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Ejercicio 2. Resolución de problemas básicos de vectores en 𝑹𝟐y 𝑹𝟑. Considere losvectores ⃗𝒗⃗⃗ y ⃗𝒘⃗⃗ correspondientes al literal escogido, calcule: La suma⃗𝒖⃗⃗=⃗𝒗⃗⃗+⃗𝒘⃗⃗. La magnitud (o norma) de ⃗𝒖⃗⃗. El vector unitario en la dirección de ⃗𝒖⃗⃗. El ángulo formado por ⃗𝒗⃗⃗ y 𝒘⃗⃗⃗. Literal B.⃗𝒗⃗⃗= (𝟐...

Description

Ejercicio 2. Resolución de problemas básicos de vectores en 𝑹 𝟐 y 𝑹𝟑. Considere los

vectores  y  correspondientes al literal escogido, calcule: • La suma=+.

• La magnitud (o norma) de  .

• El vector unitario en la dirección de  .

• El ángulo formado por  y  .

Literal B.  = (𝟐,𝟎,−𝟏) y  = (𝟏,𝟎,−𝟐). Solución

•

La suma = + . Acuerdo el concepto de suma de vectores , tenemos: 𝑣 + 𝑤 󰇍 = (2 + 1, 0 + 0, −1 + (−2 )) = (3,0, −3) Por lo tanto,

•

𝑢󰇍 = (3,0, −3)

La magnitud (o norma) de  . Acuerdo a la formula del modulo o norma de un

vector en ℝ3 , tenemos que:

‖𝑢 󰇍 ‖ = √𝑢𝑥 2 + 𝑢𝑦 2 + 𝑢𝑧 2

Por lo tanto, remplazando en la formula tenemos que la norma para el vector es: ‖𝑢 󰇍 ‖ = √(3)2 + (0)2 + (−3)2 = √18 ≈ 4,24

El vector unitario en la dirección de  .

•

Para hallar el vector unitario en la dirección de , procedemos dividiendo el valor de

1 entre la norma del vector, y posteriormente cada uno de los valores del vector entre la norma, así: 󰇍𝑢 =

1

√18

3/√18 3 ( 0 ) = ( 0/√18 ) −3 −3/√18

El siguiente paso es hallar la norma con los nuevos valores obtenidos, lo que al final nos debe dar igual a 1; para ello procedemos de la siguiente manera:

3/√18 2 2 2 ‖( 0/√18 )‖ = √(3/√18) + (0/√18) + (−3/√18) = √0,5 + 0 + 0,5 = 1 −3/√18

•

El ángulo formado por  y  . La formula para hallar el ángulo formado entre

estos dos vectores, esta dada de la siguiente manera: ∠ = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 (

󰇍 . 󰇍 󰇍 ) ‖ 󰇍󰇍 ‖. ‖󰇍 󰇍 ‖

Dada la formula, primero se debe calcular el producto punto entre ambos vectores, así:

2

2 𝑣 = ( 0 ) −1 1

1 󰇍 = ( 0 ) 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑤 −2

󰇍𝑣 . 󰇍𝑤 󰇍 = ( 0 ) . ( 0 ) = {2.1 + 0.0 + (−1). (−2 )} = {3 + 0 + 2 } = 5 −1

−2

El siguiente paso es hallar la norma de los vectores, para lo cual procedemos así: ‖𝑢 󰇍 ‖ = √𝑢𝑥 2 + 𝑢𝑦 2 + 𝑢𝑧 2

‖𝑣‖ = √(2)2 + (0)2 + (−1)2 = √4 + 0 + 1 = √5

󰇍 ‖ = √(1)2 + (0)2 + (−2)2 = √1 + 0 + 4 = √5 ‖𝑤 Finalmente, con el valor del producto punto entre ambos vectores y el resultado de la norma de cada vector, proseguimos a remplazar en la formula del ángulo, la cual nos queda planteada de la siguiente manera: ∠ = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 (

𝟓 𝟓 󰇍 . 󰇍 󰇍 𝟓 ) = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 ( ) = ) = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 ( ) , ∠ = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 ( 𝟓 ‖ 󰇍󰇍 ‖. ‖󰇍 󰇍‖ √𝟐𝟓 √𝟓. √𝟓 ∠ = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏(𝟏) = 𝟒𝟓º

Es decir, que el ángulo formado por los vectores 󰇍 y 󰇍 󰇍 , corresponde a 45 grados....