Integrais Trigonometricas PDF

Preview

Summary

Download Integrais Trigonometricas PDF

Description

Integrais Trigonométricas: Funções Racionais do Seno e Cosseno

Usaremos as identidades trigonométricas para integrar certas combinações de funções trigonométricas. As integrais trigonométricas servem basicamente para resolver integrais do tipo:

∫ senn ( x ) dx e ∫ cos

m

( x ) dx

Para podermos resolver estas integrais precisamos relembrar algumas relações importantes. 1)

sen ² θ+cos ² θ=1

2)

se n2 θ=

1−cos(2 θ) 1+cos(2 θ) e cos2 θ= 2 2

Estratégia para calcular

∫ senm x cosn xdx

(a) Se a potência do cosseno é impar use

(n=2 k+1) , guarde um fator cosseno e

cos ² x=1−sen ² x para expressar os fatores restantes em termos de

seno:

∫ senm x cos2 k+1 xdx =∫ senm x(co s 2 x )k cos x dx ¿∫ senm x (1−se n2 x )k cosx dx A seguir, substitua u= senx .

(b) Se apotência do seno é impar sen ² x =1−cos ² x

(m=2 k +1) , guarde um fator seno e use

para expressar os fatores restantes em termos de

cosseno:

∫ sen2 k+ 1 x cosn xdx=∫ (sen2 x)k cos2 xsen x dx ¿∫ (1−cos ² x)k cos n xsen x dx A seguir, substitua u= cosx . [Observe que se ambas as potências de seno e cosseno forem ímpares, podemos usar (a) ou (b).]

(c) Se as potências de seno e cosseno forem pares, utilizamos as identidades dos ângulos-metade

se n2 ( x ) =

1−cos(2 x ) 1+cos(2 x) cos 2 ( x ) = 2 2

Algumas vezes é útil usar a identidade senxcosx=

sen 2 x 2

Exemplos: 1)

∫ se n2 ( x ) dx

2)

∫ sen5 (x )∙ co s2 ( x ) dx

Atividades:

Questão 1)

∫ co s3 ( x ) dx

Questão 2) Encontre

∫ sen4 ( x ) dx

1 2 , Lembre−se :co s ( 2 x)= (1+cos ( 4 x ) ) 2

Questão 3)

∫ sen3 (x )∙ co s2 ( x ) dx

. Lembre-se:

1 2 cos (2 x ) = (1+cos ( 4 x ) ) 2...