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Tarea 3 –Aplicaciones de las IntegralesRealizado por:Código o cédula:Docente:Curso: Calculo IntegralGrupo: 100411_Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNADEscuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingeniería ECBTIIngeniería de TelecomunicacionesMayo de 2020Tabla de ContenidoDesarrollo .........

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Tarea 3 – Aplicaciones de las Integrales

Realizado por: Código o cédula:

Docente:

Curso: Calculo Integral Grupo: 100411_441

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingeniería ECBTI Ingeniería de Telecomunicaciones Mayo de 2020

Tabla de Contenido

Desarrollo..........................................................................................................................................2 Referencias bibliográficas..............................................................................................................10

Desarrollo Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Ejercicio a. Calcular el área de la región situada entre las gráficas de g ( x) =−x 2+3 x +1. GeoGebra.

Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en

b

A=∫ [ f ( x )−g(x ) ] dx a



Calculamos intersecciones igualando las funciones:



x −2 x + x +1=− x +3 x+1 Cancelamos términos semejantes



x −2 x + x =−x +3 x Igualamos a 0

  

3

2

3

2

3

2

2

2

2

x −2 x + x + x −3 x Términos semejantes 3 2 x − x −2 x Factorizamos x ( x 2−x−2 ) =0 Colocamos -x como diferencia

x ( x 2 +2 x −2 )=0 x ( x 2 + x −2 x −2 )=0 x ( x +1 )−2 (x+1 )=0 x¿





3 2 f ( x ) =x −2 x + x +1 y

x (x+1)(x−2)=0 Tenemos x=0 x+ 1=0 x−2=0 Resolvemos para x x=0 x=−1

x=2

Análisis de f y g para los intervalos dados anteriormente:

[−1,0) y [0,2] −1 2 −1 −1 f = 8 2 −1 −3 g = 2 4 f >g

X

( ) ( )

f (x) g(x)

0

2

−1

0

A=∫ ( f −g ) dx+∫ ( g−f ) dx Calculamos el área: x 3−2 x 2 + x +1 ¿ −x 2 +3 x+1 −x 2 +3 x+1 ¿ x 3−2 x 2 + x +1 −(¿)dx ¿ ¿ 0

A=∫ ¿ −1

0

2

−1

0

3 2 3 2 A=∫ ( x −2 x −2 x ) dx +∫ (−x + x +2 x ) dx

A=

[

4

3

( )| 2

x x x − −2 4 3 2

][

4

3

( )| ] 2

−x x x 2 0 + +2 + 3 4 2 0 −1

1 f ( 1) =1 g ( 1) =3 g> f

2

−1 ¿ 2 2¿

( (

(

−24 23 −0 4 03 2 + +( ¿ )− + +0 4 4 3 3

)(

3

)]

]

3 4 (−1 )4 (− 1) 0 0 2 − − −0 − −(¿) +¿ 3 4 4 3 A=¿

( −14 −31 +1) + (−4+ 38 +4 ) 5 8 37 A= ( ) +( )= 12 3 12 A=

A ≈ 3,0833u 2 Geogebra

Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución. Ejercicio a. 1 , y=0 , √x+1 x=0 , x=3 alrededor del eje x. Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo.

Calcular el volumen generado al girar la región limitada por

y=

2

x ¿ dx R¿ b

V =π ∫ ¿ a 3

1 2 1 ¿ dx=π ∫ dx √x +1 0 x +1 ¿ 3

V =π ∫ ¿ 0

Resolvemos:

3

V =π ∫ 0

1 dx , u=x +1 x +1

du =1→ du=dx dx Cambiamos los límites de integración de x=3

u=(3 )+ 1

4

x=0

u=(0 )+ 1

1

∫ → ∫ ¿ ∫❑

Tenemos 4

|

1 V =π ∫ du=π ln|u| 4 u 1 1 2 ln ( 2) =2 πLn(2) V =π ( ln|u|−ln |1|)= π ln ( 4 )=π ¿

V =2 πLn( 2 ) ≈ 4,3551 u2 Geogebra

xau

Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias. Ejercicio a. La población de una especie de pollos en una finca crece con una tasa de 451 1000 e0.5 t− unidades por año (donde � es el número de años). La población inicial t+ 1 de pollos es de 2000 unidades. i. ¿Cuánto creció la población de pollos aproximadamente, entre ii. ¿Cuál es la población de pollos en la finca después de Para determinar cuánto creció utilizamos la integral: b

I =∫ f ( t ) dt , f ( t ) =1000 e 0.5 t− a

451 t +1

[a , b ] =[ 0,5 ] 5

(

0,5 I =∫ 1000 e ( ) − 0

5

)

|

451 0,5 t dt=1000 (2 e ) −451 ln|t +1| 5 t+1 0

I =( 2000 e 0,5( 5 )−451 ln |5+1 |)−(2000 e0,5 (0 )−451 ln|0+1|)

(

5

)

I =2000 e 2 −1 −451 ln |6|≈ 21556,90 La población creció

21556,90 pollos

t=0 y

t=5 años?

t=5 ?

La población de pollos en 5 años: P= P0 + I , donde P0 es la poblacioninicial de 2000 pollos I =21556,90 P=21556,90+2000=23556.90 pollos

La población en 5 años seria de

23556.90 pollos

Tipo de ejercicios 4 –Aplicaciones de las integrales en general. Ejercicio a. Un estudiante de natación deja caer por accidente una camilla rectangular que se encontraba al lado de la piscina donde estaba practicando. La camilla se sumerge hasta el fondo y queda recargada verticalmente en un costado dentro de la piscina. Si la profundidad de la piscina es de 8�, la camilla mide verticalmente 2� y 0,7� en su base. Determine la fuerza ejercida por el agua contra la camilla para mantenerla en la posición mencionada. Tenga en cuenta que la fuerza de un fluido contra un lado de una placa vertical plana es: b

F=γ ∫ yL ( y ) dy a

Donde � es el peso específico del líquido (para el agua es 9,8��/�3), � la profundidad bajo el líquido de una franja de altura �� y �(�) es la función de la longitud de la franja a la altura � (ancho de la camilla). b

Teniendo en cuenta que

F=γ ∫ yL ( y ) dy

donde

y=9,8 kN /m 3

a

Reemplazamos: 2

F=9,8∫ 8 ( 0,7) dy=9,8 0

[ |] ( )

28 2 28 2744 KN y =9,8 (2) = 25 5 0 5

la fuerza que se ejercicio en

2744 KN ≈109,76 KN 25

EJERCICIOS PARA LA SUSTENTACIÓN TAREA 3 CÁLCULO INTEGRAL

Ejercicio 1: (ESTUDIANTE QUE ESCOGIÓ LA LETRA A) Calcular el área de la región limitada por las curvas

2 y =2 x y y= x −4 . Interprete el

resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra. El primer paso es identificar la fórmula para hallar el área en el cual vamos a representar la variable a integrar y , en ese sentido nos ayuda más facil integrar respecto y .



b

A=∫ ( f ( y )−g ( y ) ) dy , donde f ( y ) ≥ g ( y ) en [ a , b ] a



Hallamos el intervalo de integración

[a , b ] , para ello igualamos las funciones:

2

y =2 x; y=x −4 2

x=

y ; x= y +4 2

y2 y2 = y +4 → − y−4=0(multiplicamos por 2) 2 2 y 2−2 y −8 =0

( y−4 ) ( y +2 ) =0 y −4=0, y +2=0 y=4, y =−2 De esta manera el límite de integración es 

Definimos quien será f ( y ) y g ( y) [−2,4]

[a , b ] =[ −2,4 ]

teniendo en cuenta que

Para ello tenemos un punto en el intervalo

[−2,4 ] y lo evaluamos en

2

x=

y y x= y +4 2

y 2

f 1=

y 2

f ( y)≥ g ( y) en

0 2 (0) =0 2

f 2= y +4

(0 )+ 4=4 2>¿ f 1 f¿

De esta manera la integral para hallar el área: b

4

a

−2

[

A=∫ ( f 2− f 1 ) dy=∫ ( y +4 )−

4

(

A=∫ y + 4− −2

)

( )]

[

( )|

1 y3 4 y2 y2 dy= +4 y− 2 2 2 3 −2

2

4¿ ¿ −2 ¿2 ¿ 3 −2 ¿ ¿ ¿ (¿ 2+4 ( 4 )− 1 ( 4 ¿3) ¿ )−¿ 6 ¿ A=¿

A=

( 403 ) −( −143 )= 543 =18u

Geogebra

y2 dy 2

2

]

Referencias bibliográficas Análisis de gráficas. Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 221 – 229). Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39432?page=1

Sólidos de revolución Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 115 – 121). Recuperado de https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/68429?page=1

Aplicaciones de las integrales en la ciencia. Alvarado, M. (2016) Cálculo Integral en Competencias. Grupo Editorial Patria. (pp. 220 227). Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40465?page=1

Aplicaciones de las integrales en general. Segura, A. (2014). Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Económico-Administrativas: Simplicidad Matemática. Grupo Editorial Patria. (pp. 203 – 213). Recuperado de https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39389?page=1

Alvarado, M. (2016) Cálculo integral en Competencias. Grupo Editorial Patria. (pp. 230 236). Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40465?page=1...