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FUNCIONES RACIONALES Introducción En esta sección estudiaremos los siguientes aspectos de las funciones racionales: 3.1 Definición 3.2 Gráfica 

Determinación del Dominio e Imagen



Características de su gráfica

3.3 Límites 

Existencia de Asíntotas Verticales



Existencia de Asíntotas Horizontales



Aplicaciones

3.4 Derivadas 3.4.1 La derivada de un cociente 3.4.2 Ecuación de la recta tangente de una función racional 3.4.3 Máximos, mínimos y puntos de inflexión de una función racional Tareas Este tema constará de tres actividades

3. FUNCIONES RACIONALES

3.1 Definición Las funciones racionales son el cociente de dos funciones polinomiales, es decir, las funciones racionales son del tipo: 𝑟(𝑥) = con f(x) y g(x) polinomios y g(x) ≠ 0.

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 1

Son ejemplos de funciones racionales: 𝑦=

1

𝑥

,

𝑟(𝑥) =

1 , 𝑥−2

ℎ(𝑥) =

𝑥2 − 4 , 𝑥−2

𝑟(𝑥) =

2 , 2 𝑥 +1

2 2𝑥 − 9 𝑦=𝑥 −𝑥−6

3.2 Gráfica Explicaremos con tres ejemplos como determinar el dominio de la función, así como las características de las gráficas de la cual obtendremos su imagen. Ejemplo 1: Tomemos la siguiente función, en donde el numerador es una función constante y el denominador una función de primer grado 𝑟(𝑥) = Determinación del dominio e imagen

1 𝑥−2

Para determinar el dominio igualamos el denominador con cero, puesto que esto nos dirá con qué valor de x, el denominador se hace cero, es decir, con qué valor de x, la función se indetermina: 𝑥 − 2 = 0 es decir, con x = 2, el denominador de r(x) se hace cero y se indetermina la

función.

Dm: (−∞, ∞) − {2}

𝑟(𝑥) =

1 𝑥−2

2

x -3 -2 -1 0 1 3 4 5

r(x) 1/-5=-0.2 1/-4=-0.25 1/-3=-0.33 1/-2=-0.5 1/-1=-1 1/1=1 ½=0.5 1/3=0.33

Pero para trazar los puntos cercanos a 2, tomemos: x r(x) 1.9 1/-0.1=-10 1.99 1/-0.01=-100 2.1 1/0.1=10 2.01 1/0.01=100 La recta que pasa por el punto x = 2 le llamaremos asíntota vertical de la función r(x).

Asíntota: En geometría se llama así a la recta, que a medida que se prolonga indefinidamente, tiende a acercarse a una curva, sin intersectarla. Esto significa que a medida que la recta y la curva van extendiéndose, la distancia entre ambas tenderá a cero. Im: (-∞,∞) – {0}

Im: (-∞,0) U (0, ∞)

Ejemplo 2: En la siguiente función racional, el numerador es una función cuadrática y el denominador nuevamente una función de primer grado 3

𝑥2 − 4 ℎ(𝑥) = 𝑥 − 2

Dm: (−∞, ∞) − {2}, ya que con el 2 se indefiniría la función x h(x) -3 5/-5=-1 -2 0/-4=0 -1 -3/-3=1 0 -4/-2=2 1 -3/-1=3 3 5/1= 5 Nuevamente para trazar los puntos cercanos a 2, tomemos: x h(x) 1.9 -0.39/-0.1=3.9 1.99 -0.0399/-0.01=3.99 2.1 0.41/0.1=4.1 2.01 0.0401/0.01=4.01 Para esta función en lugar de una asíntota en x = 2, hay un punto vacío o “agujero”. Im: (-∞,∞) – {4}

Ejemplo 3: Ahora tenemos una función racional donde el numerador es una función constante y el denominador una función cuadrática: 𝑟(𝑥) =

2 𝑥2 + 1

Igualamos con cero el denominador para determinar el dominio: 𝑥2 + 1 = 0 𝑥 2 = −1

𝑥 = ±√−1 𝑥 = ±𝑖

Pero, 𝑥 2 = −1 y no hay ningún número real cuyo cuadrado sea -1. Así que no existe un valor de x que haga que el denominador sea cero. Por lo tanto, x puede ser cualquier número real.

4

Dm: (−∞, ∞)

Está función no tendrá asíntota vertical, ni agujeros, por lo que no será entonces necesario calcular límites, graficamos: 𝑟(𝑥) =

x -3 -2 -1 0 1 2 3

𝑥2

2 +1

r(x) 2/10=0.2 2/5=0.4 2/2=1 2/1=2 2/2=1 2/5=0.4 2/10=0.2

Im: (0, 2]

3.3 Límites Discontinuidades y Existencia de Asíntotas Verticales Cuando existe un valor que indefine a una función racional (pues convierte a cero el denominador) entonces existe en ese valor una discontinuidad de tipo evitable o discontinuidad al infinito. Sea a un valor que no está en el dominio de f (se dice que f(a) no existe) a) Es una discontinuidad evitable,

lim𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑥→𝑎

En cuyo caso no hay asíntota vertical en x = a Tenemos un agujero Ejemplo: Retomamos el Ejemplo 2, donde ℎ(𝑥) =

, cuyo dominio es (−∞, ∞) − {2} .

𝑥 2 −4 𝑥−2

5

Ahora calculamos el límite con el valor que no está en el domino: 2 lim 𝑥 2 − 4 = lim (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = lim(𝑥 + 2) = 2 + 2 = 4 𝑥→2 𝑥−2 𝑥−2 𝑥→2

𝑥→2

Así el límite cuando x tiende a 2, es igual a la constante 4. Lo que indica que existe un agujero en el punto (2,4)

b) Es una discontinuidad al infinito, si se cumple alguno de los siguientes casos: b.1)lim 𝑓 = ∞ 𝑥→𝑎

b.2) lim 𝑓 = −∞ 𝑥→𝑎

b.3) lim+ 𝑓 = ∞ 𝑥→𝑎

b.4) lim+ 𝑓 = −∞ 𝑥→𝑎

b.5) lim− 𝑓 = ∞ 𝑥→𝑎

b.6) lim− 𝑓 = −∞ 𝑥→𝑎

En cuyo caso existe una asíntota vertical de la forma x = a Para ello utilizaremos el Ejemplo 1 en que se da este caso, con la función 𝑟(𝑥) = dominio (−∞, ∞) − {2}

1

𝑥−2

, de

Nuevamente calculamos el límite con el valor que no está en el dominio, o sea cuando x tiende a 2.

6

lim

𝑥→2

12 𝑥−

Pero como no es posible factorizar para calcular en una función continua, es necesario calcular sus límites laterales Aproximar a 2 por la izquierda x r(x) 1.9 1/-0.1=-10 1.99 1/-0.01=-100 1.999 1/-0.001=-1000 Conforme me acerco a 2 por la izquierda, los valores de y van disminuyendo, entonces: lim−

𝑥→2

Hay una asíntota vertical en x=2

1 = −∞ 𝑥−2

Aproximar a 2 por la derecha x r(x) 2.1 1/0.1=10 2.01 1/0.01=100 2.001 1/0.001=1000 Conforme nos acercamos a 2 por la derecha los valores de y crecen, entonces lim

𝑥→2+

Hay asíntota vertical en x=2 Por lo que lim

1

𝑥→2 𝑥−2

1 =∞ 𝑥−2

= NE, pues sus límites laterales dieron resultados de diferente signo.

Sin embargo, se cumplen los incisos b.3) y b.6) por lo que existe una asíntota vertical de ecuación: x = 2

7

Cuando una función carece de asíntotas verticales En el caso del Ejemplo 3, 𝑟(𝑥) = 𝑥2 +1, cuyo domino es (−∞, ∞), no calcularíamos el límite, 2

pues no tenemos un valor fuera del dominio de la función con el cual calcular. Significa que la función es continua, no tiene ni agujeros, ni asíntotas verticales.

Existencia de Asíntotas Horizontales

Podemos observar que en la siguiente gráfica de la función 𝑟(𝑥) = 𝑥2 +1 que no tuvo ni 2

agujeros, ni asíntotas verticales, el eje X, es asintótico a la curva (la curva no intersecta al eje X) así que este eje es una asíntota horizontal, de ecuación y = 0

8

Se llama asíntota horizontal a la función f, a la recta de la forma y = k (una función constante), tal que: lim 𝑓 = 𝑘

𝑥→±∞

Tomemos nuevamente el Ejemplo 1, donde 𝑟(𝑥) =

1

𝑥−2

Y para determinar si existe una asíntota horizontal en su gráfica calcularemos el límite cuando x tiende al infinito: lim

𝑥→∞

1 𝑥−2

Esto implica que queremos calcular para valores muy grandes de x x 100

r(x) 1/98=0.102

1000

1/998=0.001002

10,000

1/9998=0.00010002

9

Nota: Supuse que estos son valores muy grandes, pero en realidad, pueden suponerse los que se deseen: x = 20000 o x = 1’000,000 Por lo tanto: lim

1

𝑥→∞ 𝑥−2

= 0, ya que los valores de r(x) se aproximan cada vez más a cero.

Existe una asíntota horizontal de la forma y = 0

En cambio lim

1

𝑥→−∞ 𝑥−2

implica que queremos calcular para valores muy pequeños de x

x -100

r(x) 1/-102=-0.0098

-1000

1/-1002=-0.000998

-10,000

1/-10002=-0.00009998

Por lo tanto: lim

1

𝑥→−∞ 𝑥−2

= 0 ya que los valores de r(x)se aproximan cada vez más a cero por

la izquierda (con valores cercanos a cero, pero menores a cero) Existe una asíntota horizontal de la forma y = 0 (la cual esta punteada de rojo en la gráfica)

Tomemos ahora el Ejemplo 2, donde la función es ℎ(𝑥) =

𝑥 2 −4 𝑥−2

y calcularemos nuevamente

cuando x tiende al infinito para saber si tiene una asíntota horizontal

10

x 100

r(x) 9996/98=102

1000

999996/998=1002

10000

99,999,996/9998=10002

Por lo tanto: lim

𝑥 2 −4

𝑥→∞ 𝑥−2

lim 𝑥𝑥2 − − 24

𝑥→∞

= ∞, ya que los valores de r(x) son cada vez más grandes.

No existe entonces asíntota horizontal, la función es creciente. Ahora si calculamos cuando x tiende hacia el menos infinito, tenemos: 𝑥2 − 4 𝑥→−∞ 𝑥 − 2 lim

x -100

r(x) 9,996/-102 = -98

-1000

999,996/-1002 = -998

-10000

99’999,996/-10002 = -9,998

Por lo tanto: lim

𝑥 2 −4

𝑥→−∞ 𝑥−2

= −∞, ya que los valores de r(x) son cada vez más pequeños. No

hay una asíntota horizontal hacia la izquierda de la función

En la gráfica podemos observar que mientras más grande es el valor de x, mayor es el valor de y, y visceversa, mientras menor el valor de x, menor el valor de y.

No hay asíntota horizontal para esta función

11

El siguiente teorema puede utilizarse para calcular los límites al infinito, evitando cálculos con grandes y pequeños números. Teorema: lim

𝑐

𝑥→±∞ 𝑥 𝑛

2

= 0, para n entero positivo y x ≠ 0.

Por ejemplo: lim 𝑥2 = 0, 𝑥→∞

lim

1

𝑥→−∞ 𝑥

2/x2 2/10000=0.0002 2/1000000=0.000002

x 100 1000

5 𝑥→∞ 𝑥 3

= 0, lim

= 0,

x -100 -1000 -10000

1/x 1/-100 = -0.01 1/-1000 = -0.001 1/-10000 = -0.0001

5/x3 5/1000000=0.000005 5/1000’000,000=0.000000005

x 100 1000 10000

Si lo aplicamos a la determinación de las asíntotas horizontales de los ejemplos anteriores tenemos: (Ejemplo 1)

1 𝑥→∞ 𝑥 − 2 lim

Dividimos entre la variable de mayor exponente (en este caso x) tanto numerador como denominador y simplificamos termino a término:

1 1 1 1 𝑥 𝑥 𝑥 ∙ = lim lim = lim 2 2 𝑥→∞ 𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 − 2 1 − 1 − 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1

2

Aplicamos el teorema anterior a 𝑥 y a , en el caso de 1, recordemos que el límite de una 𝑥

constante es la misma constante así que: = lim

𝑥→∞

1 𝑥

2 1−𝑥

=

1 𝑥→∞ 𝑥 lim

lim 1 −

𝑥→∞

2 𝑥

=

0 0 = =0 1−0 1

Significa que hay una asíntota horizontal en y = 0

12

Ahora en el Ejemplo 2:

𝑥2 − 4 𝑥→∞ 𝑥 − 2 lim

Dividimos en el de mayor exponente y simplificamos 𝑥2 4 1 4 1− 2 − 2 𝑥 − 4 𝑥2 2 𝑥 𝑥 = lim lim = lim 𝑥 ∙ 1 2 2 𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 − 2 𝑥→∞ 1 − 𝑥 − 𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑥2 2

Aplicamos teorema y propiedades de los límites:

4 1 − 𝑥2 1 − 0 1 = = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 = lim 2 0−0 0 𝑥→∞ 1 − 𝑥 𝑥2

No hay asíntota horizontal pues se indefinió el límite.

13

Ejemplo 4: Analicemos completamente para la siguiente función: 𝑥2 − 9 𝑟(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 6

Para determinar el dominio, igualamos el denominador con cero: 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 Factorizando:

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 x–3=0

x+2=0

x=3

x = -2

Dm: (-∞, ∞) – {-2,3} Dm: (-∞, -2) U (-2,3) U (3, ∞) Para conocer si hay agujeros o asíntotas verticales tomamos los valores que no acepta el dominio y calculamos los límites necesarios: lim

𝑥→−2

Factorizamos

𝑥2 − 9 𝑥2 − 𝑥 − 6

(𝑥 + 3) (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) 𝑥2 − 9 = 𝑁𝐸 = lim = lim 2 𝑥→−2 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 𝑥→−2 (𝑥 + 2) 𝑥→−2 𝑥 − 𝑥 − 6 lim

Aquí podemos ver que la función se sigue indeterminando, si sustituimos x=-2, por lo cual tendremos que calcular: a)

lim

𝑥+3

𝑥→−2− 𝑥+2

= −∞

b)

𝑥+3 lim 𝑥→−2+ 𝑥+2

=∞

x

r(x)

x

r(x)

-2.1

0.9/-0.1=-9

-1.9

1.1/0.1=11

-2.01

0.99/-0.01=-99

-1.99

1.01/0.01=101

-2.001

0.999/-0.001=-999

-1.999

1.001/0.001=1001

14

Hay una asíntota vertical: x = -2 Ahora calculamos para x = 3 𝑥2 − 9 (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) (𝑥 + 3) 3 + 3 6 = lim = lim = = = 1.2 2−𝑥−6 𝑥 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 𝑥→3 𝑥→3 𝑥→3 (𝑥 + 2) 3+2 5 lim

No hay asíntota vertical en x=3, pero hay un agujero en x=3

En donde podemos sustituir pues no se indefine el cociente, además nos está indicando que existe una discontinuidad evitable (un agujero en la función)

x -5 -4 -3 -1 0 1 2 4 5

r(x) 16/24=0.66 7/14=0.5 0/6=0 -8/-4=2 -9/-6=1.5 -8/-6=1.3 -5/-4=1.25 7/6=1.16 16/14=1.14

Determinemos la existencia de la asíntota horizontal:

1 𝑥2 − 9 𝑥2 − 9 2 𝑥 lim 2 = lim 2 ∙ 𝑥→∞ 𝑥 − 𝑥 − 6 1 𝑥→∞ 𝑥 − 𝑥 − 6 𝑥2 𝑥2 9 9 1− 2 − 2 2 1 1−0 𝑥 𝑥 𝑥 = =1 = = lim = lim 2 1 6 𝑥→∞ 𝑥 𝑥 6 𝑥→∞ 1 − − 1−0−0 1 − − 𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑥2

Hay asíntota horizontal: y=1

lim

𝑥→−∞

𝑥2 − 9 =1 𝑥2 − 𝑥 − 6

15

Ejemplo 5: Analizar la función: 𝑦=

3𝑥 2 8 − 2𝑥 2

Para determinar el dominio de la función, igualamos el denominador con cero para saber si hay un número(s) que indeterminan la función. 8 − 2𝑥 2 = 0 Factorizando 2(4 − 𝑥2 ) = 0 Dividiendo toda la función entre 2 4 − 𝑥2 = 0

2−𝑥 =0

(2 − 𝑥)(2 + 𝑥) = 0

2+𝑥 =0

−𝑥 = −2

Dm: (- ∞, ∞) – {-2, 2}

𝑥 = −2

𝑥=2

Dm: (- ∞,-2) U (-2, 2) U (2, ∞) Existencia Asíntotas verticales o Agujeros 3𝑥 2 = 𝑁𝐸 𝑥→−2 8 − 2𝑥 2 lim

Como solo se puede factorizar el denominador, entonces calculamos los límites laterales lim−

𝑥→−2

3𝑥 2 = −∞ 8 − 2𝑥 2

x

lim+

𝑥→−2

y

3𝑥 2 =∞ 8 − 2𝑥 2

x

y

-2.1

13.23/-0.82=-16.13

-1.9

10.83/0.78=13.884

-2.01

12.1203/-0.0802=-151.1259

-1.99

11.88/0.0798=148.872

-2.001

12.012003/-0.008002=-1,501.125

-1.999

11.988003/0.007998=1,498.87

16

Hay una asíntota vertical de ecuación x=-2 lim

𝑥→2

3𝑥 2 = 𝑁𝐸 8 − 2𝑥 2

Como solo se puede factorizar el denominador, entonces calculamos los límites laterales lim−

𝑥→2

3𝑥 2 =∞ 8 − 2𝑥 2

x

lim+

𝑥→2

3𝑥 2 = −∞ 8 − 2𝑥 2

x

y

y

1.9

10.83/0.78=13.884

2.1

13.23/-0.82=-16.13

1.99

11.88/0.0798=148.872

2.01

12.1203/-0.0802=-151.1259

1.999

11.988003/0.007998=1,498.87

2.001

12.012003/-0.008002=-1,501.125

Hay una asíntota vertical de la forma x=2 Existencia de asíntota horizontal 3𝑥 2 ÷ 𝑥 2 3 3 = lim = −1.5 = 2 2 𝑥→∞ 8 − 2𝑥 ÷ 𝑥 𝑥→∞ 8 0−2 − 2 𝑥2 lim

Hay asíntota horizontal de ecuación y = -1.5

Im: (-∞, -1.5) U [0, ∞) Analizar la función

17

2𝑥 3 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 9

Para obtener el dominio, igualamos con cero el denominador: 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0 Factorizando (𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = 0 𝑥−3=0 𝑥=3

Dm: (-∞, ∞) – {3} Existencia asíntotas verticales o agujeros lim

𝑥→3 𝑥 2

2𝑥 3 =∞ − 6𝑥 + 9

Como no es posible factorizar, entonces se calculan los límites laterales lim−

𝑥→3

2𝑥 3 =∞ 𝑥 2 − 6𝑥 + 9

lim+

𝑥→3

2𝑥 3 =∞ 𝑥 2 − 6𝑥 + 9

x

g(x)

x

g(x)

2.9

13.718/0.01=1371.8

3.1

59.58/0.01=5,958

2.99

53.46/0.0001=534,600

3.01

54.54/0.0001=545,400

2.999

3.001

Hay una asíntota vertical de la forma x=3 Existencia de asíntotas horizontales 2 2 2𝑥 3 2 ÷ 𝑥3 = = lim = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 = 3 2 9 6 𝑥→∞ 1 𝑥→∞ 𝑥 − 6𝑥 + 9 ÷ 𝑥 0−0−0 0 + − 𝑥 𝑥2 𝑥3 lim

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas Oblicuas

18

Escritas en la forma pendiente-ordenada al origen 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Se determinan por los siguientes límites: 𝑚 = lim 𝑓(𝑥) 𝑥→∞ 𝑥

𝑏 = lim(𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥) 𝑥→∞

𝑚 = lim 𝑥→∞

𝑥2

2𝑥 3 2𝑥 3 2 2 ÷ 𝑥3 2 − 6𝑥 + 9 = lim =2 = lim = = 3 3 2 6 9 𝑥→∞ 𝑥 − 6𝑥 + 9𝑥 ÷ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 1− + 2 1−0+0 1 𝑥 𝑥

𝑏 = lim ( 𝑥→∞

𝑥2

2𝑥 3 2𝑥 3 − 2𝑥(𝑥 2 − 6𝑥 + 9) ) − 2𝑥) = lim ( 𝑥→∞ 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 − 6𝑥 + 9 = lim ( 𝑥→∞

2𝑥 3 − 2𝑥3 + 12𝑥 2 − 18𝑥 12𝑥 2 − 18𝑥 ÷ 𝑥 2 ) = lim ) ( 𝑥→∞ 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 ÷ 𝑥 2 𝑥 2 − 6𝑥 + 9

18 𝑥 ) = 12 − 0 = 12 = 12 = lim ( 6 9 𝑥→∞ 1 1−0+0 1− + 2 𝑥 𝑥 12 −

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

𝑦 = 2𝑥 + 12 Ecuación de la asíntota oblicua

Aplicaciones de los límites

19

Como se estudió en el apartado anterior, los límites nos ayudan a conocer el comportamiento de una función. Los usos que podemos destacar de los límites sobre los diferentes modelos matemáticos (en economía, ingeniería, biología, etc.) es la predicción de las magnitudes a medida que el tiempo transcurre en un lapso definido o por un tiempo indefinido, tal como: deformaciones de materiales con un margen mínimo de error, pronóstico de la cantidad de un recurso, cantidad de un medicamento en la sangre, cantidad de dinero que se debe o se capitaliza en una institución financiera, etcétera. Ejemplo: Un tanque contiene 5000 litros de agua pura. Se bombea al tanque salmuera que contiene 30 gramos de sal por litro de agua, a razón de 25 l/min: La concentración de sal después de t minutos (en grs/l) es: 𝐶(𝑡) = 200+𝑡 .¿Qué sucede con la concentración cuando el tiempo 30𝑡

transcurre indefinidamente?

Al decir que el tiempo transcurre indefinidamente se refiere a que t → ∞, por lo que hay que calcular lim

30𝑡

𝑡→∞ 200+𝑡

30 30𝑡 ÷ 𝑡 30 30 = = = 30 = lim 200 𝑡→∞ 𝑡→∞ 200 + 𝑡 ÷ 𝑡 0+1 1 + 1 𝑡 lim

Que cuando el tiempo transcurre indefinidamente, la concentración se fija en 30 gramos de sal por litro de agua

20

3.4 Derivadas 3.4.1 Derivada de un cociente A continuación, se da la demostración de la fórmula de la derivada de un cociente. Teorema: Si 𝑟(𝑥) = 𝑔(𝑥), entonces 𝑟′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)′𝑔 (𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)′ (𝑔(𝑥))2

Aplicando la definición de derivada de r(x)

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = lim

Aplicada a la función: 𝑟(𝑥) = 𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑟(𝑥 + ℎ) =

𝑓(𝑥 + ℎ) 𝑔(𝑥 + ℎ)

𝑓(𝑥 + ℎ) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥 + ℎ) 𝑔(𝑥) 𝑟 ′ (𝑥) = lim ℎ ℎ→0

Ap...