Funciones Racionales Asintotas PDF

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Explicación del tema con ejemplos de ejercicios y conceptos....

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III Funciones racionales Las funciones racionales son el cociente de dos polinomios 𝑎n𝑥n + 𝑎n–1𝑥 n–1 + 𝑎n–2 𝑥n–2 + ⋯ 𝑎1𝑥 1 + 𝑎0 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑥m + 𝑏 m–2 + ⋯ 𝑏 𝑥1 + 𝑏 𝑥 m–1 + 𝑏 m–2 𝑥 m 0 m–1 1

Dominio de la función Las funciones polinomiales están definidas para todos los reales, pero en el cociente de polinomios el denominador no puede ser cero. 𝑏m 𝑥 m + 𝑏m–1 𝑥 m–1 + 𝑏 m–2𝑥 m–2 + ⋯ 𝑏1𝑥 1 + 𝑏 0 ≠ 0 El dominio de la función son todos los números reales que sean diferentes a las raíces del denominador

Imagen de la función La imagen de la función son todos los valores posibles de 𝑦, entre otras consideraciones, dependerá de sus límites, valores máximos y valores mínimos.

Ceros de una función racional El cruce con el eje 𝒚 𝑓(0) =

𝑎0 𝑏0

Es el cociente de la ordenada al origen del polinomio en el numerador entre ordenada al origen del polinomio en el denominador si 𝑏0 ≠ 0 Los cruces con el eje 𝒙 (raíces de la función) Resultan de evaluar la función en los valores de 𝑥 para los que el numerador es cero 𝑓( 𝑥) = 0, cuando 𝑎 n𝑥n + 𝑎n–1𝑥 n–1 + 𝑎n–2𝑥 n–2 + ⋯ 𝑎1𝑥 1 + 𝑎0 = 0 Primer ejemplo la función constante 1 entre el polinomio identidad 𝑓(𝑥) =

1 𝑥

a) El dominio de la función (todos los valores posibles de 𝑥) 𝑥≠0 son todos los números reales excepto el cero 𝐷 = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) b) La imagen de la función (todos los valores posibles de 𝑦) son todos los números reales excepto el cero: 𝐸 = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) c) Cruce con el eje 𝑦 Como cero no está en el dominio de la función 𝑓(0) = no está definida La función no cruza el eje 𝑦 d) Cruce con el eje 𝒙 El numerador es 1 (valor constante) y nunca cero 𝑓(𝑥) = 0, 1 nunca es cero x

La función no cruza el eje 𝑥 e) ¿Cuándo la función es negativa? 1

0

(0, ∞)

Límites infinitos y límites al infinito Si bien la función 1 no está definida para 𝑥 = 0, la pregunta es: x

¿Qué ocurre con la función cuando 𝒙 tiende a cero? El valor en el que no está definida

Por la izquierda de cero 𝑥

𝑓(𝑥) 1

-1

1 −0.1 1

-0.01

−0.01 -0.001

1 1 −0.001

-0.00001

1 −0.0001

𝑓(𝑥) =1

1

= −10

0.1

= −100

0.01

1

= 10

0.1 1

= 100

0.01 0.001

= −10 000

0.0001

= −100 000

1

1

= −1 000

−0.001 -0.0001

𝑥

= −1

−1 -0.1

Por la derecha de cero

1

= 1000

0.001 1 0.0001

= 10 000

1

0.00001

0.00001

1 lim [ ] = −∞ x→0— 𝑥

= 100 000

1 lim [ ] = ∞ x→0+ 𝑥

El límite cuando 𝑥 → 0 no existe, por la izquierda la función tiende a valores muy grandes negativos y por la derecha a valores muy grandes positivos Definición límite

infinito:

1 lim [ ] = ±∞ x→0 𝑥 Infinito (∞) no es un número es un símbolo para representar valor muy grande ¿Qué ocurre con la función cuando 𝒙 tiende a valores muy grandes? Muy grandes negativos 𝑥

𝑓(𝑥) 1

-10

−10 -100

= −0.1

1 1 −1 000

𝑥

𝑓(𝑥) 1

-1

−1

= −0.01

-0.1

= −0.001

0.01

−0.100 -1 000

Muy grandes positivos

1 −0.1 1 −0.01

= −1 = −10 = −100

1

-10 000

−10 000 1

-100 000

−100 00 -1 000 000

1 −1 000 000

0.00 1

= −0.0001

0.00 01

= −0.00001

= −0.0000001

0.00 001

1 lim [ ] = 0 x→–∞ 𝑥

1 −0.001 1 −0.0001 1 −0.00001

= −1000

= −10 000

= −100 000

1 lim [ ] = 0 x→∞ 𝑥

El límite cuando 𝑥 tiende a valores muy grandes negativos ( 𝑥 → −∞) o positivos es cero Definición límite

al infinito: 1 lim [ ] = 0 x→±∞ 𝑥

Segundo ejemplo la función del ejemplo anterior desplazada 1 unidad hacia arriba 𝑓(𝑥) =

1 𝑥

+1

a) El dominio de la función (todos los valores posibles de 𝑥) son todos los números reales excepto el cero: 𝐷 = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) b) La imagen de la función se definirá más adelante c) Cruce con el eje 𝑦 𝑓(0) = no está definida La función no cruza el eje 𝑦

d) Cruce con el eje 𝑥 1 +1=0 𝑥

𝑓(𝑥) = 0

1 = −1 𝑥

𝑥 = −1

La función cruza el eje 𝑥 cuando 𝑥 = −1 𝑓(−1) =

1 −1

+1=0

e) Límite cuando 𝑥 → 0 1 lim [ ] = ±∞ x→0 𝑥 Estudiar o repasar las propiedades de los límites, por ejemplo: lim[𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 1] 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 1 x→a lim [ ]= lim[𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 2] x→a 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 2 x→a

f) Límite cuando 𝑥 → −∞ 1 1 lim [ + 1] = lim [ ] + lim [1] = 0 + 1 = 1 x→–∞ 𝑥 x→–∞ 𝑥 x→–∞ g) Límite cuando 𝑥 → ∞ 1 1 lim [ + 1] = lim [ ] + lim [1] = 0 + 1 = 1 x→∞ x→∞ 𝑥 x→∞ 𝑥 La imagen de la función (−∞, 1) ∪ (1, ∞), la función nunca es igual a uno h) ¿Cuándo la función es negativa o positiva? Para resolver la desigualdad con el método de la “tabla” cuando las expresiones están factorizadas y sus ceros correspondientes 1 1 1+𝑥 𝑥+1 1 +1 = + = = 𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑥 𝑥 +1 < 0, (−1,0) 𝑥 𝑥+1 > 0, (−∞, −1) ∪ (0, ∞) 𝑥 Comprobar el resultado

Tercer ejemplo: la función del primer ejemplo desplazada 1 unidad hacia la derecha: 1 𝑥−1

𝑓(𝑥) =

a) El dominio de la función (todos los valores posibles de 𝑥) 𝑥−1≠0 𝑥≠1 son todos los números reales excepto el uno 𝐷 = (−∞, 1) ∪ (1, ∞) b) La imagen de la función 𝐸 = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) Cero no es un valor posible de la función c) Cruce con el eje 𝑦 𝑓(0) =

1 = −1 0−1

La función cruza el eje 𝑦 en -1 d) Cruce con el eje 𝑥 El numerador es 1 (valor constante) y nunca cero 𝑓(𝑥) = 0,

1

x–1

nunca es cero

La función no cruza el eje 𝑥 La función no está definida cuando 𝑥 = 1. ¿Qué ocurre con la función cuando 𝒙 tiende a 1? e) Límite cuando 𝑥 → 1 (se puede hacer una tabla como el del ejemplo1) lim [ x→1

1 1 ] = lim [ ]±∞ 𝑥 −1 x→1 𝑥 − 1

f) Límite cuando 𝑥 → −∞ 1 ]= lim [ x→–∞ 𝑥 − 1 Cuando 𝑥 tiende a valores muy grandes positivos o negativos (𝑥 → ±∞) no “importa” que se agregue o reste una constante Definición 𝟏 𝟏 𝐥𝐢𝐦 [ ] = 𝐥𝐢𝐦 [ ] = 𝟎 𝒙→–∞ 𝒙 ± 𝒄 𝒙→–∞ 𝒙 Para este ejemplo 1 1 lim [ ] = lim [ ] = 0 x→–∞ 𝑥 − 1 x→–∞ 𝑥 g) Límite cuando 𝑥 → ∞ lim [ x→∞

1 1 ] = lim [ ] = 0 𝑥 −1 x→∞ 𝑥

i) ¿Cuándo la función es negativa o positiva? 1 < 0, 𝑥 −1 1

> 0,

(−∞, 0) (0, ∞)...