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1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

Queremos calcular las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, los ángulos y .

1.1

+ , a partir de las razones de

SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS sen(α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β

Demostración: Como se muestra en el dibujo, para deducir la fórmula combinamos dos triángulos rectángulos. Trazando triángulos semejantes podemos suponer que R = 1 

ABC que tiene un ángulo α



ADE "

"

"

" β

D

F

La hipotenusa del triángulo ADE es AD = R = 1 Por consiguiente: DE = sen β

α

AE = cos β

C

R=1

E

El triángulo ADG, rectángulo, se verifica:

90 - α

sen (α + β) = DG = FH Por otra parte: FH = FE + EH

β α A

G

H

B

En el triángulo AEH: EH = AE · sen α = cos β · sen α Observamos en el dibujo que los triángulos AEH y EFD son semejantes, por tener sus ángulos iguales. En el triángulo rectángulo EFD: FE = ED · cos α = sen β · cos α Luego, hemos obtenido: sen (α + β) = DG = EH + FE = cos β · sen α + sen β · cos α

- 1-

1.2

COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS cos(α + β) = cos α · cos β – sen α · sen β

Demostración: Según el dibujo anterior: cos (α + β) = AG = AH – GH En el triángulo AEH: AH = AE · cos α = cos β · cos α En el triángulo rectángulo EDF: GH = DF = DE · sen α = sen β · sen α Luego, hemos obtenido: cos(α + β) = AH – GH = cos α · cos β – sen α · sen β

1.3

TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS tg(α + β) =

tgα + tgβ 1- tg α· tgβ

Demostración:

tg (α + β) =

sen(α + β) senα·cosβ + senβ·cosα = = cos(α +β) cos α·cosβ - senβ·senα

(Dividimos numerados y denominador por cos α · cos β)

sen α ·cos β sen β ·cos α + cos α ·cos β cos α ·cos β tg α + tgβ = tg (α + β) = cos α ·cos β sen β ·sen α 1- tg α·tgβ cos α ·cos β cos α ·cos β

- 2-

2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

Empleando las fórmulas de la suma de dos ángulos y las razones de ángulos opuestos, vamos a determinar las razones de la diferencia de dos ángulos. 2.1

SENO DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS sen (α – β) = cos β · sen α – sen β · cos α

Demostración: sen (α - β) = sen [α + (-β)] = cos (-β) · sen α + sen (-β) · cos α Teniendo en cuenta: cos (-β) = cos β

sen (-β) = - sen β

Obtenemos: sen (α – β) = cos (-β) · sen α + sen (-β) · cos α = cos β · sen α – sen β · cos α

2.2

COSENO DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS cos(α – β) = cos α · cos β + sen α · sen β

Demostración: cos (α – β) = cos [α + (-β)] = cos (-β) · cos α – sen (-β) · sen α Teniendo en cuenta: cos (-β) = cos β

sen (-β) = - sen β

Obtenemos: cos (α – β) = cos (-β) · cos α – sen (-β) · sen α = cos β · cos α + sen β · sen α 2.3

TANGENTE DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS tg(α - β) =

tgα - tgβ 1+ tg α· tgβ

Demostración: tg[α + (-β)] =

tgα + tg(-β) 1- tgα·tg(-β)

Teniendo en cuenta: tg (-β) = - tg β Obtenemos:

tg(α - β) =

tg α + tg(-β) 1- tgα ·tg(-β)

tgα - tgβ 1+ tg α ·tgβ - 3-

3

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

Vamos a determinar las razones del ángulo doble a partir de las razones de la suma de dos ángulos. 1) sen (2α) = 2 sen α · cos α

2

2

2) cos (2α) = cos α – sen α

3) tg2α =

2 tgα 1- tg 2 α

Demostración:  sen (2α) = sen (α + α) = cos α · sen α + sen α · cos α = 2 sen α · cos α 2

2

 cos (2α) = cos ( α + α) = cos α · cos α – sen α · sen α = cos α – sen α  tg (2α) = tg (α + α) = tgα + tgα 1- tg α·tgα

4

2 tgα 2 1- tg α

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD

 α 1) sen   = 2

1- cos α 2

α 2) cos   = 2

1+ cos α 2

 α 3) tg   = 2

1- cos α 1+ cos α

Demostración: α Teniendo en cuenta que α = 2· , vamos a determinar las razones del ángulo mitad empleando las 2 razones del ángulo doble.



 α  1- cos α α  α   α  α  α cos (α) = cos 2   sen 2   = 1- sen2   sen2   = 1- 2sen2   → sen2   = → 2 2 2  2  2 2 2  α sen   = 2





1- cos α 2

1- cos α α  α cos2   = 1- sen2   = 12 2  2 

 α sen   α    2 =  =  2  cos  α  2  

1- cos α 2 1+ cos α 2

1+ cos α  α → cos   = 2 2

1+ cos α 2

1- cos α 1+ cos α

- 4-

5

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más razones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las razones trigonométricas. 

Ejemplos:

sen x = 0.2

1 + tgx x = 2

sen x + cos x = 1

No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en: 1º.- Transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las razones que aparecen en una sola razón (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). 2º.- Una vez expresada la ecuación en términos de una sola razón trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la razón 3º.- Por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la razón trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. Para ello, empleando la calculadora determinamos el menor de los ángulos.



Ejemplos:

1) sen x = 1 Empleando la calculadora obtenemos x = 90º → Las soluciones son : 90º + 360º · k 2

2) cosec x =

cosec x =

4 3

2 3

 cos ec x 2 3  → 3  cos ec x

2 3 ⇒x 3 2 3 ⇒x 3

60º , x 120º 240º , x

300º

3) tg x = -1 Sabemos que la tangente es negativa en el 2ºC y en el 4º C Empleando la calculadora, se obtiene -

1

INV

TG

=

-45º

El ángulo obtenido está en el 4ºC, considerando el ángulo positivo correspondiente x = 360º - 45º = 315º Para obtener el ángulo del 2º C prolongamos el lado extremo del ángulo: x = 90º + 45º = 135º

- 5-

4) sec 4x = -2 Para poder calcular el ángulo a partir de la razón, es necesario que la razón que aparezca en la ecuación sea seno, coseno ó tangente (ya que son la razones que tiene la calculadora) Si sec 4x = -2 ⇒ cos 4x = -1/2 ⇒ 4x = 120º (calculadora) El coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante: 4x = 180º + 60º = 240º ⇒ x = 60º 4x = 120º ⇒ x = 30º

5)

3 tg x – 1 = 0 3 tg x – 1 = 0 → tg x =

1 3

→ x = 30º + 360ºk , x = 210º + 360ºk

6) sen x · cos x = 0 sen x · cos x = 0 → sen x = 0 , cos x = 0 sen x = 0 → x = 0º, x = 180º cos x = 0 → x = 90º, x = 270º

7) 1 + 2 sen x = 3 cosec x 1 + 2 sen x =

3 2 → sen x + 2 sen x = 3 sen x

Realizamos el cambio: t = sen x 2

2

sen x + 2 sen x = 3 → 2t + t – 3 = 0 Resolvemos la ecuación de segundo grado:

t=

1

1 24 4

1 5 4

3  1 5  4 2   1 5 1  4

Deshaciendo el cambio, obtenemos: t=

3 → sen x = 2

3 (imposible ya que -1 ≤ sen x ≤ 1) 2

t = 1 → sen x = 1 → x = 90º + 360ºk

- 6-

6

AMPLIACIÓN: SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS

6.1

SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS

sen A + sen B = 2 sen

A +B A B · cos 2 2

sen A – sen B = 2 cos

A +B A B · sen 2 2

Demostración: Consideremos las fórmulas de los senos de suma y diferencia de ángulos: sen (α + β) = sen α ·cos β + sen β · cos α

sen (α – β) = sen α ·cos β – sen β · cos α

Sumando ⇒ sen (α + β) + sen (α – β) = 2 sen α ·cos β Restando ⇒ sen (α + β) – sen (α – β) = 2 sen β · cos α Realizando el cambio: α+β=A

⇒α=

α–β=B

A +B A -B ;β= 2 2

Sustituyendo: sen A + sen B = 2 sen

6.2

A +B A -B ·cos 2 2

sen A – sen B = 2 cos

A +B A -B · sen 2 2

SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS

cos A + cos B = 2 cos

A +B A B · cos 2 2

cos A – cos B = -2 sen

A +B A B · sen 2 2

Demostración: Consideremos las fórmulas de los cosenos de suma y diferencia de ángulos: cos(α + β) = cos α · cos β – sen α · sen β

cos(α – β) = cos α · cos β + sen α · sen β

Sumando ⇒ cos ( α + β) + cos (α – β) = 2 cos α ·cos β Restando ⇒ cos ( α + β) – cos (α – β) = - 2 sen α · sen β Realizando el cambio: α+β=A α–β=B

⇒α=

A +B A -B ;β= 2 2

Sustituyendo: cos A + cos B = 2 cos

A +B A -B · cos 2 2

cos A – cos B = -2 sen

A +B A -B · sen 2 2

- 7-...