materia quedaría disponible después de cierta cantidad de tiempo y como es que se ve afectada a lo largo del mismo. Por parte del problema biológico se pretende graficar y ejemplificar como es que se da el proceso de la cicatrización de un modo no solo funcional sino también gráfico, además de ver el comportamiento y discutir el mismo.

Con lo que se propone que la primer función sea un decaimiento y sufra un decremento exponencial y después poco a poco disminuya la misma por el tipo de función que es, así como en la cicatrización que se espera que la misma disminuya en área puesto que la función establece un decrecimiento en el área de la misma a través del tiempo. Material y métodos Durante una sesión de una hora se realizó en un ordenador personal y con el software MatLab, la generación de un programa estándar para la aplicación de funciones exponenciales y logarítmicas. En el programa se empezó como usualmente, se borró todo lo anterior que pudiera afectar el mismo, se empezó y se dio la orden y se empezó por establecer un comando para poder elegir cuál de las funciones realizaríamos, en este caso se estableció como posibilidades la función exponencial o logarítmica, cuyas ecuaciones generales fueron representadas en el programa de la siguiente manera Y=C*exp(A*X+B)+D y Y= C*log(A*X+B)+D, respectivamente, que son las dos con las que se trabajaron, después de esto se introdujo un comando en que se decía que si elegíamos 1 de las funciones esta seria y solamente seria 1 de ellas sin excepción, además en este apartado se toma en cuenta un comando llamado if, que es una serie de comandos unidos para determinar que gráfica se hará, en este caso exponencial o logarítmica, esto significa “si”, es para decir “si elegimos logarítmica, será y solo será logarítmica”, según sea el caso, acto seguido se introdujo la forma general de la ecuación exponencial que cuenta con valores a, b, c y d, por lo cual después se escribió el comando para poder introducir los números deseados a voluntad en la ventana de comando al realizar el programa, seguido de esto se utilizó una orden para poder describir los valores de x que insertaríamos después en la ventana de comandos, estos valores serían el dominio y por lo tanto enunciarían las asíntotas, a continuación se expresó la formula general de la ecuación exponencial que se graficaría con el comando que le sigue en orden llamado plot, también se nombrarían los ejes de acuerdo a la regla normal y, x, estableciendo el entramado así como el nombre al final de esta parte del programa para esta, la primer gráfica. Seguido de esto se dio la orden para poder graficar x contra el logaritmo de y, se puso el comando figure para dar la orden de una nueva figura con todas las mismas

características de las figuras anteriores, pero en este caso en plot, se ordenó graficar x contra el logaritmo de y como era la intención, dando su nombre al final de este apartado. Después se insertó un comando llamado else que se conlleva con if, en este caso nos dice que si no elegiste la opción 1 será la opción 2 y solamente la 2, logarítmica en este caso, después un selector escrito de que logaritmo elegiríamos, en base e, 2 o 10, el cual se seleccionó en la ventana de comando al final del programa, cuando se ejecutó, a continuación se insertó la formula general de la ecuación logarítmica que tiene 3 variables a, b, c, aparte de la x que determina los valores, al igual que con la primera se insertaran los valores de x en la ventana de comandos con el escrito input, por lo cual se decidirán la asíntotas, por último en este apartado se dio el comando if, debido a que tenemos 3 opciones para graficar, y se dice que si la elección es la 1 y solo la 1 esa misma será, seguido de esto se encuentra el comando elseif, que nos dice que si no es la primera opción entonces será esta y solamente esta, y en la tercer parte se insertamos el mismo comando pero con la orden de que si es 3 será solamente 3, aquí pues se decide qué tipo de logaritmo se realizara y finalizando esto con el comando end para dar por terminada la parte de selección. Al final se introducen todos los comando propios para poder graficar las funciones necesarias y terminado todo el programa con el comando end. Este mismo programa se utilizó para la resolución de cada problema biológico y para la ilustración de las gráficas pedidas. Problemática del manual La masa m(t) restante después de t días de muestra de 40 g de torio 234 está dada por: m (t)=40 e−0.0277t Grafica el comportamiento del elemento y contesta a la pregunta: ¿Después de 60 días cuál es la cantidad de muestra restante? Problemática individual

En la cicatrización normal de heridas puede obtenerse por medio de una función exponencial. Si A ₒ representa el área original de la herida y A es igual el área de la herida después de n días, entonces la cicatrización normal de heridas puede obtenerse así: A= Aₒ e−0.35 n , ( UNAM, 2006), con esto se pretende ver como es el comportamiento a través del tiempo de la cicatrización a partir de esta función. Resultados Para la primer gráfica, en este caso exponencial se seleccionó la misma, la formula era la de f(x)=3e2x+7+5, con la cual se insertaron los valores aquí representados, obteniendo una gráfica con un crecimiento exponencial como se muestra en la figura, graficada con valores en x iguales a, [0:.1:15]. (véase figura 1.3).

Figura1.3 Función exponencial de la forma f(x)=3e2x+7+5 Para la siguiente figura exponencial, que en este caso fue la propia, fue la ecuación, f(x)=e-3x-4+3, que nos dio como como resultado una gráfica con un decrecimiento exponencial debido a los valores dados como se muestra aquí. Graficada con valores en x iguales a, [0:.1:15]. (véase figura 1.4)

Figura 1.4 Función exponencial de la forma f(x)=e-3x-4+3 En ecuación de logaritmo natural se utlizo como primeras variables las siguiente de la formula, f(x)= 3ln(3x-1)-1, que fueron insertadas en ventana de comando dando como resultado esta gráfica que nos da un crecimiento muy acelerado en principio y muy reducido a partir de cierto punto. Graficada con valores en x iguales a, [.4:.1:5]. (véase figura 1.5)

Figura 1.5 Función logarítmica de la forma f(x)= 3ln(3x-1)-1 En la ecuación propia se utilizó la formula f(x)= 5ln(3x4)6, insertando los valores en comando, lo que nos dio una gráfica con un incremento muy elevando hasta cierto punto donde decrece la aceleración del mismo y la gráfica deja de aumentar tan drásticamente. Graficada con valores en x iguales a, [1.2:.1:10]. (véase figura 1.6)

Figura 1.6 Función logarítmica de la forma f(x)= 5ln(3x4)6 En la primera función logarítmica con base 2 se insertaron los valores acuerdo a lo pedido según la formula dada de f(x)=-log2(3x-5), con lo que se graficó una imagen con la que tenemos una gráfica que muestra un decaimiento muy elongado y después disminuye de forma gradual. Graficada con valores en x iguales a, [1.7:.1:10]. (véase figura 1.7)

Figura 1.7 Función logarítmica con base 2 de la forma f(x)=-log2(3x-5) Para la elección personal se escogieron los datos de la fórmula de f(x)=-3log2(-1x-2)-2, insertándolos con resultado de una función que sufría como la anterior un decaimiento bastante grande y después se estabilizaba y dejaba de disminuir de forma tan brusca. Graficada con valores en x iguales a, [2.1:.1:10]. (véase figura 1.8)

Figura 1.8 Función logarítmica con base 2 de la forma f(x)=-3log2(-1x-2)-2 Por ultimo las funciones logarítmicas con base 10, insertados los datos de la función dada que fue, f(x)=5log10(-6x+7)+3, se dio la orden para graficar y se obtuvo la misma que aumenta de manera cada vez con una menor rapidez en relación al aumento en valores de x como podemos ver en la figura dada. Graficada con valores en x iguales a, [1.6:.1:10]. (véase figura 1.9)

Figura 1.9 Función logarítmica con base 10 de la forma f(x)=5log10(-6x+7)+3 En al personal se utilizaron los valores de 4, -3, 4, -3 dando la formula, f(x)=4log 10(4x3)-3, que nos dios una gráfica similar con un aumento muy pronunciado en el inicio

según los valores de x, sin embargo conforme aumentan estos no aumentan tan rápidamente como lo podemos apreciar. Graficada con valores en x iguales a, [-.7:.1:10]. (véase figura 1.10)

Figura 1.10 Función logarítmica en base 10 de la forma f(x)=4log10(4x-3)-3 Como se puede observar todas las funciones se ven muy similares, la mayoría sufre incrementos o decrementos muy abruptos en ciertas partes de los valores dados, pero solo hasta cierto punto, porque de un valor en adelante o en su caso hacia atrás, la gráfica aumenta o disminuye su valor de manera muy gradual en comparación. Resultados del planteamiento y el problema del manual Según el problema del manual que nos dicta que la masa m(t) restante después de t días de muestra de 40 g de torio 234 está dada por: m (t)=40 e−0.0277t Grafica el comportamiento del elemento y contesta a la pregunta: ¿Después de 60 días cuál es la cantidad de muestra restante? Se obtuvo la gráfica siguiente con un decremento o decaimiento exponencial en la masa el mismo a través de los días, con lo que además llegamos a la responsiva de la incógnita de cuanta masa restante del mismo habrá en 60 días, esto es 7.59 gramos,

una disminución en más del 75% del material original, tal y como se muestra en la figura obtenida. (véase figura 1.11)

Figura 1.11 Decaimiento exponencial del torio 234 con la ecuación de la forma −0.0277t

m (t)=40 e

En parte del problema biológico enunciado por la UNAM, se tomó como base una herida de 10 centímetros cuadrados con un periodo de curación de 30 días tal como se muestra en la figura, de acuerdo a la problemática establecida siento esta, “la cicatrización normal de heridas puede obtenerse por medio de una función exponencial. Si A ₒ representa el área original de la herida y A es igual el área de la herida después de n días, entonces la cicatrización normal de heridas puede obtenerse así: A= Aₒ e−0.35 n ” (véase figura 1.12)

Figura 1.12 Cicatrización de una herida, con la ecuación de la forma A= Aₒ e−0.35 n

Como podemos ver el comportamiento de la misma es un decrecimiento muy rápido en lo que al área respecta según los días primeros días transcurridos llegando a su mínimo entre los días 15 y 20, donde la cicatriz pasa a ser casi imperceptible como se observa en la ecuación, esto pues nos dice de qué manera un organismo normal actúa en cuestión de días para sanar una herida y como es que en una grafica esto se ve representado. Discusión Como pudimos observar a lo largo el programa y de todas las gráficas resultantes, además de la investigación realizada para poder comprender mejor los problemas dados y el planeamiento, nos dimos cuenta que ambos tipos de ecuaciones tienen utilidades similares como resolución o ilustración de problemas biológicos que en este caso utilizamos, podemos hacer la analogía o comparación de ambos tipos de gráficas, pero como fue plasmado en resultados tiene similitudes muy marcadas a lo que pudimos observar, los 4 tipos de ecuaciones vistas, tienen un lugar, un área donde crecen o decrecen con mayor rapidez, esto es, en valores pequeños o valores elevados o cerca de las asíntotas, crecen de manera muy rápida para no tocar la misma, o en su defecto decrecen, por otra parte después de esa área dada donde crecen o disminuyen el esto de la gráfica tiene un aumento o disminución mucho menor al inicial o final, eso fue lo que observamos como generalidad en ellas, además de ver como se comportaban y como influían los signos en las mismas, sabemos que si el inicial exponencial o el logaritmo tienen signo negativo la gráfica decrecerá pues esto es lo que dicta este comportamiento, el signo cambia la orientación misma de las gráficas como lo veíamos en clases, en el caso de logarítmicas tener “-log” significa un decrecimiento en tanto en exponenciales el tener un número elevado a una potencia con signo menos nos representa un decaimiento, las constantes como tenemos en todos los casos “B” y “D”, estas dictan el movimiento a los lados o arriba y hacia abajo de la gráfica respectivamente, pues la suma o resta de estos solo único que cambia es la localización por lo tanto no tienen un efecto mayor sobre la curvatura o aumento de las gráficas. Con respecto a los problemas, en relación al decaimiento exponencial del torio, las teorías fueron cumplidas, puesto que se estipulo que sería un decaimiento exponencial que en un principio sería muy elevado y poco a poco dejaría de disminuir tan rápido,

teoría que fue comprobada al momento de poder hacer la gráfica y comparar ideas con resultados reales, pero esto es un fenómeno natural, por lo que además de ver la utilidad de las ecuaciones nos informamos con ejemplos de la vida diaria o la naturaleza que mejoran la comprensión de la utilidad de estos sistemas de ecuaciones, en este caso el torio debió a la radiactividad y al movimiento e inestabilidad pierde masa y libera una gran cantidad de radiación en periodos cortos de tiempo ya que en 60 días como vimos perdió más del 75% de masa, muy significativo a nivel químico o físico. Con respecto a la cicatrización pues también se logró estar en lo correcto se predijo que la misma cicatrizaría muy rápido de forma muy abrupta y que en determinado momento dejaría de cicatrizar tan rápido, lo ilustrado es el área restante de herida después de 30 días, pero vimos que en el periodo de 15 y 20 días todo esto dejo de cicatrizar o fue muy imperceptible pues esta nunca será menos de 0 pero sin embargo en este tiempo el área desapareció casi totalmente como predijimos, por lo cual estábamos en lo correcto, y la razón por la cual se supo esto fue por el signo de menos al que estaban elevadas las dos ecuaciones esto es lo que nos marca si la ecuación crecerá o decrecerá, esto lo sabemos gracias a la lectura y la practica en las clases y la aplicación de las mismas, esto significa que efectivamente problemas biológicos incluso lo más simple puede ser representado en graficas a través de las ecuaciones matemáticas pertinentes. Conclusión Como observamos se puede predecir cómo se comportara una gráfica de estas funciones, esto significa que podemos saber qué sentido tomara la misma si sabemos las reglas que hemos aprendido, los signos juegan papeles muy importantes en las ecuaciones representadas anteriormente, pudimos observar el valor de las ecuaciones gracias a los problemas planteados por la profesora y nosotros mismos a través de la investigación. Pudimos comprobar hipótesis planteadas de problemas químicos y biológicos, sobre comportamiento de gráficas, así como poder interpretar porque y como se daban estos cambios o estos comportamientos y no solo ver una línea curva que no nos dice nada, sino buscar por qué y saber cómo interpretarlo.

Finalmente adquirimos una habilidad de identificación de ecuaciones variables y signos que podemos utilizar en la vida diaria así como relacionarlas a problemas diarios.

Bibliografía Jiménez, René, Funciones, Pearson Education, México, 2006, 168pp. Fernández Horacio, Matemáticas previas al cálculo, Universidad de Medellín, 2005, 505pp. Goodman Arthur, Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Prentice Hall, 1996, 642pp. Becerra, José Manuel, Matemáticas V, el pacer de dominarlas sin complicaciones, Facultad de contaduría y administración de la UNAM. Plouffe, S. Identities Inspired from Ramanujan Notebooks (Part 2), Abril, 2006 Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm." From MathWorld...